橢圓曲線公鑰密碼體制e(編輯修改稿)
2025-06-15 00:42 本頁面
【文章內容簡介】 點 P=(g6,g8) 點 Q=(g3,g13) 求點 R=P+Q 上橢圓曲線的點 P的 倍點運算 若 xP = 0, 那么 2P = O 假設 xP 不等于 0 2P = R s = xP + yP / xP xR = s2+ s + a yR = xP2 + (s + 1) * xR mF2例題 橢圓曲線 T=(m=4,f(x)=x4+x+1,g=0010,a=g4,b=g0) 點 P=(g6,g8) 求點 R=2P 練習 已知 F(23） . 不可約多項式 x3 + x + 1. 生成元 g = (010) 并且 g1 = (010) g2 = (100) g3 = (011) g4 = (110) g5 = (111) g6 = (101) g7 = (001) = 1 y2 + xy = x3 + g5x2 + g6是否定義了 F(23)上的 一個橢圓曲線 ? 2. 問點 P(g3, g6)和 Q(g5, g2) 是否位于 F(23)上的橢圓曲線 y2 + xy = x3 + g2 x2 + g6 之上 ? 3. 求 F(23)上的如下橢圓曲線的點的加法逆元 ? P(g3,g6) Q(g,0) R(0,g3) 4. F(23)上的橢圓曲線 y2 + xy = x3 + g2x2 + g6 , P = (g2,g6)， Q = (g5,g5)，求 P+Q? 5. F(23)上的橢圓曲線 y2 + xy = x3 + g2x2 + g6, P = (g3, g4),求2P? 群 群 (G, *)是由集合 G和集合上的二元運算 * 組成的代數(shù)系統(tǒng)，群應滿足如下的性質 : 封閉性 : 對于任意的 x,y ∈ G，滿足 x * y ? G 結合律 :對于任意的 x,y, z ∈ G， 滿足： (x * y) * z = x * (y * z) 有單位元素 : 存在單位元素 e ∈ G ，滿足： 對于任意的 x∈ G，有 x * e = e * x = x 4: 有逆： 對于任意的 x∈ G ,都存在 y ∈ G ，滿足： x * y = y * x = e 另外，如果滿足交換 律，即對于 x, y ∈ G ，滿足 x * y = y * x 則稱群為 abelian group. 舉例 1. Z,+ 其中 Z表示整數(shù)集 2. Z, . 3. Z,— 4. R, 其中 Z表示實數(shù)集 有限域 有限域是指由集合 F 和 F上的二元運算 + 和 * 組成的代數(shù)系統(tǒng)，有限域應滿足如下性質 : 1. F 對于 +運算是 abelian群 . 2. F \ {0}對于 *運算是 abelian群 . 3. 分配律對任意的 x ,y , z ∈ F，滿足 : x * ( y + z) = (x * y) + (x * z) (x + y) * z = (x * z) + (y * z) 有限域的階 (order of the finite field)是指有限域的元素的個數(shù) 有限域也稱為 Galois域 有限域 F(p) 其中集合為整數(shù)集 {0,1,2,3….p 1} ， p是素數(shù) . 另外滿足如下性質 : 1. 加法 : 對于 a, b ? F(p), 有 a + b ≡ r mod p 為模加法 2. 乘法 :對于 a, b ? F(p), 有 a . b = s mod p 為模乘法 有限域 GF(2m) 二元有限域 . 其中的集合為 m個元素的集合 {?m1, …, ?1, ?0}，每個 ?i ? {0,1} ，都與任意的 a ? GF(2m) a = ?m1xm1 + … + ?1x + ?0 同時滿足如下性質 : a = {am1,..a1,a0} 和 b = {bm1,..b1,b0} ? GF(2m) ? 加法 : a + b = c = {cm1,..c1,c0} 其中 ci = (ai + bi) mod 2. c ? GF(2m) ? 乘法 : a . b = c = {cm1,..c1,c0} 其中 c 是 a(x) . b(x) 除以一個 m階不可約多項式的余式， 同時 c ? GF(2m) 橢圓曲線群
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