【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 a）開(kāi)環(huán)算法 (b)閉環(huán)算法 圖 31 自適應(yīng)濾波器的組成 自適應(yīng)算 法主要根據(jù)濾波器輸入統(tǒng)計(jì)特性進(jìn)行處理。它可能還與濾波器輸出和其他參數(shù)有關(guān)。根據(jù)自適應(yīng)算法是否與濾波器輸出有關(guān)，可以將其分為開(kāi)環(huán)算法和閉環(huán)算法兩類。開(kāi) 環(huán) 算法的控制輸出僅取決于濾波器的輸入和某些其他數(shù)據(jù)，但是不取決于濾波器的輸出，如圖 31（ a）所示。閉環(huán)算法的控制輸出則是濾波器輸入、濾波器輸出以及某些其他輸入的函數(shù)，如圖 31（ b）所示。 閉環(huán)算法利用了輸出反饋，它不但能在濾波器輸入變化時(shí)保持最佳的輸出，而且還能在某種程度上補(bǔ)償濾波器元件參數(shù)的變化和誤差以及運(yùn)算誤差。它的缺點(diǎn)是存在穩(wěn)定性問(wèn)武漢理工大學(xué)《 信息處理課群綜合訓(xùn)練與設(shè)計(jì) 》課程設(shè)計(jì) 7 題以及收斂速度不高。 開(kāi)環(huán)算法的優(yōu)點(diǎn)是調(diào)整速度快，一般不存在穩(wěn)定性問(wèn)題。但是通常要求的計(jì)算量大且不能補(bǔ)償元件參數(shù)誤差及運(yùn)算誤差。因此，多數(shù)采用閉環(huán)算法。 基本自適應(yīng)濾波器 設(shè)計(jì)原則 自適應(yīng)濾波器通常由兩部分構(gòu)成，其一是濾波子系統(tǒng)，根據(jù)它所要處理的功能而往往有不同的結(jié)構(gòu)形式。另一是自適應(yīng)算法部分，用來(lái)調(diào)整濾波子系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的參數(shù)，或?yàn)V波系數(shù)。在自適應(yīng)調(diào)整濾波系數(shù)的過(guò)程中，有不同的準(zhǔn)則和算法。自適應(yīng)濾波器含有兩個(gè)過(guò)程，即自適應(yīng)過(guò)程和濾波過(guò)程。前一過(guò)程的基本目標(biāo)是調(diào)節(jié)濾波系數(shù) )(kwi ，使得有意義的目標(biāo)函數(shù)或代價(jià)函數(shù) (.)? 最小化，濾波器輸出信號(hào) )(ky 逐步逼近所期望的參考信號(hào) )(kd ，由兩者之間的誤差信號(hào) )(ke 驅(qū)動(dòng)某種算法對(duì)濾波系數(shù)進(jìn)行調(diào)整，使得濾波器處于最佳工作狀態(tài)以實(shí)現(xiàn)濾波過(guò)程。所以自適應(yīng)過(guò)程是一個(gè)閉合的反饋環(huán)，算法決定了這個(gè)閉合環(huán)路的自適應(yīng)過(guò)程所需 要的時(shí)間。但是，由于目標(biāo)函數(shù) (.)? 是輸入信號(hào) )(kx ,參考信號(hào) )(kd 及輸出信號(hào) )(ky 的函數(shù)，即 (.) [x (k ) , d (k ) , y (k )] ??? （ 31） 因此目標(biāo)函數(shù)必須具有以下兩個(gè)性質(zhì)： 非負(fù)性 y( k)d( k) ,x( k) , 0 y( k) ]d( k) ,[ x( k) ,( . ) ??? ?? （ 32） 最佳性 d ( k )y ( k ) , 0 y ( k ) ]d ( k ) ,[ x( k ) ,( . ) ??? w h e n?? （ 33） 在自適應(yīng)過(guò)程中，自適應(yīng)算法逐步使目標(biāo)函數(shù) (.)? 最小化，最終使 )(ky 逼近于 )(kd ，濾波參數(shù)或權(quán)系數(shù) )(kwi 收斂于 optw ，這里 optw 是自適應(yīng)濾波系數(shù)的最優(yōu)解即維納解。因此，自適應(yīng)過(guò)程也是自適應(yīng)濾波器的最佳線性估計(jì)的過(guò)程，既要估計(jì)濾波器能實(shí)現(xiàn)期望信號(hào))(kd 的整個(gè)過(guò)程，又要估計(jì)濾波權(quán)系數(shù)以進(jìn)行有利于主要 目標(biāo)方向的調(diào)整。這些估計(jì)過(guò)程是以連續(xù)的時(shí)變形式進(jìn)行的，這就是自適應(yīng)濾波器需要有的自適應(yīng)收斂過(guò)程。如何縮短自適應(yīng)收斂過(guò)程所需要的收斂時(shí)間，這個(gè)與算法和結(jié)構(gòu)有關(guān)的問(wèn)題 是 人們一直重視研究的問(wèn)題之一 。 自適應(yīng)濾波器結(jié)構(gòu) 武漢理工大學(xué)《 信息處理課群綜合訓(xùn)練與設(shè)計(jì) 》課程設(shè)計(jì) 8 自適應(yīng)濾波器 利用前一時(shí)刻的結(jié)果，自動(dòng)調(diào)節(jié)當(dāng)前時(shí)刻的濾波器參數(shù)，以適應(yīng)信號(hào)和噪聲未知或隨機(jī)變化的特性，得到有效的輸出，主要由參數(shù)可調(diào)的 數(shù)字濾波器和自適應(yīng)算法兩部分組成，如圖 32 所示 圖 32 自適應(yīng)濾波器原理圖 x(n)稱為輸入信號(hào)， y(n)稱為輸出信號(hào)， d(n)稱為期望信號(hào)或者訓(xùn)練信號(hào)， e(n)為誤差僖號(hào)，其中， e(n)=d(n)y(n).自適應(yīng)濾波器的系數(shù) (權(quán)值 )根據(jù)誤差信號(hào) e(n)，通過(guò)一定的自適應(yīng)算法不斷的進(jìn)行改變，以達(dá)到使輸出信號(hào) y(n)最 接近期望信號(hào) 圖中參數(shù)可調(diào)的數(shù)字濾波器和自適應(yīng)算法組成自適應(yīng)濾波器。自適應(yīng)濾波算法是濾波器系數(shù)權(quán)值更新的控制算法，根據(jù)輸入信號(hào)與期望信號(hào)以及它們之間 的誤差信號(hào)，自適應(yīng)濾波算法依據(jù)算法準(zhǔn)則對(duì)濾波器的系數(shù)權(quán)值進(jìn)行更新，使其能夠使濾波器的輸出趨向于期望信號(hào)。 4 基于自適應(yīng)濾波的信號(hào)增強(qiáng) 基本維納濾波器 基本維納濾波就是用來(lái)解決從噪聲中提取信號(hào)問(wèn)題的一種濾波方法。它的解是以均方誤差最小條件下所得到的系統(tǒng)的傳遞函數(shù) )(zH 或單位樣本響應(yīng) )(kh 的形式給出的，因此更常稱這種系統(tǒng)為最佳線性過(guò)濾器或?yàn)V波器。設(shè)計(jì)維納濾波器的過(guò)程就是尋求在最小均方誤差下濾波器的單位樣本響應(yīng) )(kh 或傳遞函數(shù) )(zH 的表達(dá)式，其實(shí)質(zhì)是解維納 霍夫(WienerHopf)方程。 武漢理工大學(xué)《 信息處理課群綜合訓(xùn)練與設(shè)計(jì) 》課程設(shè)計(jì) 9 如圖 41 所示，有兩個(gè)信號(hào) x(k)和 y(k)同時(shí)加在濾波器上。典型地 y(k)包含一個(gè)與 x(k)相關(guān)地分量和另一個(gè)與 x(k)不相關(guān)地分量。維納濾波器則產(chǎn)生 y(k)中與 x(k)相關(guān)分量地最優(yōu)估計(jì)，再?gòu)?y(k)中減去它就得到 e(k)。 圖 41 基本維納濾波器 假定一個(gè) N 個(gè)系數(shù)（權(quán)值）的 FIR 濾波器的結(jié)構(gòu)，維納濾波和原始信號(hào) y(k)之間的差信號(hào) e(k)為： ??? ?? ?????? 10 )(Ni ikkkTkkkk xiwyxwynye （ 41） 其中 kx 和 w 分別為輸入信號(hào)矢量和權(quán)矢量，由下式 ??????????????????)1(1Nkkkkxxxx? ??????????????)1()1()0(Nwwww? （ 42） 誤差平方為： wxxwwxyye TkkTTkkkk ??? 222 （ 43） 對(duì) 上 式兩邊取期 望得到均方誤差 (MSE)，若輸入 x(k)與輸出 y(k)是聯(lián)合平穩(wěn)的，則： RPwxxwEwxyEyEeETTTkkTTkkkk???????2][][2][][222?? （ 44） 武漢理工大學(xué)《 信息處理課群綜合訓(xùn)練與設(shè)計(jì) 》課程設(shè)計(jì) 10 其中 ??E 代表期望， 22 ][ kyE?? 是 )(ky 的方差， ][ kkxyEP? 是長(zhǎng)度為 N 的 互相關(guān)矢量，][ Tk kxxER? 是 NN 的自相關(guān)矩陣。一個(gè) MSE 濾波系數(shù)的圖形是碗形地，且只有唯一地底部，這個(gè)圖稱 為性能曲面，它是非負(fù)的。性能曲面 的 梯度可由下式給出： RwPdwd 22 ????? ? （ 45） 圖 42 基本維納濾波器 每組系數(shù) w(i)(i=1,2,…N 1)對(duì)應(yīng)曲面是一點(diǎn)，在曲面 矢 地最小點(diǎn)梯度為 0，濾波權(quán)矢量達(dá)到最優(yōu) optw ， PRwopt 1?? （ 46） 即著名的維納 —霍夫曼方程的解。自適應(yīng)濾波 的 任務(wù)是采用合適的算法來(lái)調(diào)節(jié)濾波權(quán)重 1)(Nw,(1 ),w(0 ),w iii ?，從而找到性能曲面地最優(yōu)點(diǎn) optw 。 維納濾波的實(shí)際用途有限，若信號(hào)為非平穩(wěn)的，則 R 和 P 是時(shí)變的 ， 必需重復(fù)計(jì)算 optw 。對(duì)于實(shí)際的應(yīng)用需要能夠依次加入抽樣點(diǎn)而得到 optw 的算法。自適應(yīng)算法就是用于達(dá)到這個(gè)目的，而且不需顯式計(jì)算 R 和 P 或進(jìn)行矩陣求逆。 最陡下 降法 最陡下降法構(gòu)成了不少算法，是 LMS 算法的基礎(chǔ)。均方誤差性能函數(shù)為 ： WRWrwndE xxTxdT ??? 2)]([ 2? （ 47） 武漢理工大學(xué)《 信息處理課群綜合訓(xùn)練與設(shè)計(jì) 》課程設(shè)計(jì) 11 對(duì) W求梯度為： xdxxW rWR 22 ??? ? （ 48） 由式 ()可見(jiàn)，均方誤差 ? 是權(quán)系數(shù) 1w ， … ， Mw 的二次函數(shù)。當(dāng)權(quán)矢量 optWW? 時(shí)，? 達(dá)到最小值 min? ，幾何上這相當(dāng)于超拋物面的 “碗底 。在一般情況，濾波器在迭代過(guò)程中或當(dāng)輸入過(guò)程統(tǒng)計(jì)特性發(fā)生變化時(shí)，權(quán)矢量 W 并不正好等 于 最佳值 optW 上。為了減小誤差，一個(gè)顯然的方法是找出該工作點(diǎn)處使均方誤差 ? 減小速率最大的方向，亦即梯度 ?W? 的負(fù)方向，然后令權(quán)矢量 W(n)沿著梯度的負(fù)方向修正。換句話說(shuō)，如果在第 n次迭代上權(quán)矢量取為 )(nW ，則第 n+1 次迭代時(shí)，加權(quán)系數(shù) )1( ?nW 應(yīng)取為 : ?? WnWnW ???? )()1( （ 49） 其中 ?W? 為 ? 的梯度，而 ? 為常數(shù)并稱為步長(zhǎng)因子或收斂因子。 ?W? 的表達(dá)式為 ： ]2)(2[)()1( xdxx rnWRnWnW ???? ? （ 410） 或 ： xdxx rnWRInW ?? 2)()2()1( ???? （ 411） LMS 算法 為了采取最陡下降法，需要知道均方誤差性能函數(shù)的梯度的精 度值，這就要求輸入信號(hào) )(nX 和需要信號(hào) )(nd 平穩(wěn)且其二階統(tǒng)計(jì) 特 性為已知。這時(shí)可以根據(jù)輸入信號(hào) )(nX 和需要信號(hào) )(nd 的采樣值估計(jì) xxR 和 xdr ，從而采用最陡下降法尋求 optW 。但當(dāng)上述條件不具備時(shí)，我們只能把隨機(jī)的平方誤差 )(2ne 當(dāng)成是均方誤差 )]([ 2 neE 。對(duì)前者進(jìn)行求梯度的運(yùn)算，所得到的結(jié)果就取為關(guān)于后者的真實(shí)梯度 ?W? 的估計(jì) W??? 。這就是由 Widrow 等人提出的最小均方算法，即 LMS 算法。下面推導(dǎo)一下它的公式。在最陡下降法的式中，用梯度的估計(jì) W??? 代替梯度 ?W? 即得： ( 1 ) ( ) WW n W n ???? ? ? ? （ 412） LMS 算法采用如下的梯度估計(jì)值： 22[ ( ) ] [ ( ) ]WWWE e n e n???? ? ? ? ? （ 413） 即它用瞬時(shí)輸出誤差功率的梯度 )]([ 2 neW? 作為均方誤差梯度 )]([ 2 neEW? 的估計(jì)值。換句話說(shuō)，它用瞬時(shí)平方誤差性能函數(shù) )(2ne 代替了均方誤差性能函數(shù) )]([ 2 neE?? )。 得： )]([)()1( 2 nenWnW W???? ? （ 414） 武漢理工大學(xué)《 信息處理課群綜合訓(xùn)練與設(shè)計(jì) 》課程設(shè)計(jì) 12 )()()()()()( nXnWndnyndne T???? （ 415） 可得： )()(2)]([ 2 nXneneW ??? （ 416） 將式（ 416）代入式（ 414）得： )()(2)()1( 2 nXnenWnW ???? （ 417） LMS 算法的遞推式的最大優(yōu)點(diǎn)是它沒(méi)有交叉項(xiàng)，因而可以方便地寫成純量方程組： )()(2)()1( nXnenWnw iii ???? ,i=1,2,…,M