模糊拓?fù)鋵W(xué)_碩士學(xué)位論文(文件)
【正文】 包算子及其應(yīng)用 3 由子基生成的內(nèi)部算子和閉包算子 3 相對開集和相對閉集 4 分子網(wǎng)及其收斂理論 6 相對子基的連續(xù)序同態(tài) 8 連通性 10 分離性 12 緊 14第三章 模 糊 緊 16 閉集在強模糊緊性方面的應(yīng)用 16 —緊 22 層次不等式緊 25 關(guān)于幾乎良緊性的注記 29參考文獻(xiàn) 31致 謝 33攻讀學(xué)位期間發(fā)表的學(xué)術(shù)論文 3432前 言[1]為骨架提出模糊拓?fù)淇臻g（簡稱F拓?fù)淇臻g）的概念[2]以來,正因如此,分明拓?fù)鋵W(xué)中的幾乎全部結(jié)果都可以推廣到模糊拓?fù)鋵W(xué)中來,如開集、閉集、鄰域、F連續(xù)映射及其特征刻畫定理,覆蓋性質(zhì)和緊性及其在連續(xù)映射下的不變性[3],但作為建立完整的模糊拓?fù)鋵W(xué)理論的總進(jìn)程來看,像在分明拓?fù)鋵W(xué)中那樣[4],若中正則開集的原象是中的開集,則稱是幾乎連續(xù)的.[4][5]引入了所謂幾乎緊性,F拓?fù)淇臻g叫幾乎緊的,若的每個開覆蓋都有有限子族,其中各開集的閉包覆蓋(在分明拓?fù)鋵W(xué)中,若是拓?fù)淇臻g,則此定義刻畫的是絕對閉性).其它比如Borel集、半開集、絕對閉性、[6]與[7]鑒于Pawlak粗糙集模型和覆蓋廣義粗糙集模型中的下近似集和上近似集分別對應(yīng)于某一拓?fù)淇臻g的子集的內(nèi)部和閉包,定義了分明拓?fù)淇臻g中的子集關(guān)于子基的內(nèi)部和閉包,（簡稱空間）,并引入了相應(yīng)的附著點、聚點等概念,同時討論了網(wǎng)的收斂,刻畫了空間中的連續(xù)序同態(tài)、連通性、分離性以及緊性.然而,更吸引人的似乎是那些能充分體現(xiàn)出模糊拓?fù)鋵W(xué)特點的工作,文[8]通過模糊集的邊界特征來刻畫緊性,文[9],像Gantner、Steinlage與Warren在－拓?fù)淇臻g中引入的緊性[10],Lowen在[0,1]－拓?fù)淇臻g中引入的模糊緊、強模糊緊以及超模糊緊等都是從層次結(jié)構(gòu)入手來研究模糊緊性的[11].本文第三章給出了兩種層次緊性,一種是以文[25]給出的不等式緊為定義的緊,一種是利用文[14][12]引入的閉集（看似閉集,但不是閉集,只是在某一層上像閉集,而有些情況下確實又能代替閉集）,給出了關(guān)于強模糊緊性的一些新特征,最后證明了文[35]給出的幾乎良緊集和近良緊集是等價的.第一章 預(yù)備知識本文中,總表示一個完全分配的de Morgan 代數(shù),表示上的所有模糊集的集合, 、,如果時,有或。若,則稱為關(guān)于子基的相對閉集,所有閉集的集合記為,顯然,.由相對開集和相對閉集的定義易得下述命題. . 設(shè)為空間,則（1）；（2）任意多個開集的并仍是開集.證 （1）（4）易得.（2）設(shè)A是一族開集,（8）知,故,注意到,故,又顯然有,所以,得證. 設(shè)為空間,若,則稱為分子的閉遠(yuǎn)域,所有閉遠(yuǎn)域的集合記為。（3）存在兩個非的開集使. 設(shè)是空間中的連通集,則是連通集.證 設(shè),令,則易證 且 , 同理可證 ,由是連通集得 或 ,不妨設(shè),則,由此得,從而,所以,故是連通集. 若是空間中的連通集,則是連通集.,則是連通集.,則是連通集. 若是連通集,則也是連通集. 若是空間中的連通集,則是連通集. 設(shè)是空間,下面條件等價：（1）是連通集；（2）若是隔離的且,則；（3）若是隔離的且,則.證 （1）（2）設(shè),易知,由是隔離的知, ,這與是連通集相矛盾,故.（2）（1）設(shè),則是隔離的且,由此立得,所以是連通集.（2）（3）由易知,再由,得證.（3）（2）不妨設(shè),且是隔離的,則 ,即,所以. 中的每個元都是連通的. 設(shè)是空間,如果是連通的,且有使與都不是隔離的,則是連通集.證明同[13]中相應(yīng)定理的證明,故省略. 若一族連通集的交非空,則它們的并是連通的. 設(shè)是空間,是連通集,是連續(xù)的,則是連通集.證 設(shè) 且,令 ,則 ,且由是連續(xù)的知,于是,令, 則 且 , 因 為是連通集, ,則 ,從而,由此得,所以是連通集. 分離性目前,關(guān)于空間中分離性公理的研究工作已有很多,其中文[13]中引入的分離性不蘊含分離性,甚至不是的,文[20]和[21]結(jié)合鄰域和遠(yuǎn)域引入一種新的分離性公理,并且蘊含,蘊含. 稱空間是的,如果存在子基使且,存在使或有使.,如果存在子基使,當(dāng)時,存在使.,如果存在子基使,當(dāng)時,存在與開集滿足且.顯然. 空間是的對中任二不同的分子有. 空間是的任一分子都是閉集.證 必要性 設(shè)空間是的,設(shè),則是的附著點,如果,則由性知存在使得,這與矛盾,所以,這說明是閉集.充分性 取即可證得.易知,反之取即可. 設(shè)是空間,下列條件等價：（1）是的；（2）,當(dāng)時,存在使；（3）,當(dāng)時,存在開集滿足使；[15]設(shè)是弱誘導(dǎo)拓?fù)淇臻g,且,則是中的開集.[13]設(shè)是分子格,則的每個元都有一標(biāo)準(zhǔn)極小集.,則存在子基使是的當(dāng)且僅當(dāng)是的.證 充分性 設(shè) 是 的, 且 . 若 ,則 ,令 ,則 , 這說明既是 中 的開集又是閉集,則存在使得且,此時且,得證.必要性 設(shè)存在子基 , 使 是 的, 且,則,故可取,則且,從而存在,使得,由此知,但,由于,即,由,所以,即且是的開鄰域,又顯然,因此是的. 分離性是弱拓?fù)洳蛔冃? 緊,稱是緊集,如果對的任一 ,稱是緊拓?fù)淇臻g. 是緊集當(dāng)且僅當(dāng)任意,的任一覆蓋U有有限子族使V構(gòu)成的開覆蓋. [13]設(shè)是一個空間,是強緊集當(dāng)且僅當(dāng)?shù)拿總€,使得是的（）. 緊蘊含強緊,并且當(dāng)是基時二者等價. 設(shè)是空間,若,是緊集,則是緊集.證明是簡單的,故省略. 設(shè)是空間,若是緊集,是閉集,則是緊集.證 設(shè),為的任一,則,易證為的,由是緊集,有有限子族,使構(gòu)成的,令,則為的且,得證. ,是連續(xù)的滿的值Zadeh型函數(shù),若是中的緊集,則是中的緊集.證 設(shè)為的任一,注意到,于是使,這等價于,這說明是的,由是緊集知,有有限子族使構(gòu)成的,下證是的.,由是滿的值Zadeh型函數(shù)知存在使,于是存在使,這等價于,.[13]設(shè)是由分明拓?fù)淇臻g拓?fù)渖傻目臻g,則
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