【文章內容簡介】 a）開環(huán)算法 (b)閉環(huán)算法 圖 31 自適應濾波器的組成 自適應算 法主要根據(jù)濾波器輸入統(tǒng)計特性進行處理。它可能還與濾波器輸出和其他參數(shù)有關。根據(jù)自適應算法是否與濾波器輸出有關，可以將其分為開環(huán)算法和閉環(huán)算法兩類。開 環(huán) 算法的控制輸出僅取決于濾波器的輸入和某些其他數(shù)據(jù)，但是不取決于濾波器的輸出，如圖 31（ a）所示。閉環(huán)算法的控制輸出則是濾波器輸入、濾波器輸出以及某些其他輸入的函數(shù)，如圖 31（ b）所示。 閉環(huán)算法利用了輸出反饋，它不但能在濾波器輸入變化時保持最佳的輸出，而且還能在某種程度上補償濾波器元件參數(shù)的變化和誤差以及運算誤差。它的缺點是存在穩(wěn)定性問武漢理工大學《 信息處理課群綜合訓練與設計 》課程設計 7 題以及收斂速度不高。 開環(huán)算法的優(yōu)點是調整速度快，一般不存在穩(wěn)定性問題。但是通常要求的計算量大且不能補償元件參數(shù)誤差及運算誤差。因此，多數(shù)采用閉環(huán)算法。 基本自適應濾波器 設計原則 自適應濾波器通常由兩部分構成，其一是濾波子系統(tǒng)，根據(jù)它所要處理的功能而往往有不同的結構形式。另一是自適應算法部分，用來調整濾波子系統(tǒng)結構的參數(shù)，或濾波系數(shù)。在自適應調整濾波系數(shù)的過程中，有不同的準則和算法。自適應濾波器含有兩個過程，即自適應過程和濾波過程。前一過程的基本目標是調節(jié)濾波系數(shù) )(kwi ，使得有意義的目標函數(shù)或代價函數(shù) (.)? 最小化，濾波器輸出信號 )(ky 逐步逼近所期望的參考信號 )(kd ，由兩者之間的誤差信號 )(ke 驅動某種算法對濾波系數(shù)進行調整，使得濾波器處于最佳工作狀態(tài)以實現(xiàn)濾波過程。所以自適應過程是一個閉合的反饋環(huán)，算法決定了這個閉合環(huán)路的自適應過程所需 要的時間。但是，由于目標函數(shù) (.)? 是輸入信號 )(kx ,參考信號 )(kd 及輸出信號 )(ky 的函數(shù)，即 (.) [x (k ) , d (k ) , y (k )] ??? （ 31） 因此目標函數(shù)必須具有以下兩個性質： 非負性 y( k)d( k) ,x( k) , 0 y( k) ]d( k) ,[ x( k) ,( . ) ??? ?? （ 32） 最佳性 d ( k )y ( k ) , 0 y ( k ) ]d ( k ) ,[ x( k ) ,( . ) ??? w h e n?? （ 33） 在自適應過程中，自適應算法逐步使目標函數(shù) (.)? 最小化，最終使 )(ky 逼近于 )(kd ，濾波參數(shù)或權系數(shù) )(kwi 收斂于 optw ，這里 optw 是自適應濾波系數(shù)的最優(yōu)解即維納解。因此，自適應過程也是自適應濾波器的最佳線性估計的過程，既要估計濾波器能實現(xiàn)期望信號)(kd 的整個過程，又要估計濾波權系數(shù)以進行有利于主要 目標方向的調整。這些估計過程是以連續(xù)的時變形式進行的，這就是自適應濾波器需要有的自適應收斂過程。如何縮短自適應收斂過程所需要的收斂時間，這個與算法和結構有關的問題 是 人們一直重視研究的問題之一 。 自適應濾波器結構 武漢理工大學《 信息處理課群綜合訓練與設計 》課程設計 8 自適應濾波器 利用前一時刻的結果，自動調節(jié)當前時刻的濾波器參數(shù)，以適應信號和噪聲未知或隨機變化的特性，得到有效的輸出，主要由參數(shù)可調的 數(shù)字濾波器和自適應算法兩部分組成，如圖 32 所示 圖 32 自適應濾波器原理圖 x(n)稱為輸入信號， y(n)稱為輸出信號， d(n)稱為期望信號或者訓練信號， e(n)為誤差僖號，其中， e(n)=d(n)y(n).自適應濾波器的系數(shù) (權值 )根據(jù)誤差信號 e(n)，通過一定的自適應算法不斷的進行改變，以達到使輸出信號 y(n)最 接近期望信號 圖中參數(shù)可調的數(shù)字濾波器和自適應算法組成自適應濾波器。自適應濾波算法是濾波器系數(shù)權值更新的控制算法，根據(jù)輸入信號與期望信號以及它們之間 的誤差信號，自適應濾波算法依據(jù)算法準則對濾波器的系數(shù)權值進行更新，使其能夠使濾波器的輸出趨向于期望信號。 4 基于自適應濾波的信號增強 基本維納濾波器 基本維納濾波就是用來解決從噪聲中提取信號問題的一種濾波方法。它的解是以均方誤差最小條件下所得到的系統(tǒng)的傳遞函數(shù) )(zH 或單位樣本響應 )(kh 的形式給出的，因此更常稱這種系統(tǒng)為最佳線性過濾器或濾波器。設計維納濾波器的過程就是尋求在最小均方誤差下濾波器的單位樣本響應 )(kh 或傳遞函數(shù) )(zH 的表達式，其實質是解維納 霍夫(WienerHopf)方程。 武漢理工大學《 信息處理課群綜合訓練與設計 》課程設計 9 如圖 41 所示，有兩個信號 x(k)和 y(k)同時加在濾波器上。典型地 y(k)包含一個與 x(k)相關地分量和另一個與 x(k)不相關地分量。維納濾波器則產生 y(k)中與 x(k)相關分量地最優(yōu)估計，再從 y(k)中減去它就得到 e(k)。 圖 41 基本維納濾波器 假定一個 N 個系數(shù)（權值）的 FIR 濾波器的結構，維納濾波和原始信號 y(k)之間的差信號 e(k)為： ??? ?? ?????? 10 )(Ni ikkkTkkkk xiwyxwynye （ 41） 其中 kx 和 w 分別為輸入信號矢量和權矢量，由下式 ??????????????????)1(1Nkkkkxxxx? ??????????????)1()1()0(Nwwww? （ 42） 誤差平方為： wxxwwxyye TkkTTkkkk ??? 222 （ 43） 對 上 式兩邊取期 望得到均方誤差 (MSE)，若輸入 x(k)與輸出 y(k)是聯(lián)合平穩(wěn)的，則： RPwxxwEwxyEyEeETTTkkTTkkkk???????2][][2][][222?? （ 44） 武漢理工大學《 信息處理課群綜合訓練與設計 》課程設計 10 其中 ??E 代表期望， 22 ][ kyE?? 是 )(ky 的方差， ][ kkxyEP? 是長度為 N 的 互相關矢量，][ Tk kxxER? 是 NN 的自相關矩陣。一個 MSE 濾波系數(shù)的圖形是碗形地，且只有唯一地底部，這個圖稱 為性能曲面，它是非負的。性能曲面 的 梯度可由下式給出： RwPdwd 22 ????? ? （ 45） 圖 42 基本維納濾波器 每組系數(shù) w(i)(i=1,2,…N 1)對應曲面是一點，在曲面 矢 地最小點梯度為 0，濾波權矢量達到最優(yōu) optw ， PRwopt 1?? （ 46） 即著名的維納 —霍夫曼方程的解。自適應濾波 的 任務是采用合適的算法來調節(jié)濾波權重 1)(Nw,(1 ),w(0 ),w iii ?，從而找到性能曲面地最優(yōu)點 optw 。 維納濾波的實際用途有限，若信號為非平穩(wěn)的，則 R 和 P 是時變的 ， 必需重復計算 optw 。對于實際的應用需要能夠依次加入抽樣點而得到 optw 的算法。自適應算法就是用于達到這個目的，而且不需顯式計算 R 和 P 或進行矩陣求逆。 最陡下 降法 最陡下降法構成了不少算法，是 LMS 算法的基礎。均方誤差性能函數(shù)為 ： WRWrwndE xxTxdT ??? 2)]([ 2? （ 47） 武漢理工大學《 信息處理課群綜合訓練與設計 》課程設計 11 對 W求梯度為： xdxxW rWR 22 ??? ? （ 48） 由式 ()可見，均方誤差 ? 是權系數(shù) 1w ， … ， Mw 的二次函數(shù)。當權矢量 optWW? 時，? 達到最小值 min? ，幾何上這相當于超拋物面的 “碗底 。在一般情況，濾波器在迭代過程中或當輸入過程統(tǒng)計特性發(fā)生變化時，權矢量 W 并不正好等 于 最佳值 optW 上。為了減小誤差，一個顯然的方法是找出該工作點處使均方誤差 ? 減小速率最大的方向，亦即梯度 ?W? 的負方向，然后令權矢量 W(n)沿著梯度的負方向修正。換句話說，如果在第 n次迭代上權矢量取為 )(nW ，則第 n+1 次迭代時，加權系數(shù) )1( ?nW 應取為 : ?? WnWnW ???? )()1( （ 49） 其中 ?W? 為 ? 的梯度，而 ? 為常數(shù)并稱為步長因子或收斂因子。 ?W? 的表達式為 ： ]2)(2[)()1( xdxx rnWRnWnW ???? ? （ 410） 或 ： xdxx rnWRInW ?? 2)()2()1( ???? （ 411） LMS 算法 為了采取最陡下降法，需要知道均方誤差性能函數(shù)的梯度的精 度值，這就要求輸入信號 )(nX 和需要信號 )(nd 平穩(wěn)且其二階統(tǒng)計 特 性為已知。這時可以根據(jù)輸入信號 )(nX 和需要信號 )(nd 的采樣值估計 xxR 和 xdr ，從而采用最陡下降法尋求 optW 。但當上述條件不具備時，我們只能把隨機的平方誤差 )(2ne 當成是均方誤差 )]([ 2 neE 。對前者進行求梯度的運算，所得到的結果就取為關于后者的真實梯度 ?W? 的估計 W??? 。這就是由 Widrow 等人提出的最小均方算法，即 LMS 算法。下面推導一下它的公式。在最陡下降法的式中，用梯度的估計 W??? 代替梯度 ?W? 即得： ( 1 ) ( ) WW n W n ???? ? ? ? （ 412） LMS 算法采用如下的梯度估計值： 22[ ( ) ] [ ( ) ]WWWE e n e n???? ? ? ? ? （ 413） 即它用瞬時輸出誤差功率的梯度 )]([ 2 neW? 作為均方誤差梯度 )]([ 2 neEW? 的估計值。換句話說，它用瞬時平方誤差性能函數(shù) )(2ne 代替了均方誤差性能函數(shù) )]([ 2 neE?? )。 得： )]([)()1( 2 nenWnW W???? ? （ 414） 武漢理工大學《 信息處理課群綜合訓練與設計 》課程設計 12 )()()()()()( nXnWndnyndne T???? （ 415） 可得： )()(2)]([ 2 nXneneW ??? （ 416） 將式（ 416）代入式（ 414）得： )()(2)()1( 2 nXnenWnW ???? （ 417） LMS 算法的遞推式的最大優(yōu)點是它沒有交叉項，因而可以方便地寫成純量方程組： )()(2)()1( nXnenWnw iii ???? ,i=1,2,…,M