【文章內(nèi)容簡介】 erpolation，NaN）是一種較新的插值方法，它基于Voronoi圖（又叫泰森多邊形或Dirichlet圖）。此方法對(duì)于處理高度離散分布的不規(guī)則節(jié)點(diǎn)以及描述空間尺度上的劇烈變化具有良好的效果。作為計(jì)算幾何學(xué)的重要基礎(chǔ)，Voronoi圖起源于數(shù)學(xué)家Dirichlet（1850）和Voronoi(1908)提出的思想。概括地說Voronoi圖就是利用平面域上的有限離散點(diǎn)集將所在平面域剖分為凸多邊形子區(qū)域的集合。當(dāng)向Voronoi圖中的多邊形集合中加入一個(gè)新的數(shù)據(jù)點(diǎn)時(shí)，就會(huì)修改這個(gè)Voronoi圖，使一些多邊形縮小。對(duì)于某離散點(diǎn)xi而言，那些與它具有共同Voronoi圖多邊形邊界的離散點(diǎn)稱為自然鄰點(diǎn)(Natural Neighbors)。自然鄰點(diǎn)插值方法就是根據(jù)各自然鄰點(diǎn)對(duì)待插值點(diǎn)函數(shù)值的權(quán)重來計(jì)算該節(jié)點(diǎn)的插值結(jié)果，見公式：f x∈Ω i∈(1,2,3,……,N)= (16)上式中，fx是待插值點(diǎn)x的物理量值，i是點(diǎn)x的自然鄰點(diǎn)序號(hào)，其求和個(gè)數(shù)為x的自然鄰點(diǎn)數(shù)目，f(x)是節(jié)點(diǎn)xi的物理量值，(x)是對(duì)應(yīng)節(jié)點(diǎn)xi的插值基函數(shù)。為待插值點(diǎn)所在Voronoi圖中多邊形的總面積，可以把它分為N個(gè)部分，每一個(gè)部分都是新節(jié)點(diǎn)所在的多邊形與其自然鄰點(diǎn)原有多邊形重疊的部分，設(shè)各部分面積為。用各部分面積除以總面積得到待插值點(diǎn)的自然鄰點(diǎn)坐標(biāo)，即各個(gè)的值。自然鄰點(diǎn)插值法是一種局部插值方法，即對(duì)某一點(diǎn)的插值主要取決于其附近區(qū)域的自然鄰點(diǎn)，其插值基函數(shù)在除定義節(jié)點(diǎn)外的定義域內(nèi)處處連續(xù)且無窮次可微，此方法對(duì)于分布高度不規(guī)則的數(shù)據(jù)具有良好的插值效果。 樣條插值法“樣條”的原意是繪圖時(shí)用的彈性曲尺，在傳統(tǒng)手工過程中，繪圖員使用一種靈活的曲線規(guī)逐條擬合出平滑的曲線。這種靈活的曲線規(guī)繪出的分段曲線稱為樣條。與樣條匹配的數(shù)據(jù)點(diǎn)稱為“樁點(diǎn)”，繪制曲線時(shí)樁點(diǎn)控制曲線的位置。曲線規(guī)繪出的曲線在數(shù)學(xué)上用分段的三次多項(xiàng)式函數(shù)描述這些曲線，在連接處有連續(xù)的一階合二階連續(xù)倒數(shù)。樣調(diào)函數(shù)是數(shù)學(xué)上與靈活曲線規(guī)對(duì)等的一個(gè)數(shù)學(xué)等式，是一個(gè)分段函數(shù)，進(jìn)行一次擬合只有與少數(shù)點(diǎn)擬合，同時(shí)保證曲線段連接處連續(xù)。這就意味著樣條函數(shù)可以修改少數(shù)數(shù)據(jù)點(diǎn)配準(zhǔn)而不必重新計(jì)算整條曲線（如下圖所示）。圖23 樣條插值法示意圖圖中（1）為二次樣條曲線的一個(gè)點(diǎn)位置變化時(shí)，只需要重新計(jì)算四段曲線；（2）為一次樣條曲線的點(diǎn)位置變化時(shí)，只需要重新計(jì)算兩段曲線。 線性插值法實(shí)際的連續(xù)空間表面很難用一種數(shù)學(xué)多項(xiàng)式描述，因此往往采用局部內(nèi)插技術(shù)，即利用局部范圍內(nèi)的已知點(diǎn)數(shù)據(jù)內(nèi)插出未知點(diǎn)數(shù)據(jù)。線性內(nèi)插方法是常見的插值法，內(nèi)插多項(xiàng)式如下：Z=+x+y （17）式中，系數(shù)、可利用相鄰的三個(gè)已知點(diǎn)求得。 非線性插值法Hiroshi Akima（1978）提出了一種基于三角形的五次非線性內(nèi)插方法，（1972）的三角形，即最大化最小角原則。內(nèi)插多項(xiàng)式如下： （18） 各種插值方法的比較一般來說插值結(jié)果應(yīng)該滿足下述要求：（1）保凸（形）性要求：以曲線為例，如果模擬曲線與實(shí)際曲線有同樣多拐點(diǎn)個(gè)數(shù)，而且拐點(diǎn)的位置接近，則認(rèn)為模擬曲線的保凸性良好，反之，如果兩者拐點(diǎn)數(shù)目不相等，或者雖然相等但是對(duì)應(yīng)位置相差較大，則認(rèn)為保凸性差；（2）光滑性要求：以曲線為例光滑性指曲線上曲率的連續(xù)性，函數(shù)二次可導(dǎo)是曲率連續(xù)的先決條件。本文主要對(duì)內(nèi)插方法的效率、準(zhǔn)確性、空白區(qū)域插值能力、平滑能力進(jìn)行比較（見下表）每個(gè)方面分為5個(gè)等級(jí)，五個(gè)“*”到一個(gè)“*”由優(yōu)到劣顯示。圖24 Lidar數(shù)據(jù)內(nèi)插方式比較通過上述比較可以看出Kriging算法內(nèi)插效果優(yōu)良但處理時(shí)間過長，無法滿足工程化海量數(shù)據(jù)快速處理的要求，較適合小區(qū)域數(shù)據(jù)內(nèi)插；線性內(nèi)插方法數(shù)據(jù)處理效率最快，平滑能力優(yōu)良，但存在高程細(xì)節(jié)描述粗糙的現(xiàn)象。NaN算法數(shù)據(jù)處理效率適中，平滑能力和空白區(qū)域處理能力較好，但存在插值不準(zhǔn)確現(xiàn)象；樣條插值法有高程錯(cuò)點(diǎn)且在線性表現(xiàn)方面有較明顯的失真現(xiàn)象；Kriging算法相比之下內(nèi)插的準(zhǔn)確性更好。在空白區(qū)域處理能力方面大部分內(nèi)插算法可以較好實(shí)現(xiàn)，但樣條法在實(shí)驗(yàn)區(qū)Ⅱ的DEM空白區(qū)域內(nèi)插出的高程值出現(xiàn)異常，導(dǎo)致暈渲圖中存在過多溝壑和凸起區(qū)域，地形不連續(xù)，平滑性差。當(dāng)然平滑性太強(qiáng)也無法反映地貌的細(xì)微高程變化，導(dǎo)致地形失真，如非線性插值中的梯田區(qū)域?？偟膩碚f，各種插值法沒有必然的優(yōu)劣之分，主要取決于插值格網(wǎng)的用途和相應(yīng)的要求。DSM的插值是針對(duì)剔除粗差后的LIDAR數(shù)據(jù)進(jìn)行的，所以數(shù)據(jù)較密集，點(diǎn)云分布較均勻，房屋與地面、樹木與地面的過渡曲線比較多，要求每種插值算法能夠很好地表現(xiàn)原始數(shù)據(jù)，尤其是能準(zhǔn)確地描述樹木、房屋在地形中的高程變化。DEM的插值主要針對(duì)LIDAR數(shù)據(jù)的地面點(diǎn)類別進(jìn)行，空白數(shù)據(jù)較多，高程變化不明顯，要求每種算法能夠?qū)o數(shù)據(jù)地區(qū)實(shí)現(xiàn)準(zhǔn)確內(nèi)插，對(duì)局部適度平滑地表現(xiàn)地形，同時(shí)兼顧梯田等高程的細(xì)微變化。在綜合分析了上述內(nèi)容的比較結(jié)果后，本文將不同插值對(duì)于激光雷達(dá)數(shù)據(jù)生成DSM、DEM的適應(yīng)程度分為了三個(gè)等級(jí)，見下表。其中，面向林業(yè)等非線性地物元素提取推薦使用Kriging插值方法，該方法對(duì)空間非線性不連續(xù)物體的表現(xiàn)更為準(zhǔn)確，插值實(shí)現(xiàn)起來更為穩(wěn)??；面向建筑物、道路等線性地物提取推薦使用線性內(nèi)插和NaN算法，該算法在擬和直線方面優(yōu)勢較明顯。圖25 插值方法適應(yīng)性比較第三章 傳統(tǒng)DOM的制作方式 數(shù)字微分糾正根據(jù)有關(guān)參數(shù)與數(shù)字地面模型，利用相應(yīng)的構(gòu)象技術(shù)，或按一定的數(shù)學(xué)模型用控制點(diǎn)解算，從原始的非正射投影的數(shù)字影像獲取正射影像，這種過程是將影像化為很多微小的區(qū)域逐一進(jìn)行糾正，而且使用的是數(shù)字方式處理，故叫做數(shù)字微分糾正或數(shù)字糾正。本節(jié)主要介紹框幅式中心投影影像與線陣列掃描影像的數(shù)字微分糾正方法。傳統(tǒng)正射糾正是在已建立影像成像模型的基礎(chǔ)上，利用DEM對(duì)原始數(shù)字影像進(jìn)行校正，消除傾斜誤差和投影誤差，以獲取正射影像圖。對(duì)于間接法正射糾正，在根據(jù)正射影像的像素坐標(biāo)和有關(guān)參數(shù)計(jì)算出（X,Y）后，需以此為基礎(chǔ)在DEM中內(nèi)插出高程Z，進(jìn)而根據(jù)共線方程計(jì)算原始影像的像點(diǎn)坐標(biāo)并獲取相應(yīng)的灰度信息，對(duì)于直接法正射糾正，情況較為復(fù)雜。 數(shù)字微分糾正的基本原理數(shù)字微分糾正的基本任務(wù)是實(shí)現(xiàn)兩個(gè)二維圖像之間的幾何變換。在數(shù)字微分糾正過程中，必須首先確定原始影像與糾正后圖像之間的幾何關(guān)系。設(shè)任意像元在原始圖像和糾正后圖像中的坐標(biāo)分別為（x,y）和（X，Y）。它們之間存在著正射關(guān)系：x=。 y= (21)X=。 Y= (22)公式（211）是由糾正后的像點(diǎn)坐標(biāo)（X，Y）出發(fā)反求其在原始圖像上的像點(diǎn)坐標(biāo)（x,y）,這種方法稱為反解法（或間接解法）。而公式（212）則相反，它是由原始圖像上像點(diǎn)坐標(biāo)（x,y）解求糾正后圖像上相應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)（X，Y），這種稱為正解法（或稱直接解法）。在實(shí)際數(shù)字糾正中通過解求對(duì)應(yīng)像元的位置，然后進(jìn)行內(nèi)插和賦值運(yùn)算。 框幅式中心投影影像的數(shù)字微分糾正從糾正的最小單元來區(qū)分微分糾正的類別，基本上可以分為兩類：一類點(diǎn)元素糾正；另一類是線元素糾正。有時(shí)亦有第三類，即面元素糾正，如自動(dòng)解析測圖儀GPM的微分糾正部分，其實(shí)質(zhì)為點(diǎn)元素糾正。多數(shù)光學(xué)微分糾正的儀器屬線元素微分糾正，即以很窄的縫隙為糾正的最小單元。而數(shù)字影像則是由像元排列而成的矩陣，其處理原理的最基本的單元是像素，因此，對(duì)數(shù)字影像進(jìn)行數(shù)字微分糾正，在原理上最適合點(diǎn)元素微分糾正。但能否真正做到點(diǎn)元素微分糾正，取決于能否真實(shí)地測定每個(gè)像元的物方坐標(biāo)X，Y，Z。實(shí)際上，大部分像元的物方坐標(biāo)一般采用線性內(nèi)插獲得，此時(shí)數(shù)字糾正實(shí)際上還是線元素糾正或面元素糾正。（間接法）數(shù)字微分糾正 應(yīng)用反解公式（21）計(jì)算原始圖像上相應(yīng)的像點(diǎn)坐標(biāo)p(x,y）,在航空攝影測量情況下，反解公式為：