數(shù)值分析第1章緒論(編輯修改稿)
2025-06-15 04:06 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 否則 0D ? D 1212112 babax ?? D 2121221 babax ??S1 輸入 2122211211 ,, bbaaaaS4 輸出計(jì)算的結(jié)果 21,xx輸入 2122211211 ,, bbaaaa D=a11a22a12a21 D=0 開始 DababxDababx/)(/)(21111221222211????輸出 x1, x2 結(jié) 束 No 輸出無(wú)解信息 Yes 二、算法優(yōu)劣的判別 ? 計(jì)算量的大小 ? 存貯量 ? 邏輯結(jié)構(gòu) 例：用行列式解法求解線性方程組 : n階方程組，要計(jì)算 n + 1個(gè) n階行列式的值， 總共需要做 n! (n 1) (n + 1) 次乘法運(yùn)算。 n=20 需要運(yùn)算多少次？ n=100? 一、 誤差的來(lái)源與分類 ? 從實(shí)際問題中抽象出數(shù)學(xué)模型 —— 模型誤差 例 :質(zhì)量為 m的物體，在重力作用下 ,自由下落， 其下落距離 s 與時(shí)間 t 的關(guān)系是： mgdt sdm ?22其中 g 為重力加速度。 167。 3 誤 差 ? 通過(guò)測(cè)量得到模型中參數(shù)的值 —— 觀測(cè)誤差 ? 求近似解 —— 方法誤差 (截?cái)嗾`差） 例如，當(dāng)函數(shù) ? ?fx 用 Taylor多項(xiàng)式 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?()20 0 00 1 ! 2 ! !n nn f f fP x f x x xn? ??? ? ? ? ? 近似代替時(shí)，數(shù)值方法的截?cái)嗾`差是 ? ? ? ? ? ? ? ?( 1 ) 1( 1 ) !n nnn fR x f x P x xn ? ??? ? ? ? 與 0之間。 ? 在 x?機(jī)器字長(zhǎng)有限 —— 舍入誤差 用計(jì)算機(jī)、計(jì)算器和筆算，都只能用有限位 ? = … 小數(shù)來(lái)代替無(wú)窮小數(shù)或用位數(shù)較少的小數(shù)來(lái) 代替位數(shù)較多的有限小數(shù)，如： 1 0 .3 3 3 33 ??四舍五入后 …… ?0 0 0 0 0 7 4 1 ???? ??? ????3 235 000 5x? ? ? ?在數(shù)值計(jì)算方法中，主要研究 截?cái)嗾`差 和 舍入誤差 （包括初始數(shù)據(jù)的誤差）對(duì)計(jì)算結(jié)果的影響！ 二、 誤差的概念 絕對(duì)誤差與絕對(duì)誤差限 ( * ) *e x x x??例 :若用以厘米為最小刻度的尺去量桌子的長(zhǎng)，大約為 ，求 。 絕對(duì)誤差 =？ 不知道！ 是近似值 的 絕對(duì)誤差 ,簡(jiǎn)稱為 誤差 。 *x定義 ： 設(shè) 是準(zhǔn)確值，為 的一個(gè)近似值，稱 x*x x?? ???? ** xxx??? *xx但實(shí)際問題往往可以估計(jì)出 不超過(guò)某個(gè)正數(shù) ， ? ?*ex ?即 ，則稱 為絕對(duì)誤差限，有了絕對(duì)誤差限 ???*xx ?就可以知道 的范圍為 x即 落在 內(nèi)。 在應(yīng)用上，常常采用下列寫法來(lái)刻劃 的精度。 **,xx????????x*x相對(duì)誤差與相對(duì)誤差限 定義 ： 設(shè) 是準(zhǔn)確值， 是近似值，是近似值的誤差， x通常取 為近似值 的 相對(duì)誤差 ，記作 ， *re*x*e**e x xxx??稱 一般情況下是不知道 的，怎么辦？ 事實(shí)上，當(dāng) 較小時(shí) **reex?? ? ? ?? ?? ?? ?22* * * ***** ** 1e x x e e xeex x x x x x e x??? ? ? ???是 的二次方項(xiàng)級(jí) ,故可忽略不計(jì) . *re相應(yīng)地，若正數(shù) r? 滿足 *rxxx? ?? 則稱 為 的相對(duì)誤差限。 r?*x3 、 有效數(shù)字 定義： 如果 nxx ???? 1021*則說(shuō) 近似表示 準(zhǔn)確到小數(shù)后第 位，并從這 由上述定義 4102114 ?????*x x n第 位起直到最左邊的非零數(shù)字之間的一切數(shù)字都 稱為 有效數(shù)字 ， 并把有效數(shù)字的位數(shù)稱為 有效位數(shù) 。 n定義 : 39。? ?* 1 2121 0 1 0 1 0 1 0mn nx a a a? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?*若近似值 的誤差限是某一位的半個(gè)單位 , *x也即，若 * 1 102mnxx ?? ? ?有 位有效數(shù)字。 n則稱 *x其中， 是 1到 9中的一個(gè)數(shù)字； 是 0到 9中一個(gè)數(shù)字； 為整數(shù)，且 1a 2 naa?? ?m該位 到 的 左邊 第一位 非零數(shù) 字共有 位 , *x n就說(shuō) 有 位 有效數(shù)字 。 *x n取 作 的近似值， 就有三位有效數(shù)字； * 3 .1 4x ? ? *x取 作 的近似值， 就有五位有效數(shù)字。 * 3. 14 16x ? ? *x例如： 注： 若一近似數(shù)是由原真值經(jīng)四舍五入得到， 則必為有效數(shù) . 4 、誤差限與 有效數(shù)字的關(guān)系 則 至少具有 位有效數(shù)字。 ： *x n對(duì)于用 式表示的近似數(shù) ，若 具有 位有效 數(shù)字，則其相對(duì)誤差限為 反之，若 的相對(duì)誤差限為 ??* *x n*x? ?1*11 102nr a??? ? ?*x? ?1*11 102 ( 1 )nr a??? ? ??： * 1 2 10. 10 mnnx x x x x ?? ? ? ?設(shè) 反之 ,若 的相對(duì)誤差的絕對(duì)值大于 ， *x 1102 n??其中 為整數(shù) , 為正整數(shù) , 。 n 1 0x ?m有 位有效數(shù)字。 n則 至多 *x若 至多有 位有效數(shù)字 ,即 是有效數(shù)字 , nx*x
教學(xué)課件相關(guān)推薦
鄂ICP備17016276號(hào)-1