【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 —— 積聚性 。 另外兩個(gè)投影類似。 在其平行的投影面上的投影反映實(shí)形 —— 實(shí)形性 。 另外兩個(gè)投影積聚為直線。 返回 下頁(yè) 上頁(yè) 二、平面上的點(diǎn)與直線 ⒈ 平面上的點(diǎn) 一定位于平面內(nèi)的某條直線上 ⒉ 平面上的直線 ⑴ 過平面上的兩個(gè)點(diǎn)。 ⑵ 過平面上的一點(diǎn)并平行于該平面上的某條直線。 三、平行問題 ⒈ 直線與平面平行 直線平行于平面內(nèi)的一條直線。 ⒉ 兩平面平行 必須是一個(gè)平面上的一對(duì)相交直線對(duì)應(yīng)平行 于另一個(gè)平面上的一對(duì)相交直線。 返回 下頁(yè) 上頁(yè) 四、相交問題 ⒈ 求直線與平面的交點(diǎn)的方法 ⑴ 一般位置直線與特殊位置平面求交點(diǎn)，利用 交點(diǎn)的共有性和平面的積聚性直接求解。 ⑵ 投影面垂直線與一般位置平面求交點(diǎn)，利用 交點(diǎn)的共有性和直線的積聚性，采取平面上 取點(diǎn)的方法求解。 ⒉ 求兩平面的交線的方法 ⑴ 兩特殊位置平面相交，分析交線的空間位置， 有時(shí)可找出兩平面的一個(gè)共有點(diǎn)，根據(jù)交線 的投影特性畫出交線的投影。 ⑵ 一般位置平面與特殊位置平面相交，可利用 特殊位置平面的積聚性找出兩平面的兩個(gè)共 有點(diǎn)，求出交線。 返回 下頁(yè) 上頁(yè) 換面法 一、問題的提出 ★ 如何求一般位置直線的實(shí)長(zhǎng)？ ★ 如何求一般位置平面的真實(shí)大?。? 換 面 法： 物體本身在空間的位置不動(dòng)，而用某一新投影面（輔助投影面）代替原有投影面，使 物體相對(duì)新的投影面處于解題所需要的有利位置 ，然后將物體向新投影面進(jìn)行投射。 解決方法：更換投影面。 返回 下頁(yè) 上頁(yè) V H A B a? b? a b 二、新投影面的選擇原則 1. 新投影面必須對(duì)空間物體處于 最有利的解 題位置。 ? 平行于新的投影面 ? 垂直于新的投影面 2. 新投影面必須 垂直于 某一保留的原投影面， 以構(gòu)成一個(gè)相互垂直的兩投影面的新體系。 P a39。1 b39。1 返回 下頁(yè) 上頁(yè) V H A a? a ? ? ? ax X ? ? ⒈ 更換一次投影面 ? 舊投影體系 X — V H ? 新投影體系 P1 H X1 — A點(diǎn)的兩個(gè)投影： a， a? A點(diǎn)的兩個(gè)投影： a， a39。1 ⑴ 新投影體系的建立 三、點(diǎn)的投影變換規(guī)律 X1 P1 a39。1 ax1 ? ? ? ? ? V H X P1 H X1 a? a a39。1 ? ax ax1 . 返回 下頁(yè) 上頁(yè) ax1 ? ? ? V H X P1 H X1 a? a a39。1 V H A a ? ? ? ax X X1 P1 a39。1 ax1 ? ⑵ 新舊投影之間的關(guān)系 ? aa39。1 ? X1 ? a39。1ax1 = a?ax ? 點(diǎn)的新投影到新投影軸的距離等于被代替的投影 到原投影軸的距離。 ax a? ? ? ? ? 一般規(guī)律： ? 點(diǎn)的新投影和與它有關(guān)的原投影的連線，必垂直 于新投影軸。 . 返回 下頁(yè) 上頁(yè) ? ? X V H a a? ax 更換 H面 ⑶ 求新投影的作圖方法 ? ? V H X P1 H X1 由點(diǎn)的不變投影向新投影軸作垂線，并在垂線上量取一段距離，使這段距離等于被代替的投影到原投影軸的距離。 a a? X1 P1 V ? a1 ax ax1 ax1 更換 V面 ● a39。1 作圖規(guī)律： ? ? . . 返回 下頁(yè) 上頁(yè) ⒉ 更換兩次投影面 先把 V面換成平面 P1， P1?H，得到中間新投影體系 : P1 H X1 — 再把 H面換成平面 P2， P2? P1，得到新投影體系 : X2 — P1 P2 ⑴ 新投影體系的建立 按次序更換 A a V H a? ax X X1 P1 a39。1 ax1 ? P2 X2 ? ? ? ax2 a2 ? ? ? ? ? ? ? 返回 下頁(yè) 上頁(yè) ax2 ? a? a X V H ? ⑵ 求新投影的作圖方法 ? a2 X1 H P1 X2 P1 P2 作圖規(guī)律 a2a39。1 ? X2 軸 a2ax2 = aax1 a39。1 ? ax ax1 ? . . 返回 下頁(yè) 上頁(yè) V H A B a? b? a b 四、換面法的四個(gè)基本問題 1. 把一般位置直線變換成投影面平行線 用 P1面代替 V面，在 P1/H投影體系中， AB//P1。 X1 H P1 P1 a39。1 b39。1 空間分析 ： 換 H面行嗎？ 不行！ 作圖： 例：求直線 AB的實(shí)長(zhǎng)及與 H面的夾角。 a? b? a b X V H 新投影軸的位置？ a39。1 ● b39。1 ● 與 ab平行。 ? . 返回 下頁(yè) 上頁(yè) a39。1 ● b39。1 ● V H a? a X B b? b A 2. 把一般位置直線變換成投影面垂直線 空間分析： a? b? a b X V H X1 H1 P1 作圖： X1 P1 a39。1 b39。1 X2 P2 二次換面把投影面平行線變成投影面垂直線 。 X2軸的位置？ ? a2?b2 ax2 a2?b2 ? . 與 a39。1b39。1垂直 一次換面把直線變成投影面平行線； 返回 下頁(yè) 上頁(yè) 一般位置直線變換成投影面垂直線，需經(jīng)幾次變換？ a? b? c? a b c d V H A B C D X d? 3. 把一般位置平面變換成投影面垂直面 如果把平面內(nèi)的一條直線變換成新投影面的垂直線，那么該平面則變換成新投影面的垂直面。 P1 X1 c39。1 b39。1 a39。1?d39。1 空間分析： 在平面內(nèi) 取一條投影面平行線 ，經(jīng)一次換面后變換成新投影面的垂直線，則該平面變成新投影面的垂直面。 作圖方法： 兩平面垂直需滿足什么條件？ 能否只進(jìn)行一次變換？ 思考： 若變換 H面，需在面內(nèi)取什么位置直線？ 正平線！ 返回 下頁(yè) 上頁(yè) α a? b? c? a c b X V H 例：把 三角形 ABC變 換 成投影面垂直面。 H P1 X1 作 圖 過 程： ★ 在平面內(nèi)取一條水平 線 AD。 d? d ★ 將 AD變換成新投影 面的垂直線。 d39。1 ● a39。1?d39。1 ● c39。1 ● 反映平面對(duì)哪個(gè)投影面的夾角？ . 返回 下頁(yè) 上頁(yè) a39。1?b39。1 ● 需經(jīng)幾次變換？ 一次換面 , 把一般位置平面變換成新投影面的垂直面； 二次換面，再變換成新投影面的平行面。 4. 把一般位置平面變換成投影面平行面 a b a? c? b? X V H c 作 圖： AB是水平線 空間分析： a2 ● c2 ● b2 ● c39。1 ● X2軸的位置？ 平面的實(shí)形 . X1 H P1 . 與其平行 返回 下頁(yè) 上頁(yè) b39。1 ? 距離 d d39。1 X1 H P1 X2 P1 P2 c2 ? d? 例 1：求點(diǎn) C到直線 AB的距離，并求垂足 D。 c c? b? a? a b X V H ? ? 五、換面法的應(yīng)用 如下圖：當(dāng)直線 AB垂直于投影面時(shí)， CD平行于投影面，其投影反映實(shí)長(zhǎng)。 A P B D C c a?b?d 作圖 : 求 C點(diǎn)到直線 AB的距離，就是求垂線 CD的實(shí)長(zhǎng)。 空間及投影分析： c39。1 ? a39。1 ? a2?b2?d2 ? 過 c39。1作線平行于 x2軸。 . . . 如何確定 d1點(diǎn)的位置？ 返回 下頁(yè) 上頁(yè) b? a? a b c d ● c?例 2：已知兩交叉直線 AB和 CD的公垂線的長(zhǎng)度 為 MN， 且 AB為水平線，求 CD及 MN的投影。 M N ● m? ● d? ● a39。1≡b39。1≡m39。1 ● n39。1 ● c39。1 ● d39。1 ● n 空間及投影分析： V H X H P1 X1 圓半徑 =MN ● n? ● m 當(dāng)直線 AB垂直于投影面時(shí)， MN平行于投影面，這時(shí)它的投影 m1n1=MN,且 m1n1⊥ c1d1。 P1 A C D N M c1 d1 a1m1b1 n1 B 作圖： 請(qǐng)注意各點(diǎn)的投影如何返回？ 求 m點(diǎn)是難點(diǎn)。 . . 返回 下頁(yè) 上頁(yè) 空間及投影分析 ： AB與 CD都平行于投影面時(shí)，其投影的夾角才反映實(shí)大（ 60176。 ），因此需將 AB與 C點(diǎn)所確定的平面變換成投影面平行面。 例 3: 過 C點(diǎn)作直線 CD與 AB相交成 60186。角。 d? X1 H P1 X1 P1 P2 a b a? c? b? X V H c 作 圖： c2 ● ● ● c39。1 ● a39。1?b39。1 ● a2 ● d2 ● d ● b2 ● 幾個(gè)解？ 兩個(gè)解！ 已知點(diǎn) C是等邊三角形的頂點(diǎn)，另兩個(gè)頂點(diǎn)在直線 AB上，求等邊三角形的投影。 思考： 如何解？ 解法相同！ 60176。 D點(diǎn)的投影如何返回？ . . 返回 下頁(yè) 上頁(yè) c? d? b? a? d a c b ● d39。1 ● c39。1 ● a39。1 ● d2 ● b39。1 c2 ● ● a2≡ b2 θ V H X θ 例 4：求平面 ABC和 ABD的兩面角。 空間及投影分析 ： 由幾何定理知：兩面角為兩平面同時(shí)與第三平面垂直相交時(shí)所得兩交線之間的夾角。 在投影圖中 , 兩平面的交線垂直于投影面時(shí)，則兩平面垂直于該投影面，它們的投影積聚成直線，直線間的夾角為所求。 . . 返回 下頁(yè) 上頁(yè) ? 小 結(jié) ? 本章主要介紹了投影變換的一種常用方法 —— 換面法 。 一、 換面法就是 改變投影面的位置 ，使它與所給物 體或其幾何元素處于 解題所需的特殊位置 。 二、 換面法的關(guān)鍵是要注意 新投影面的選擇條件 ， 即必須使 新投影面與某一原投面保持垂直關(guān)系 ， 同時(shí)又有利于解題需要，這樣才能使正投影規(guī) 律繼續(xù)有效。 三、 點(diǎn)的變換規(guī)律是換面法的作圖基礎(chǔ) ，四個(gè)基本 問題是解題的基本作圖方法，必需熟練掌握。 返回 下頁(yè) 上頁(yè) 換面法的四個(gè)基本問題： 2