【文章內(nèi)容簡介】 帶電粒子，與電荷為 Z2e 的靶核發(fā)生散射的情況 。 對于散射過程先做一些假設(shè)： 1）只發(fā)生單次 散射 ； 2）只有庫倫力相互作用； 3）核外電子的作用可以忽略； 4)靶核靜止。 由牛頓第二定律知： F=ma 帶入力的具體形式后， 212204 oZ Z e drmr dt??? ?? ? （ 41） r 0是 r 方向上的單位矢量。因為庫侖力是中心力，而中心力滿足角動量守恒，即 2 dmr Ldt?? (常數(shù) ) （ 42） 整理得： Z2e θ φ φ Z1e rm r 粒子散射軌道 b 圖 41 帶電粒子的庫倫散射 υ 22021 2 1 2200144Z Z e Z Z ed d r d rdLmr dt? ? ??? ? ? ???? ?? 兩邊積分： 2 01204Z Z ed r dL???? ?? ??? （ 43） 等式左端積分 fi fide?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? （ 44） 式中 eυ是 υfυi 方向上的單位矢量（圖 42）。 υi,υf分別代表碰撞前后入射粒子（ Z1e）遠(yuǎn)離靶核時的速度，由于能量守恒： 221122ifE m m?????? （ 45） θ /2 θ /2 θ /2 θ υ f υ fυ i υ i （ a） 初速和末速的矢量圖 y x ev i θ /2 j j cos(θ /2) i sin(θ /2) (b) 單位矢量投影圖 O 圖 42 即， υi 與 υf 的數(shù)值必然相等（記為 υ），但兩者方向不同，由圖 （ a）可以看出，（ υfυi）這個矢量的大小 2 sin2fi ?? ? ?????，方向則與 y 軸相夾2?角。 式（ 43）右端是單位矢量積分，因 r0 是變化的單位矢量，須變換成固定坐標(biāo)的單位矢量 i , j 后才能積分，即： 0 0 ( c o s sin )r d i j d??? ? ? ?? ??????? 2 c o s ( si n c o s )2 2 2ij? ? ????? （ 46） 由圖 42（ b）可知（ υfυi）方向上的單位矢量 eυ在 x 軸， y 軸上的分量分別 isin2? 和 jcos2? ，與式（ 46）對應(yīng)一致，得： 212021201s i n c os2 4 21 c os42Z Z eLZ Z emb???????? ??? （ 47） 由于 m v2=2E ，所以： cot22ab ?? 212014 Z Z ea E??? 上式即為庫倫散射公式。式中 a 稱之為庫侖散射因子。 b為瞄準(zhǔn)距離，又稱碰撞系數(shù)，即入 射粒子與固定散射體無相互作用的情況下的最小直線距離 。θ為散射角，當(dāng)θ =90176。時，庫倫散射因子 a等于瞄準(zhǔn)距離的兩倍。 盧瑟福 散射 公式 庫倫散射公式 在理論上十分重要，但在實驗中卻無法應(yīng)用， 由于 b這個碰撞參量至今還是一個不可控制的量，在實驗中尚無方法測量。而且在真正的實驗中出現(xiàn)的散射現(xiàn)象并不是 單次散射，而是大量散射的集合結(jié)果。 由庫侖散射公式可以看出，θ與 b 有對應(yīng)關(guān)系： b 大，θ就?。?b 小，θ就大對于某一 b，就有 一個確定的θ。 瞄準(zhǔn)距離在 b 和 bdb 之間的α粒子，經(jīng)散射后，必定向著 θ和θ +dθ之間的角度射出，如圖 43所示：凡是通過圖中所示以 b 為外半徑、 bdb為內(nèi)半徑的那個環(huán)形面積的α粒子，必定散射到角度再θ和θ +dθ之間的一個空心圓錐體之中 ，環(huán)形面積 d? =2π bdb 。將庫倫散射公式平方后微分，可得： 2 222 20c os12 22 4sin 2Zed b db dM?? ? ? ??? ? ??? ???? ?? ?????? (421） （ 421）式中可以用空心圓錐體的立體角表達(dá)以代替 dθ 。由圖 43知， 所說的立體角與 dθ有下列關(guān)系： 22 sin 2 sin4 sin c os22r rdddrd? ? ? ? ? ??????? ? ?? 帶入（ 421）式，就有 2 222 4014 si n 2Z e ddM? ??? ??? ?? ?? ?? ?????? (422) 這就是盧瑟福散射公式。 dσ 是 α 粒子散射到 θ 與 θ+dθ 之間一個立體角 dΩ 內(nèi)每個原子的有效散射截面，又稱微分截面。 θ dθ dθ θ b b+db 圖 43 r d? A t 圖 51 第五章 盧瑟福理論的實驗驗證 盧瑟福散射公式的拓展 我們要把盧瑟福散射公式和實驗所能觀察到的數(shù)值聯(lián)系起來。 d?是以 b為外半徑、bdb 為內(nèi)半徑的環(huán)形面積，通過的α 粒子數(shù)它成正比，所以盧瑟福散射公式中的 d?和觀察說得的粒子數(shù)有一定關(guān)系。假設(shè)現(xiàn)有一薄膜，面積為 A，厚度為 t 。 如果單位體積中的原子數(shù)目為 N，那么薄膜中的原子數(shù)是 N NAt?? 設(shè)薄膜很薄，這些原子對射來的α粒子前后不互相遮蔽，那么膜上散射到θ與θ +dθ之間的總有效散射截面是 d N d N A t d???? ? ? 如果有 n 個α粒子射在這薄膜的全部面積 A 上，其中有 dn 個散射到 θ與θ +dθ之間 dΩ中，那么這些必定落在 d∑上 。 所以 dn d N tdnA ???? ， dnd Ntn?? （ 511） （ 511）式表示 dσ與 dn/n 成正比，因此 dσ代表散射到 θ 與 θ+dθ 之間的幾率大小。 將（ 511）帶入（ 422），即得 2 224 201s in 24d n Z e N n tdM? ? ? ??? ?????? ???????常數(shù)。 （ 512） 式中右端等于常數(shù)是指對同一α粒子源和同一種散射物質(zhì)來說的。在這情況下，右邊諸值 不變。那么這式表示左邊的數(shù)值不隨θ而變更。 在實際測量中， 并 不 是 取 θ與θ +dθ之間 的全部立體角，也就是不采用圖 43 中大環(huán)形所張開的全部立體角。測量的熒光屏 僅僅 在不同方向張開一個小的立體角 dΩ′ ,實際測得的粒子數(shù)是在 dΩ′中的 dn′。 容易理解： 在θ相同時， dΩ′ / dn′ = dΩ / dn 。（ 512）式與實驗對時，用 dΩ′ / dn′代替 dΩ / dn。 盧瑟福理論的實驗驗證 盧瑟福理論是建立在原子的核式結(jié)構(gòu)模型基礎(chǔ)上的，即原子中帶正電部分集中在原子中心很小的體積中，但是它占有整個原子 %以上 的質(zhì)量，α粒子在它外面運動，受原子全部正電荷 Ze 的庫倫力的作用。如果 實際情況確是如此，那么實驗結(jié)果應(yīng)該與理論公式（ 512）符合。從（ 512）式可以看到以下四種關(guān)系：（ 1）在同一α粒子源和同一散射體的情況下， （ dΩ′ / dn′） sin4（θ /2） =常數(shù) ；（ 2）在同一α粒子源和同一散射體，在同一散射角 dΩ′ / dn′與散射物質(zhì)的厚度 t成正比；（ 3）用同一散射物，同一散射角，（ dΩ′ / dn′）ν 4=常數(shù)；（ 4）用同一散射物，在同一散射叫對同一Nt 值 dΩ′ / dn′與 Z2成正比。 1913 年蓋革和馬斯頓又 仔細(xì)地進(jìn)行了α粒子散射的實驗 ，所得結(jié)果完全證實了上述前三項關(guān)系。 圖 52 檢驗盧瑟福散射公式的實驗裝置側(cè)視圖 α粒子散射實驗裝置如圖 52所示。在抽成真空的容器內(nèi) ,用一鉛塊 R 包圍著α粒子源 ,發(fā)射的α粒子經(jīng)一細(xì)的通道 D后 ,形成一束射線 ,打在一厚度約為 cm 的金屬箔 F上。穿過金屬箔的α粒子打到在玻璃片上涂有硫化鋅熒光物的熒光屏 S上。當(dāng)被散射的α粒子打在熒光屏上時 ,就會產(chǎn)生微弱的閃光。通過放大鏡 M 觀察閃光就可記下某一時間內(nèi)在某一方向散射的α粒子數(shù)。放大鏡、熒光屏與外殼制成一體 ,可以轉(zhuǎn)到不同 的方向?qū)Ζ亮Ｗ舆M(jìn)行觀察。 表 所列的是金箔上散射的結(jié)果 ,表中顯示散射角在 15176。到 150176。的范圍。 表 α粒子在不同角上的散射 θ（度） dn′ 1/sin4(θ /2) dn′ sin4(θ /2) 150 135 120 105 75 60 45 30 15 211 477 1435 3300 7800 27300 132021 223 690 3445 雖然 dn′ 差的很大， dn′ sin4(θ /2)確是常數(shù)，足見該理論對大角散射是合用的。對于小角的情況，以后討論。 關(guān)于上述 第二項，即散射粒子數(shù)與散射物厚度 t成正比的關(guān)系，曾對金 、 銀 、 銅 、鋁等金屬進(jìn)行了測量，觀察到在一定散射角上在一定時間內(nèi)的散射粒子數(shù) dn′ 確與箔的厚度成正比。 關(guān)于上述第三項，即散射粒子數(shù)與α粒子的初速度的關(guān)系，（ dn′） ν 4=常數(shù)，蓋革和馬斯頓也進(jìn)行了實驗。他們把鐳（ B+C）的α粒 子通過厚度不同的云母片，得到不同速度，再把這種α粒子分別在同一金屬箔上散射，并在同一角度觀察，獲得結(jié)果如表，與理論符合。 表 α粒子散射與其初速度的關(guān)系 ν 4的相對值 閃爍數(shù) dn (dn′ ) ν 4 44 81 101 255 25 24 22 23 28 23 28 關(guān)于上述第四項，當(dāng)時蓋革和馬斯頓用原有儀器未能準(zhǔn)確測定 Z 。 1920年，查德維克改進(jìn)了裝置，用盧瑟福公式第一次直接 通過實驗測出了原子的電荷數(shù) Z，他測得銅、銀、鉑的 Z值等于這些元素的原子序數(shù)。 表 原子正電荷數(shù)的測定 銅 銀 鉑 原子序數(shù) 原子的 正 電荷數(shù)測定值 29 47 78 至此，進(jìn)一步證明了盧瑟福核式模型的正確性 關(guān)于小角與 180176。處的盧瑟福公式 從（ 512）可以看出，當(dāng)θ角度很小時，在 dΩ 立體角內(nèi)接收到的出射粒子數(shù) dN′可能大于入射粒子數(shù) N，在θ非常小時， dN′甚至可以趨于無窮大，這顯然是不通的。小角，相當(dāng)于大的碰撞參數(shù)，那時，在一般的實驗條件下，核外電子 的作用可以忽略的假設(shè)不在成立。在 b達(dá)到原子半徑大小時，由于原子呈中性，庫倫散射根本不會發(fā)生。因此小角時，不考慮核外電子屏蔽效應(yīng)的盧瑟福公式不在正確。 在某些情況下， 實驗測得的盧瑟福散射截面遠(yuǎn)大于盧瑟福公式給出的數(shù)值。不過，偏差僅僅 在 180176。附近不到 1176。的范圍內(nèi)（當(dāng)θ =179176。時，實驗與理論相符很好）。 第六章 α粒子散射實驗的應(yīng)用意義 對于α粒子散射實驗的回顧和一些說明 理論推導(dǎo)過程中包含著兩個假定：（ 1）計算散射總截面 時，把單原子的散射界面乘以原子數(shù)，這個假定在金屬箔中原子核前后不互相遮蔽 ；（ 2）通過金屬箔的α粒子只經(jīng)過一次散射。 對第一個假定，我們這樣理解：所用 金屬箔是很薄的。實驗所用金屬箔的厚度有到5 107米的。可是金原子的直徑只有差不多 3 1010米，這樣還有一千多個原子的厚度，假如還考慮原子核與原子的半徑之比至多是 1014/1010=104，原子核的幾何截面至多是原子的 108，則原子核很小，核間的空間很大。這樣前后遮蔽的機(jī)會不大。如果厚度增加，當(dāng)然解蔽的機(jī)會就大起來。 對第二個假定，我們理解：α粒子 通過金屬箔，經(jīng)過了好多原子核的附近，實際上經(jīng)過多次散射。原子核很小，核空 間很大， 因此 α粒子通過金屬箔時，多次很接近原子核的機(jī)會還是不大。只有瞄準(zhǔn)距離 b 小時，散射角才大。實際觀察到的較大的 θ 角散射可以設(shè)想是由于一次大角散射和多次小角散射合成的。但多次小角散射左右上下各方向都有可能，合并起來會抵消一部分，而且每次都小，合并產(chǎn)生的方向改變比一次大角散射要小。因此有大角散射存在的情況下，小角散射可以不計。一次散射理論可以適用。 再提一下電子的問題，按原子的核式模型，原子核外邊還有電子存在。由于α粒子的質(zhì)量比電子大 7300 倍，α粒子的運動，如以前所說，受電子的影響是微不足道的。所以α粒子 散射理論中不需要將電子這個因素考慮進(jìn)去。 用α粒子散射實驗估計原子核大小