【文章內(nèi)容簡介】 計(jì)算問題，可把穩(wěn)恒電流分成無限多個電流元，先求出每個電流元在該點(diǎn)產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度，再按場強(qiáng)疊加原理就可以計(jì)算出帶電體再該點(diǎn)產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度（ BBdlId ??? ?? ） 問題： BdlId ??? ？ 2． Biot― Savart― Laplace 定律 1820 年 10 月 30 日（在距 Oersted 報(bào)道電流磁效應(yīng)不到三個月），法國的Biot 和 Savart 在法國科學(xué)院發(fā)表文章，從實(shí)驗(yàn)中分析了電流和磁效應(yīng)之間的關(guān)系。如圖所示，小磁針轉(zhuǎn)動強(qiáng)弱反應(yīng)該點(diǎn)磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小。 實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)： 大， B? 小， aB /1? 2. I 大， B? 大， IB? 結(jié)論： aIkB＝ 不久， Laplace 假定，電流由電流元 lId? 組成： ? lId? 產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度 Bd? 與 I 成正比； ? 磁感應(yīng)強(qiáng)度 Bd? 的大小與電流元 lId? 的表觀長度 ?sindl 成正比； ? 磁感應(yīng)強(qiáng)度 Bd? 的大小與 r 的平方成反比。 在實(shí)驗(yàn)上基礎(chǔ)上經(jīng)科學(xué)抽象得到：在載流導(dǎo)線上取電流元 lId? ，空間任一點(diǎn) P，該點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為 Bd? ， lId? 與矢徑 r? 的 夾角為 ? ，實(shí)驗(yàn)表明，真空中 2sinrIdlkdB ?? 在 SI 制中， k=μ 0/4π ，其中μ 0=4π 107N A2為真空磁導(dǎo)率。 故 20 sin4 rIdldB ???? Bd? 的方向：即 rlId ??? 的方向 (右手螺旋法則確定 ) 寫成矢量形式為 304 r rlIdBd??? ???? 或 第 33 講 穩(wěn)恒磁場 —— 磁場的基本概念，畢奧－薩伐爾定律 8 2 004 r rlIdBd??? ???? 其中 rrr /0 ?? ? 為矢徑 r? 方向上的單位矢量。 這就是 Biot― Savart― Laplace 定律，也稱為 Biot― Savart― Laplace 定律。 3．任意載流導(dǎo)線在 P 點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度 B? 為 ?? ???304 r rlIdBdB?????? 4．說明： ? 該定律是在實(shí)驗(yàn)的基礎(chǔ)上抽象出來的，不能由實(shí) 驗(yàn)直接加以證明，但是由該定律出發(fā)得出的一些結(jié)果，卻能很好地與實(shí)驗(yàn)符合。 ? 電流元 lId? 的方向即為電流的方向； ? 3. Bd? 的方向由 rlId ??? 確定，即用右手螺旋法則確定； ? Biot― Savart― Laplace 定律是求解電流磁場的基本公式，利用該定律，原則上可以求解任何穩(wěn)恒載流導(dǎo)線的磁感應(yīng)強(qiáng)度。 二、 BiotSavart 定律應(yīng)用舉例： 解題步驟： ? 根據(jù)已知電流的分布與待求場點(diǎn)的位置，選取合適的電流元 lId? ； ? 選取合適的坐標(biāo)系。要根據(jù)電流的分布與磁場分布的的特點(diǎn)來選取坐標(biāo)系，其目的是要使數(shù)學(xué)運(yùn)算簡單； ? 根據(jù)所選擇的坐標(biāo)系，按照 Biot― Savart― Laplace 定律寫出電流元產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度； ? 由疊加原理求出磁感應(yīng)強(qiáng)度的分布； ? 一般說來，需要將磁感應(yīng)強(qiáng)度的矢量積分變?yōu)闃?biāo)量積分，并選取合適的積分變量，來統(tǒng)一積分變量。 由于數(shù)學(xué)上的困難，下面僅計(jì)算幾個基本而又典型的穩(wěn)恒電流產(chǎn)生磁場問題。 典型例題： 兩種基本電流 周圍的磁感應(yīng)強(qiáng)度的分布：載流直導(dǎo)線；圓電流。 例 1.（課本 P131）載流長直導(dǎo)線的磁場 （ 1）一段載流直導(dǎo)線的磁場 )c os(c os4 2100 ???? ?? rIB 解： 建立如圖坐標(biāo)系，在載流直導(dǎo)線上，任取一電流元 Idz，由畢 — 薩定律得元電流在P 點(diǎn)產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為： 20 sin4 rIdzdB ???? 方向?yàn)?? 。所有電流元在 P 點(diǎn)產(chǎn)生的磁場方向相同，所以求總磁感強(qiáng)度的積分為標(biāo)量積分，即： 20 s in4 rIdzdBB ????? ?? （ 1） 由圖得： 第 33 講 穩(wěn)恒磁場 —— 磁場的基本概念，畢奧－薩伐爾定律 9 ? ? ??? a c t ga c t gz ???? , 因此： ??dadz 2csc? 此外， ? ? ??? sinsin aar ??? 代入（ 1）可得： ? ?2100220c o sc o s4s i n4s i ns i nc s c421?????????????? ???????????? ??aIdaIadIaB 討論： （ 1）無限長直通電導(dǎo)線的磁場： 002rIB ???，方向？ （ 2）半無限長直通電導(dǎo)線的磁場： 004 rIB ??? （ 3）其他例子 、 、 、 （ 4）解題的關(guān)鍵：確定電流起點(diǎn)的 1? 和電流終點(diǎn)的 2? 。 例 2:（課本 P132）圓形載流導(dǎo)線軸線上的磁場） 設(shè)在真空中，有一半徑為 R ，通電流為 I 的細(xì)導(dǎo)線圓環(huán)，求其軸線上距圓心 O 為 x 處的 P 點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度。 解： 建立坐標(biāo)系如圖，任取電流元 lId? ，由畢 — 薩定律得： 20200490sin4rIdlrIdldB?????? 方向如圖： ? ?lIdrBd ??? ,? ，所有 Bd? 形成錐面。 將 Bd? 進(jìn)行正交分解：??? BdBdBd ??? // ，則由由對稱性分析得： 0??? ?? dBB ，所以有： ?s in//// BdBdBB ?? ??? 第 33 講 穩(wěn)恒磁場 —— 磁場的基本概念，畢奧－薩伐爾定律 10 因?yàn)? ?? rrR，?sin 常量， 所以 3202030 44 rIRdlrIRB R ??? ? ?? ? 因?yàn)? 2222 RSRxr ???? ， 所以 ? ? 232203 20 22 xR ISrIRB ??? ? ?? 方向：沿 x 軸正方向，與電流成右螺旋關(guān)系。 討論： （ 1） 圓心處的磁場： 0?x ， RIB 20?? 。 （ 2）當(dāng) Rx?? 即 P 點(diǎn)遠(yuǎn)離圓環(huán)電流時， P 點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為： 302 xISB ??? 。 例 1．載流長直導(dǎo)線周圍的磁場： Magic Field around a long straight carryingcurrent wire 問