【文章內容簡介】 是基時二者等價. 設是空間,若,是緊集,則是緊集.證明是簡單的,故省略. 設是空間,若是緊集,是閉集,則是緊集.證 設,為的任一,則,易證為的,由是緊集,有有限子族,使構成的,令,則為的且,得證. ,是連續(xù)的滿的值Zadeh型函數(shù),若是中的緊集,則是中的緊集.證 設為的任一,注意到,于是使,這等價于,這說明是的,由是緊集知,有有限子族使構成的,下證是的.,由是滿的值Zadeh型函數(shù)知存在使,于是存在使,這等價于,.[13]設是由分明拓撲空間拓撲生成的空間,則是強緊空間當且僅當是緊空間.,則存在子基使得是緊空間當且僅當是緊空間.證 .第三章 模 糊 緊緊性是空間中一個非常重要的概念,[0,1]－拓撲空間中的[2],后來Rodabaugh[22]又做了進一步推廣,并且從范疇的觀點看,在poslat拓撲中這個定義是較理想[23].Gantner,Steinlage與Warren在－拓撲空間中引入了－緊[10],Lowen在[0,1]－拓撲空間中引入了模糊緊、強模糊緊和超模糊緊,劉應明引入了－子集的－緊[24],最近史福貴又提出了一種新形式的緊[25],以及以這種形式為背景的－緊[26]、緊[27]、S緊[28]、緊[29]及緊[30]等種種緊性.而層次結構是空間的一種重要特征,給出了兩種新的緊性,同時利用層次閉集給出了強模糊緊性的一些新的特征. 閉集在強模糊緊性方面的應用在空間中,通常這樣應用層次結構：假設空間有某些好的性質,考慮分明拓撲空間以及是否也有類似的性質,其中,= {:},= {:()α},= {:},= {: A(x)α}, [] ={:是分明集}.考慮這樣一個問題：在空間中定義一種模糊集,它不是通常的閉集,但在某一層上卻很像一個閉集,便是這種閉集的一種應用.[12] 設 是空間,.定義算子: →: ,.[12] 設 是空間, .那么,有(1)；(2)；(3)；(4). 設是空間,. (1)[12]被稱為中的閉集,.(2)[31]被稱為中的–開集,如果是中的–.(3)[32]被稱為中的閉集,.(4)被稱為中的開集,.[12] 設是空間,.則(1)和是上的余拓撲.(2)和是上的拓撲.(3),. 設是一個空間,.被稱為的,如果使得. 設是一個空間,.則是強緊集當且僅當?shù)拿總€ ,使得是的.證 設是強緊集. ,令是的任意,所以,使得是的.反之,令是的任意,則使得,即,進而,因此是的,于是 有 ,即,這已證明是強緊集. 設是空間, 是中的分子網,如果S 經常不在中, 則稱為S的聚點. 設是空間,則是強緊集當且僅當,中每個常值網在中有高為的聚點.證 充分性 假設不是強緊集,則和的,使得,有,則S是中的常值網,又 使 得 ,此 時 ,當(即)時, 有 , 即最終在中,這說明不是的聚點,.必要性 設是強緊集,假設和中常值網在中沒有高為的聚點,則,當時,取且,則當時,此式對任意的都成立,這說明中沒有的任何遠域,因此不是的,這與是強緊集相矛盾.下面利用閉（開）集給出強緊性的一些新的特征,由此可以看出,在某些情況下,層次閉（開）集確實可以充當閉（開）集來用. 設, ,（1）稱為的擬,如果使得.（2）稱為的擬覆蓋,如果使得.（3）稱在中有有限交性質,如果,使得.下述命題是顯然的. 設, .是的擬當且僅當是的擬覆蓋. 設是一個空間,則下列條件等價：（1）是強緊集；（2）,及的任意擬,使得是的擬；（3）,及的任意擬,使得是的擬；（4）,及的任意擬覆蓋,使得是的擬覆蓋；（5）,及的任意擬覆蓋,使得是的擬覆蓋；（6）,及每個在中具有有限交性質的,使得；（7）,及每個在中具有有限交性質的,使得.證 （1）（2）,設 是 的 擬 . 則, 使 ,即 ,因為 , .于是,存在,使,則是的,由是強緊集,即,從而,即,這表明是的擬.（2）（3）由立得.（3）（4）,設是的擬覆蓋,是的擬,由（3）,存在,構成的擬覆蓋.（4）（5）,設 是 的擬 覆蓋,則 ,使,使,（4）,則.,使,即,故,這表明構成的擬覆蓋.（5）（6）假設存在及某個在中具有有限交性質的使得均有,則,使,（5）,使,即,所以,這與在中具有有限交性質的不合.（6）（7）,設在中具有有限交性質,則,使,.從而,于是,可見,（6）,使.（7）（1）,不是的,則使,. 又,（7）,當時,.因此,這證明是強緊集.下面的結果是李生剛等在文[33]中得到的： 設是空間,則下列條件等價：(1)是強緊集；(2),是分明拓撲空間中的緊子集,這里；(3) 是強緊集.證 （1）（2） 設 是 的任一開覆蓋（）,則,使,即,是的有限開覆蓋,所以是中的緊子集.（2）（3）,.,故可設,此時.,即,使,（2）,存在,所以是強緊集.（3）（1）,設是的.,若,則,自然是的。若,則,（3）,.利用層次閉（開）集可以做出比上述定理中的（2）更一般的結論.,則下列條件等價：(1)是強緊集.(2),是分明拓撲空間中的緊子集,這里.(3),是分明拓撲空間中的緊子集,這里.(4),是分明拓撲空間中的緊子集,這里.(5),是分明拓撲空間中的緊子集,這里.證 （1）（2）,設是在中的任意開覆蓋,則,使,即,從而,于是,（1）（5）,存在,所以是分明拓撲空間中的緊子集.（2）（3）由立得.（3）（4）,使,所以 是 在 中的開覆蓋,由（3）,所以是分明拓撲空間中的緊子集.（4）（5）,故,所以,故是 在 中的開覆蓋,由（4）,存在,,所以,這表明是的有限覆蓋,因此是分明拓撲空間中的緊子集.（5）（1）,設是的任意擬覆蓋,（5）,（5）,是強緊集. 緊[14]設 是空間,稱是的開覆蓋,如果有.[25]設 是空間,稱是的開覆蓋,如果存在使. 設是空間, ,稱是緊集,如果及的任意開覆蓋有有限子族構成的開覆蓋. 設是緊的,是閉集,則是緊的.證 設, 是的任一開覆蓋,則是的開覆蓋,由是—緊知,存在有限子族構成的的開覆蓋,令,. 設