【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 %計(jì)算矩陣 X 的平均值 Pstd=std(X)。 %計(jì)算矩陣 X 的標(biāo)準(zhǔn)差 Pmed=median (X)。 %計(jì)算矩陣 X 的中位值 X,Pmax,Pmin,Pmean,Pstd,Pmed。 運(yùn)行結(jié)果 ： X = Pmax = Pmin = Pmean = Pstd = 622 曲線擬合 語(yǔ)法 ： A. P=polyfit(X,Y,N) MATLAB 程序設(shè)計(jì)與實(shí)例應(yīng)用 92 B. Yval=polyval(P,X) 說明 ： 1. polyfit(X,Y,N)根據(jù)輸入數(shù)據(jù) X 和 Y 生成一個(gè) N 階的擬合多項(xiàng)式 。 2. polyval(P,X)根據(jù)數(shù)據(jù) X，用擬合多項(xiàng)式 P 生成擬合好的數(shù)據(jù) 。 3. 這里 X 和 Y 構(gòu)成了一系列數(shù)據(jù)點(diǎn)的 坐標(biāo)。 例 610 下列數(shù)據(jù)為一段時(shí)間的日氣溫平均實(shí)際數(shù)據(jù)，求該數(shù)據(jù)的擬合方程。設(shè)這組氣溫?cái)?shù)據(jù)為： [18 19 17 18 20 22 22 23 21 21 20 22 23 23 22] 程序 設(shè)計(jì)： clear d=1:15。 %時(shí)間 t=[18 19 17 18 20 22 22 23 21 21 20 22 23 23 22]。 %和時(shí)間相對(duì)應(yīng)的日平均氣溫 p=polyfit(d,t,3)。 %生成擬合多項(xiàng)式（向量形式），階次為 3 px=poly2str(p, 39。x39。)。 %生成擬合多項(xiàng)式（字符形式） pv=polyval(p,d)。 %生成擬合值 p,px plot(d,t, 39。:*r39。,d,pv,39。k39。, 39。LineWidth39。, 2) title(39。\fontsize{18}\bf數(shù)據(jù)擬合 圖像 39。, 39。Color39。,39。r39。) xlabel (39。\fontsize{14}\rm時(shí)間 d軸 39。, 39。Color39。,39。k39。) ylabel (39。\fontsize{14}\rm氣溫 t軸 39。, 39。Color39。,39。k39。) gtext(39。\fontsize{16}\fontname{宋體 }實(shí)際曲線 39。, 39。Color39。,39。r39。) gtext(39。\fontsize{16}\fontname{宋體 }擬合曲線 39。, 39。Color39。,39。k39。) %end 運(yùn)行結(jié)果： p = px = x^3 x^2 + x + 圖形如 61所示： 程序說明： 1. d 表示時(shí)間第一天、第二天…， t 表示每天的氣溫。 圖 61 擬合曲線圖 第六章 MATLAB 的數(shù)值計(jì)算 93 2. 本例我們選取的擬合多項(xiàng)式的階次是 3。 3. p 為向量形式的擬合多項(xiàng)式， px為字符形式的擬合多項(xiàng)式。 4. plot 為繪圖函數(shù)，它的兩個(gè)參數(shù)分別為圖像的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)。 4 個(gè)參數(shù)則分別為兩條曲線的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)。 5. 圖中的箭頭可在繪圖窗口中打開 insert 菜單，選擇 Arrow 然后用鼠標(biāo)從起始位置拖動(dòng)到終止位置即可。 例 611 根據(jù)上例中的數(shù)據(jù)建立的天氣溫度，擬合方程求 5 天 后的天氣氣溫是多少？ 程序 設(shè)計(jì)及運(yùn)行結(jié)果： clear x=20。 T=*x^3 *x^2 + *x + T = 程序 設(shè)計(jì)及運(yùn)行結(jié)果： 1. 依照上例 710 天的時(shí)間序列 d， 5 天 后應(yīng)該是 20 天，所以令 x=20。 2. T 即為上例中我們求得的擬合公式，結(jié)果求得 5 天后的日平均氣溫為 。 63 數(shù)值積分和數(shù)值微分 631 微分和積分的數(shù)學(xué)表達(dá)式 對(duì)函數(shù) f(x)在區(qū)間 [x1,x2]上求積分在數(shù)學(xué)上常常表示為 ? ?21xxF f x dx?? 對(duì)函數(shù) F(x)求導(dǎo)數(shù)運(yùn)算在數(shù)學(xué)上常常表示為： ? ?dF xf dx? 632 函數(shù)數(shù)值積分 命令函數(shù) ： 1. 連續(xù)被積函數(shù) quadl(39。f39。,a,b,t) 自適應(yīng)遞推牛頓 — 科西 (Newton— Cotes)法求積分 2. 離散被積函數(shù) trapz(X,Y) 梯形法求數(shù)值積分 說明： 1. 1) 參數(shù) 39。f39。是被積函數(shù)表達(dá)式字符串或者函數(shù)文件名 。 2) 參數(shù) a、 b 定義函數(shù)積分的上下限 。 MATLAB 程序設(shè)計(jì)與實(shí)例應(yīng)用 94 3) 參數(shù) t 定義積分的精度 (默認(rèn)值 )。 2. trapz 積分中給出 Y 相對(duì)于 X 的積分值。當(dāng) Y 是 (m*n)矩陣時(shí)，積分對(duì) Y 的列向量分別進(jìn)行，得到一個(gè) (1*n)矩陣是 Y 的列向量對(duì)應(yīng)于 X 的積分結(jié)果。 例 612 設(shè) ? ?y x sinx? ，用 牛頓 — 科西法求0s sinxdx??? 。 這個(gè)積分可以用手工算出來是 2，我們看 MATLAB 的計(jì)算結(jié)果。 程序 設(shè)計(jì)及運(yùn)行結(jié)果： clear s=quadl(39。sin(x)39。,0,pi) s = 例 613 設(shè) ? ? ? ? ? ?23y x sin x x x 2 c o s 3 x? ? ?，求 ? ?20s y x dx?? 。 程序 設(shè)計(jì)及運(yùn)行結(jié)果： clear y=quadl(39。(sin(x).^2+x.^3)./(x2.*cos(3.*x))39。,0,2) %end ans = 例 614 用離散數(shù)據(jù)表示 sinx ，積分區(qū)間為 ? ?0,? 分別用離散積 分方法對(duì)其進(jìn)行積分。 程序 設(shè)計(jì)及運(yùn)行結(jié)果 (如圖 63)： clear X=0::pi。 %離散化積分變量 Y=sin(X)。 %生成被積函數(shù)的離散序列 Z=trapz(X,Y)。 %梯形法求積分 Z %end Z = 例 615 設(shè) ? ? ? ? ? ?23y x sin x x x 2 c o s 3 x? ? ?，求 ? ?20s y x dx?? 。 第六章 MATLAB 的數(shù)值計(jì)算 95 程序 設(shè)計(jì)及運(yùn)行結(jié)果： clear X=0::2。 %離散化積分變量 Y=(sin(X).^2+X.^3)./(X2.*cos(3.*X))。 Z=trapz(X,Y)。 Z %end Z = 程序 說明： 輸入公式時(shí)一定要注意算符都是對(duì)數(shù)組進(jìn)行運(yùn)算的，所以是 “ .*”“ .^”“ ./“ 。 633 數(shù)值微分 命令函數(shù)： D=diff(Y) 說明： Y 為一組離散序列， D 為與 Y 同維的離散矩陣，則微分運(yùn)算是對(duì)矩陣 的每個(gè)列向量微分。 例 616 設(shè)函數(shù) ? ?y x sinx? 和 22z 2 x 3x x 1? ? ? ?進(jìn)行微分運(yùn)算 ，并畫出計(jì)算結(jié)果的圖像。 程序 設(shè)計(jì)： clear dx=。 x=3:dx:3。 %生成一個(gè)從 3 到 3 間隔為 的序列 x1=3:dx:3dx。 y=sin(x)。 z=2.*x.^3+3.*x.^2+x1。 Y=diff(y)。 %對(duì) y 進(jìn)行微分運(yùn)算 DY= diff(y)/dx。 %對(duì) y 進(jìn)行求導(dǎo)運(yùn)算 Z=diff(z)。 %對(duì) z 進(jìn)行微分運(yùn)算 DZ=diff(z)/dx。 %對(duì) z 進(jìn)行求導(dǎo)運(yùn)算 subplot(2,2,1)。 %產(chǎn)生兩行一列的繪圖區(qū)間的第一個(gè)繪圖區(qū)間 plot(Y,39。k39。, 39。LineWidth39。,1) title(39。\fontsize{12}\fontname{Time New Roman} \Deltay(x) 39。, 39。Color39。,39。k39。) grid on subplot(2,2,2)。 %產(chǎn)生兩行一列的繪圖區(qū)間的第 二 個(gè)繪圖區(qū)間 plot(Z ,39。k39。, 39。LineWidth39。,1) title(39。\fontsize{12}\fontname{Time New Roman} \Delta z (x)39。, 39。Color39。,39。k39。) grid on MATLAB 程序設(shè)計(jì)與實(shí)例應(yīng)用 96 subplot(2,2,3)。 %產(chǎn)生兩行一列的繪圖區(qū)間的第 三 個(gè)繪圖區(qū)間 plot(x1,DY,39。k39。, 39。LineWidth39。, 1) title(39。\fontsize{12}\fontname{Time New Roman}y39。39。(x)=cosx39。, 39。Color39。,39。k39。) xlabel(39。\fontsize{12}\fontname{Time New Roman}x39。, 39。Color39。,39。k39。) ylabel(39。\fontsize{12}\fontname{Time New Roman}dy/dx39。, 39。Color39。,39。k39。) axis ([3 3 1 1]) grid on subplot(2,2,4)。 %產(chǎn)生兩行一列的繪圖區(qū)間的第 四 個(gè)繪圖區(qū)間 plot(x1,DZ ,39。k39。, 39。LineWidth39。, 1) title(39。\fontsize{12}\fontname{Time New Roman} z39。39。(x)=6x^2+6x+139。, 39。Color39。,39。k39。) xlabel(39。\fontsize{12}\fontname{Time New Roman}x39。, 39。Color39。,39。k39。) ylabel(39。\fontsize{12}\fontname{Time New Roman}dz/dx39。, 39。Color39。,39。k39。) axis ([3 3 20 80]) grid on %end 運(yùn)行結(jié)果（如圖 62）： 程序 說明： 1. 輸入公式時(shí)一定要注意算符都是對(duì)數(shù)組進(jìn)行運(yùn)算的，所以是 “ .*”“ .^” “ ./” 。 2. Y=diff(y)和 Z=diff(z)和依此畫出的圖像，縱坐標(biāo)是 兩函數(shù)的微分，橫坐標(biāo)是數(shù)據(jù)序列的值并不是實(shí)際圖像的橫坐標(biāo)。由于縱坐標(biāo)是 ? ? ? ?n n 1 nf f x f x?? ? ?????，所以縱坐標(biāo)在數(shù)值上是導(dǎo)數(shù)的? ?n 1 nxx? ? 倍 。 3. 導(dǎo)數(shù)圖的縱坐標(biāo)是 ? ? ? ? ? ?n n 1 n n 1 nf f x f x x x??? ? ? ?????， n 的取值范圍應(yīng)該是 1,2, N 1。 因此 x 取值是 1x 到 N 1 Nx x dx? ??，而微分相應(yīng)取值是 1f? 到 N1f?? ，所以兩序列的數(shù)目相差 1，所以畫圖時(shí)不能用 plot(x,diff(y) /dx)而是 plot(x1,diff(y) /dx)。 圖 62 函數(shù)的微分與導(dǎo)數(shù)圖 第六章 MATLAB 的數(shù)值計(jì)算 97 63 一般非線性方程組的數(shù)值解 命令函數(shù)： x=fsolve(39。fun39。,x0,options) 說明： 1. 39。fun39。是我們要求解的方程組，可以直接輸入，不過由于方程組比較復(fù)雜，一般都先生成一個(gè) m文件，然后再進(jìn)行調(diào)用。 2. x0 是給出的 這個(gè)方程組的初值解，我們可以隨意地給出。 3. options 是命令函數(shù) fsolve 的參數(shù)設(shè)置項(xiàng)。因?yàn)?fsolve 求解的過程本身就是一個(gè)優(yōu)化的過程，而 options 則是設(shè)置優(yōu)化過程的參數(shù)的。這里對(duì)于一般的非線性方程組求解我們常設(shè)置為optiomset(39。Display39。, 39。off39。)， 意思為不顯示優(yōu)化過程。 例 ： 617 求方程組 x y z 0x y 3z 03x y z 4? ? ???? ?