【文章內(nèi)容簡介】 ??kzzkzskz????33 169。 2020, Henan Polytechnic University 33 第五章留數(shù) 8 October 2020 課程目錄 復(fù)變函數(shù)與積分變換 ? ? ninikzsiz dznknz422,tanRe2tan2121 ???????? ???? ????? ?????故 由留數(shù)定理得： ? (1)要靈活運(yùn)用規(guī)則及洛朗級數(shù)展開來求留 數(shù)，不要死套規(guī)則 . 6s i n)()()(zzzzQzPzf ???,)(001c o s)0(39。0s i n)0(0)c o s1()0(39。0)0(000的三階零點(diǎn)是由于zpzzpzpzppzzz??????????????如 是 f (z)的三階極點(diǎn) . 34 169。 2020, Henan Polytechnic University 34 第五章留數(shù) 8 October 2020 課程目錄 復(fù)變函數(shù)與積分變換 :)( 級數(shù)展開作若將 L a u r e n tzfs i nl i m)!13(10,s i nRe306 ?????? ????????? ???? zzzzzzsz由規(guī)則!510,s i nRe6 ???????? ??zzzs???????????zzzzzzzzzz1!511!31)]!51!31([1s i n35366該方法較規(guī)則 II更簡單！ 35 169。 2020, Henan Polytechnic University 35 第五章留數(shù) 8 October 2020 課程目錄 復(fù)變函數(shù)與積分變換 ?????? ?????? ????????? ?? 665506s i nlim)!16(10,s i nRezzzzdzdzzzsz? (2) 由規(guī)則 II 的推導(dǎo)過程知，在使用規(guī)則 II 時(shí)，可將 m 取得比實(shí)際級數(shù)高，這可使計(jì)算更 簡單 . 如 !51)c os(lim!51)s i n(lim!510550????????zzzdzdzz36 169。 2020, Henan Polytechnic University 36 第五章留數(shù) 8 October 2020 課程目錄 復(fù)變函數(shù)與積分變換 3. 在無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的留數(shù) .)()(21)(的留數(shù)在為閉曲線，那么稱積分向?yàn)閳A環(huán)域內(nèi)一條簡單正內(nèi)解析，在圓環(huán)域設(shè)?????? ? zfdzzfiCzRzfC???? ???????? ?? wccwcwcwfwwz mm 1)1()(,1 101?則若令定義 1)),((Re ???? czfs由此得 )0),1(1(Re)),((Re 2 wfwszfs ????.3 2)( 2 的留數(shù)在點(diǎn)例如求 ??? zzzf37 169。 2020, Henan Polytechnic University 37 第五章留數(shù) 8 October 2020 課程目錄 復(fù)變函數(shù)與積分變換 定理 如果 f (z) 在擴(kuò)充復(fù)平面內(nèi)只有有限個(gè)孤立奇點(diǎn)（包括無窮遠(yuǎn)點(diǎn)）， 那么 f (z) 在 所有孤立奇點(diǎn) 的 留數(shù)和等于零 . .1)2()。,1(Re12 42dzzzzzeszz? ? ???）練習(xí)：（38 169。 2020, Henan Polytechnic University 38 第五章留數(shù) 8 October 2020 課程目錄 復(fù)變函數(shù)與積分變換 167。 留數(shù)在定積分計(jì)算上的應(yīng)用 的有理函數(shù)；為其中 ???????? s i n,c os)s i n,(c os,)s i n,(c os .1 20 RdR?? ???? 。)( .2 dxxR? ???? ? ).0( )( .3 adxexR i a x39 169。 2020, Henan Polytechnic University 39 第五章留數(shù) 8 October 2020 課程目錄 復(fù)變函數(shù)與積分變換 在數(shù)學(xué)分析中 ， 以及許多實(shí)際問題中 ， 往往要求計(jì)算出一些定積分或反常積分的值 ， 而這些積分中的被積函數(shù)的原函數(shù) ， 不能用初等函數(shù)表示出來；例如 ?? ? ,1c os,s i n 2 dxx xdxx x或者有時(shí)可以求出原函數(shù) ， 但計(jì)算也往往非常復(fù)雜 ， 例如 ? ? ,)1( 1 22 dxx40 169。 2020, Henan Polytechnic University 40 第五章留數(shù) 8 October 2020 課程目錄 復(fù)變函數(shù)與積分變換 （ 2） 利用留數(shù)計(jì)算積分 ， 沒有一些通用的方法， 我們主要通過例子進(jìn)行討論； 利用留數(shù)計(jì)算積分的特點(diǎn)： （ 1） 利用留數(shù)定理 ， 我們把計(jì)算一些積分的問題 ， 轉(zhuǎn)化為計(jì)算某些解析函數(shù)在孤立奇點(diǎn)的留數(shù) ， 從而大大化簡了計(jì)算； 41 169。 2020, Henan Polytechnic University 41 第五章留數(shù) 8 October 2020 課程目錄 復(fù)變函數(shù)與積分變換 例 1. 計(jì)算積分 ????20,s i n tadtI其中常數(shù) a1. 解：令 ze it ?izdzdtzzit ??? ),(s i n121而且當(dāng) t從 0增加到 ?2時(shí) ， z按逆時(shí)針方向繞 圓 C:|z|=1一周 . 42 169。 2020, Henan Polytechnic University 42 第五章留數(shù) 8 October 2020 課程目錄 復(fù)變函數(shù)與積分變換 因此 ,1222? ???C i azzdzI于是應(yīng)用留數(shù)定理 ， 只需計(jì)算 1222 ?? i azz在 |z|1內(nèi)極點(diǎn)處的留數(shù) ， 就可求出 I. 上面的被積函數(shù)有兩個(gè)極點(diǎn)： 121 ???? aiiaz 122 ???? aiiaz顯然 1||,1||21 ?? zz43 169。 2020, Henan Polytechnic University 43 第五章留數(shù) 8 October 2020 課程目錄 復(fù)變函數(shù)與積分變換 因此被積函數(shù)在 |z|1內(nèi)只有一個(gè)極點(diǎn) z1， 而它在這點(diǎn)的留數(shù)是： .11222),(R e s211 ???? aiiazzf于是求得 .1211222 ????aaiiI ??44 169。 2020, Henan Polytechnic University 44 第五章留數(shù) 8 October 2020 課程目錄 復(fù)變函數(shù)與積分變換 結(jié)論 1. 計(jì)算形如 ,)c os,(s i n20?? ? dtttRI的積分 ， 其中 R(x,y)是有理分式 ， 并且在圓C:|z|=1上 ， 分母不等于零時(shí)可得： .1)21,21(122dzizzzizzRIz? ????45 169。 2020, Henan Polytechnic University 45 第五章留數(shù) 8 October 2020 課程目錄 復(fù)變函數(shù)與積分變換 例 2. 計(jì)算積分 ? ???? ?? ,)1( 22xdxI解：首先 ， 這是一個(gè)廣義積分 ， 它顯然是收斂的 .我們應(yīng)用留數(shù)定理來計(jì)算它 .考慮函數(shù) 22 )1(1z?這個(gè)函數(shù)有兩個(gè)二階極點(diǎn) ， 在上半平面上的一個(gè)是 z= O為心 、 r為半徑的圓盤 . 46 169。 2020, Henan Polytechnic University 46 第五章留數(shù) 8 October 2020 課程目錄 復(fù)變函數(shù)與積分變換 ? ?? ? ???rr r zdzxdx2222 )1()1(.2412),)1(1(R e s222??? ????iiizir?其中 表示 Cr上的圓弧部分 ， 沿它的積分是按幅角增加的方向取的 . 考慮這一圓盤在上半平面的部分 ， 設(shè)其邊界為 r1， 那么 z=i包含在 Cr的內(nèi)區(qū)域內(nèi) ,沿 Cr取 22 )1(1z?的積分 ， 得 47 169。 2020, Henan Polytechnic University 47 第五章留數(shù) 8 October 2020 課程目錄 復(fù)變函數(shù)與積分變換 現(xiàn)在估計(jì)積分 ?? ?r zdz22 )1(我們有 ,)1( 1|)1(| 2222 rrzdzr???????因此 ,0)1(l i m 22 ??????? r zdzr令 ， 就得到 ???r.2)1( 22 ???? ? ???? xdxI48 169。 2020, Henan Polytechnic University 48 第五章留數(shù) 8 October 2020 課程目錄 復(fù)變函數(shù)與積分變換 結(jié)論 ， 我們可以計(jì)算一般形如 ,)(? ????? dxxRI的積分 ， 其中 R(x)是有理分式 ， 分母在實(shí)軸上不為零 ， 并且分母的次數(shù)比分子的次數(shù)至少高 2次 . .),2,1(,)),((Re21點(diǎn)為上半平面所有孤立奇其中 nkzzzRsiIknkk??? ???49 169。 2020, Henan Polytechnic University 49 第五章留數(shù) 8 October 2020 課程目錄 復(fù)變函數(shù)與積分變換 )2( )( 1111 ???????????nmbzbz azazzRmnmnnn??由于mmnnnmmmnnnm zbzbzazazzbzbzazazzR ?????????? ??????????????????11111111111111)( 故219111)(101,10121111???????????????zzzRzbzbzazaznmmmnn可得充分大時(shí)，可使當(dāng) ??.0)(,2)()(2??????????RRRCCCdzzRRRRdszRdzzR時(shí)即當(dāng)因此， ?50 16