第22講理想(編輯修改稿)
2024-10-10 15:09 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 明示 N 是 幺 環(huán) R 的理想 ,且 RNNR ??? .1 . 結(jié)論 21,NN 都是環(huán) R 的理想 .那么 },|{ 2121 NbNabaNN ??????? △ 也是 R 的理想 ,叫做 1N 與 2N 的和理想 . 證明 : ? ?????????? 212111 ,}|0{ NNNNNaaN △ . 212211 , NNbaybax ??????? .則 2121212211 )()()()( NNbbaababayx ??????????? 又若 ,Rr? 則有 21112111 ,., NrbNraNrbNra ???? 211111 )( NNrbrabarrx ?????? 211111 )( NNrbrarbaxr ?????? ?由理想的定義知 RNN ?21 ? ,習(xí)慣上稱 21 NN? 為理想 1N 與 2N 的和 . 類似地 ,可以考慮 :當(dāng) 21,NN 都是 R 的理想時(shí) . 21 NN? 和 },|{ 2121 NbNaabNN ????? 會(huì)是理想嗎 ?事實(shí)上 ,因?yàn)樗鼈儗臃ǘ嘉幢胤忾] ,所以都不一定能成為理想 .但若這樣定義 : },|{ 21221121 為自然數(shù)nNbNabababaNN iinn ?????? ? 可以驗(yàn)證 RNNˉ?21,通常稱 21NN 為 1N 與 2N 的積理想 . 結(jié)論 , IiRNi ?? ,那么 ? ?Ii i RN?. 二 .主理想 (1)由子集生成的理想 設(shè) RS??? ,而 R 為任意環(huán) ,設(shè) ASRAA ??? 且? .由結(jié)論 3 知???A A 必是 R 的理想 .叫做子集 S 生成的理想 ,記為 )(S .易知 , )(S 是 R 中包含 S 的理想中最小的一個(gè) .S 稱為 )(S 的生成子集 . 當(dāng) },{ 21 naaaS ?? 是一個(gè)有限集時(shí) .雖然 ),()( 21 naaaS ?? 當(dāng)}{aS? 時(shí) ,那么 )()( aS ? 就是下面要研討的內(nèi)容 . (2) 定義 R 中一個(gè)元素 a 生成的理想 )(a 叫做主理想 . 為了弄清主理想的結(jié)構(gòu) ,我們有 結(jié)論 R 為任意環(huán) , Ra?? 則 },,|{)( 39。139。 ZnNnRtsyxnaatsaayxa iini ii ??????? ?? 證明 :由于 Ra?)( .那么 atsaayx ii , 和 ?? ??? ?? ?n aaana ????都應(yīng)在 )(a 中 ,(∵吸收律和加法封閉性 ).再用加法封閉性 ?? ????? 39。1 )(ni ii antatsaayx ?
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