【文章內(nèi)容簡介】 互反數(shù) 1,1/2, … , 1/9 尺度 1 3 5 7 9 ija相同 稍強 強 明顯強 絕對強 的重要性ji CC :ji CC :~aij = 1,1/2, ,…1/9 的重要性與上面相反 ? 心理學家認為成對比較的因素不宜超過 9個 ? 用 1~3,1~5,…1~17,…,1 p~9p (p=2,3,4,5), d+~d+ (d=1,2,3,4)等 27種比較尺度對若干實例構(gòu)造成對比較陣，算出權(quán)向量，與實際對比發(fā)現(xiàn)， 1~9尺度較優(yōu)。 ? 便于定性到定量的轉(zhuǎn)化： 成對比較陣和權(quán)向量 福 州 大 學 43 一致性檢驗 對 A確定不一致的允許范圍 已知： n 階一致陣的唯一非零特征根為 n 可證： n 階正互反陣最大特征根 ? ?n, 且 ? =n時為一致陣 1???nnCI ?定義一致性指標 : CI 越大，不一致越嚴重 RI 0 0 n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 11 10 為衡量 CI 的大小，引入 隨機一致性指標 RI——隨機模擬得到 aij , 形成 A，計算 CI 即得 RI。 定義一致性比率 CR = CI/RI 當 CR，通過一致性檢驗 Saaty的結(jié)果如下 福 州 大 學 44 “ 選擇旅游地”中準則層對目標的權(quán)向量及一致性檢驗 ?????????????????1135/13/11125/13/13/12/117/14/1557123342/11A準則層對目標的 成對比較陣 最大特征根 ?= 權(quán)向量 (特征向量 )w =(,)T ?? ??CI一致性指標 隨機一致性指標 RI= (查表 ) 一致性比率 CR= 通過一致性檢驗 福 州 大 學 45 組合權(quán)向量 記第 2層（準則）對第 1層（目標）的權(quán)向量為 Tn ),()2()2(1)2( ??同樣求第 3層 (方案 )對第 2層每一元素 (準則 )的權(quán)向量 ???????????12/15/1212/15211B方案層對 C1(景色 )的成對比較陣 ???????????1383/1138/13/112B方案層對 C2(費用 )的成對比較陣 …C n …B n 最大特征根 ?1 ?2 … ?n 權(quán)向量 w1(3) w2(3) … wn(3) 福 州 大 學 46 第 3層對第 2層的計算結(jié)果 k )3(kwk?kCI1 0 0 2 3 3 4 3 5 組合權(quán)向量 RI= (n=3), CIk 均可通過一致性檢驗 w(2) 方案 P1對目標的組合權(quán)重為 ?+ …= 方案層對目標的組合權(quán)向量為 (, , )T 福 州 大 學 47 Tn ),()2()2(1)2( ??)2()3()3( wWw ?組合 權(quán)向量 第 1層 O 第 層 C1,…C n 第 3層 P1, …P m nk Tkmkk ,2,1,),( )3()3( 1)3( ?? ??第 2層對第 1層的權(quán)向量 第 3層對第 2層各元素的權(quán)向量 ],[ )3()3(1)3( nwwW ??構(gòu)造矩陣 則第 3層對第 1層的組合權(quán)向量 )2()3()1()()( wWWWw sss ???第 s層對第 1層的組合權(quán)向量 其中 W(p)是由第 p層對第p1層權(quán)向量組成的矩陣 福 州 大 學 48 層次分析法的基本步驟 1）建立層次分析結(jié)構(gòu)模型 深入分析實際問題，將有關因素自上而下分層（目標 —準則或指標 —方案或?qū)ο螅蠈邮芟聦佑绊?，而層?nèi)各因素基本上相對獨立。 2）構(gòu)造成對比較陣 用成對比較法和 1~9尺度，構(gòu)造各層對上一層每一因素的成對比較陣。 3）計算權(quán)向量并作一致性檢驗 對每一成對比較陣計算最大特征根和特征向量，作一致性檢驗，若通過，則特征向量為權(quán)向量。 4）計算組合權(quán)向量（作組合一致性檢驗 *） 組合權(quán)向量可作為決策的定量依據(jù)。 福 州 大 學 49 二 . 層次分析法的廣泛應用 ? 應用領域：經(jīng)濟計劃和管理，能源政策和分配，人才選拔和評價，生產(chǎn)決策，交通運輸，科研選題，產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)，教育，醫(yī)療，環(huán)境，軍事等。 ? 處理問題類型：決策、評價、分析、預測等。 ? 建立層次分析結(jié)構(gòu)模型是關鍵一步，要有主要決策層參與。 ? 構(gòu)造成對比較陣是數(shù)量依據(jù)，應由經(jīng)驗豐富、判斷力強的專家給出。 福 州 大 學 50 國家綜合實力 國民 收入 軍事 力量 科技 水平 社會 穩(wěn)定 對外 貿(mào)易 美、俄、中、日、德等大國 工作選擇 貢獻 收入 發(fā)展 聲譽 關系 位置 供選擇的崗位 例 1 國家實力分析 例 2 工作選擇 福 州 大 學 51 過河的效益 A 經(jīng)濟效益 B1 社會效益 B2 環(huán)境效益 B3 節(jié)省時間C1 收入C2 岸間商業(yè)C3 當?shù)厣虡I(yè)C4 建筑就業(yè)C5 安全可靠C6 交往溝通C7 自豪感C8 舒適C9 進出方便C10 美化C11 橋梁 D1 隧道 D2 渡船 D3 （ 1）過河效益層次結(jié)構(gòu) 例 3 橫渡江河、海峽方案的抉擇 福 州 大 學 52 過河的代價 A 經(jīng)濟代價 B1 環(huán)境代價 B3 社會代價 B2 投入資金C1 操作維護C2 沖擊渡船業(yè)C3 沖擊生活方式C4 交通擁擠C5 居民搬遷C6 汽車排放物C7 對水的污染C8 對生態(tài)的破壞C9 橋梁 D1 隧道 D2 渡船 D2 （ 2）過河代價層次結(jié)構(gòu) 例 3 橫渡江河、海峽方案的抉擇 福 州 大 學 53 待評價的科技成果 直接 經(jīng)濟 效益 C11 間接 經(jīng)濟 效益 C12 社會 效益 C13 學識 水平 C21 學術 創(chuàng)新 C22 技術 水平 C23 技術 創(chuàng)新 C24 效益 C1 水平 C2 規(guī)模 C3 科技成果評價 例 4 科技成果的綜合評價 福 州 大 學 54 三 . 層次分析法的若干問題 ? 正互反陣的最大特征根是否為正數(shù)？特征向量是否為正向量？一致性指標能否反映正互反陣接近一致陣的程度？ ? 怎樣簡化計算正互反陣的最大特征根和特征向量？ ? 為什么用特征向量作為權(quán)向量？ ? 當層次結(jié)構(gòu)不完全或成對比較陣有空缺時怎樣用層次分析法？ 福 州 大 學 55 1. 正互反陣的最大特征根和特征向量的性質(zhì) 定理 1 正矩陣 A 的 最大特征根 ?是正單根，對應正特征向量 w，且 TkTkkeweAe eA )1,1,1(,l i m ?????定理 2 n階 正互反陣 A的最大特征根 ? ? n , ?= n是 A為一致陣的充要條件。 正互反陣的最大特征根是正數(shù)，特征向量是正向量。 一致性指標 定義合理 1???nnCI ?福 州 大 學 56 2. 正互反陣最大特征根和特征向量的簡化計算 ? 精確計算的復雜和不必要 ? 簡化計算的思路 ——一致陣的任一列向量都是特征向量，一致性尚好的正互反陣的列向量都應近似特征向量，可取其某種意義下的平均。 和法 ——取列向量的算術平均 ???????????14/16/1412/1621A例??????????w??????????????????????Aw ) (31 ?????列向量歸一化 算術平均 wAw ??精確結(jié)果 :w=(,)T, ?= 福 州 大 學 57 根法 ——取列向量的幾何平均 冪法 ——迭代算法 1）任取初始向量 w(0), k:=0，設置精度 ? )()1(~ kk Aww ??2) 計算 ????? ?nikikk 1)1()1()1( ~/~3）歸一化 ????nikikiwwn 1 )()1(~1?5) 計算 簡化計算 4）若 ，停止；否則， k:=k+1, 轉(zhuǎn) 2 ???? )()1(m a x kikii ww福 州 大 學 58 3. 特征向量作為權(quán)向量 ——成對比較的多步累積效應 問題 一致陣 A, 權(quán)向量 w=(w1,…w n)T, aij=wi/wj A不一致 , 應選權(quán)向量 w使 wi/wj與 aij相差盡量小（對所有 i,j)。 21 1),1(m i n ? ?? ?? ?????????ninjjiijniw wwai ?用擬合方法確定 w 非線性 最小二乘 21 1),1(lnlnm i n ? ?? ?? ?????????ninj jiijniw wwai ?線性化 —— 對數(shù)最小二乘 結(jié)果與根法相同 福 州 大 學 59 ? 按不同準則確定的權(quán)向量不同，特征向量有什么優(yōu)點。 成對比較 Ci:Cj (直接比較） aij ~ 1步強度 )( )2(2 ijaA ? sjnsisij aaa ???1)2(aisasj~ Ci通過 Cs 與 Cj的比較 aij(2) ~ 2步強度 更能反映 Ci對 Cj 的強度 步強度kaaA kijkijk ~),( )()(?多步累積效應 體現(xiàn) 多步累積效應 ),1, )()()()(00 nsaaaakkkji kjskiskjskis ??????? （或定理 1 weAeeAkTkk???l i m 特征向量體現(xiàn) 多步累積效應 當 k足夠大 , Ak第 i行元素反映 Ci的權(quán)重 求 Ak的行和 福 州 大 學 60 完全層次結(jié)構(gòu)：上層每一元素與下層所有元素相關聯(lián) 不完全層次結(jié)構(gòu) 設第 2層對第 1層權(quán)向量w(2)=(w1(2),w2(2))T已定 第 3層對第 2層權(quán)向量w1(3)=(w11(3),w12(3),w13(3),0)T w2(3)=(0,0,w23(3),w24(3)T已得 討論由 w(2),W(3)=(w1(3), w2(3))計算 第 3層對第 1層權(quán)向量w(3） 的方法 貢獻 O 教學 C1 科研 C2 P2 P1 P3 P4 例 : 評價教師貢獻的層次結(jié)構(gòu) P1,P2只作教學 , P4只作科研 , P3兼作教學、科研。 C1,C2支配元素的數(shù)目不等