【文章內容簡介】 當一個電話打不通時需要重新?lián)芴?，這就意味著一個新的顧客的到來，而原來的顧客已永遠離去。 等待制是指顧客到達時如服務設施已被占用，就留下來等待服務，一直到服務完畢才離去。這里又分為兩種情況，一種是無限等待的系統(tǒng)，不管服務系統(tǒng)中已有多少顧客，新來的顧客都進入系統(tǒng)；另一種是有限的等待系統(tǒng)，當排隊系統(tǒng)中的顧客數量超過一定限度時，新到的顧客就不再等待，而自動離開服務系統(tǒng)。 對等待制的服務系統(tǒng)，在服務次序上一般又分為以下 3 種情況。 先到先服務（ FCFS）：按到達先后次序排成隊伍依次接受服務。 當有多個服務設施時，一種是顧客分別在每個服務設施前排成一隊（例如火車站的售票口）；另一種是排成一個公共的隊伍，當任何一個服務設施有空時，排在隊首的顧客得到服務 (例如到飯店排隊用餐 )。 帶優(yōu)先服務權：到達的顧客按重要性進行分類，服務設施優(yōu)先對重要級別的顧客服務，在級別相同的顧客中按到達先后次序排隊（例如許多服務機構對 VIP 實行優(yōu)先服務）。 隨機服務：到達服務系統(tǒng)的顧客不形成隊伍，當服務設施有空時，隨機選取一名服務，對每一等待顧客來說，被選取的概率相等（例如電話查詢服務機構）。 ④服務機構設置：包括服務設施的數量、排列及服務方式分類如下。 服務設施的數量有一個或多個之分（通常稱為單站服務系統(tǒng)與多站服務系統(tǒng)）。 服務設施的排列方式分為多站服務系統(tǒng)的串聯(lián)與并聯(lián)。對 S 個服務站的并聯(lián)系統(tǒng)，一次可以同 時服務 S個顧客，對 S個服務站的串聯(lián)系統(tǒng)，每個顧客要依次經過 S個服務站，就像一個零件經過 S 道工序加工一樣。 河北工業(yè)大學城市學院 2020 屆本 科畢業(yè)論文 6 服務設施的服務方式分為單個服務和成批服務。例如：公交汽車一次就裝載大批乘客。 排隊系統(tǒng)的基本概念及符號表示 下面介紹排隊服務系統(tǒng)所涉及的基本概念。 系統(tǒng)狀態(tài)：是指一個排隊服務系統(tǒng)中的顧客數（包括正在接受服務的顧客）。 隊長：指系統(tǒng)中等待服務的顧客數，它等于系統(tǒng)狀態(tài)減去正在被服務的顧客數。 瞬時狀態(tài)：是指排隊系統(tǒng)在某一時刻的顧客數，系統(tǒng)在時刻 t 的瞬時狀態(tài)用 N(t)表示。 瞬時狀態(tài)概率：是指排隊 服務系統(tǒng)在時刻 t恰好有 n個顧客的概率，用 Pn(t)表示。 平均到達率：是指當系統(tǒng)中有 n 個顧客時，新來的顧客的平均到達率（即單位時間內的新顧客的到達數） ,用λｎ表示。當對所有的ｎ，λｎ是常數時，可用λ代替 λｎ。 平均服務率：當系統(tǒng)中有ｎ個顧客時，整個系統(tǒng)的平均服務率（即單位時間內服務完畢離去的平均顧客數），用符號μｎ表示。當ｎ≥１，μｎ是常數時，可用μ代替μｎ。 穩(wěn)定狀態(tài)：當一個排隊服務系統(tǒng)開始運轉時，系統(tǒng)狀態(tài)很大程度上取決于系統(tǒng)的初始狀態(tài)和運轉經歷的時間。但過一段時間后，系統(tǒng)的狀態(tài)將獨立于初始狀態(tài)及經歷的時間，這時稱系統(tǒng)處于穩(wěn)定狀態(tài)。由于對系統(tǒng)的瞬時狀態(tài)研究分析起來很困難，所以排隊論中主要研究系統(tǒng)處于穩(wěn)定狀態(tài)的工作情況。由于穩(wěn)定狀態(tài)時工作狀態(tài)與時刻ｔ無關，這時Ｐｎ（ｔ）可寫成Ｐｎ，Ｎ（ｔ）可寫成Ｎ。 另外，用Ｓ表示排隊服務系統(tǒng)中并聯(lián)的服務臺個數。 根據不同的輸入過程、排隊規(guī)則和服務臺數量，可以形成不同的排隊模型，為方便對模型的描述，通常采用如下的符號形式： X/Y/Z/A/B/C。 這種符號由 提出的，故稱為 Kendall 符號。其中各符號的意義如下： X為顧客相繼到達間隔時間分布 Y為服 務時間分布 Z為服務臺個數 A為系統(tǒng)容量限制，即系統(tǒng)中允許的最多顧客數 B為顧客源的總體數目 河北工業(yè)大學城市學院 2020 屆本 科畢業(yè)論文 7 C為服務規(guī)則； 表示相繼到達時間間隔和服務時間的各種分布符號有： M表示到達過程為泊松分布或負指數分布 D表示定長分布 Ek 表示 k階段愛爾朗分布 G表示一般相互獨立的隨機分布； 比如 M/M/c/N/m/FCFS 則為相繼到達時間間隔與服務時間為度指數分布， c 個服務臺，系統(tǒng)容量為 N，顧客源數目為 m，先到先服務模型。 排隊系統(tǒng)的常用分布 在排隊系統(tǒng)中，顧客相繼到達時間間隔與服務的時間分布主要有負指數分布、泊松分 布、愛爾朗分布、定長分布等。 隨機變量 X 服從負指數分布，它的分布密度函數為 負指數分布有一個重要性質即無后效性或稱馬爾可夫性。無后效性說明一個顧客到來所需的時間與過去一個顧客到來所需的時間無關，由概率知識易知，當單位時間內顧客到達數服從以λ為平均數的泊松分布時，顧客到達的時間間隔ｔ就服從相互獨立的參數λ的負指數分布，即二者是等價的。同時，服務臺對顧客服務的時間有時也服從負指數分布。 若隨機變量 X 概率分布為 ，則稱 X 服從λ的泊松分布。泊松過程是應用最為廣泛的一類隨機過程， 它用來描述排隊系統(tǒng)中顧客到達的過程，城市中的交通事故，保險公司的理賠次數等都服從泊松過程。泊松過程的構造更復雜的隨機過程的基本構建，是一個非常重要的隨機過程。 設 K個服務臺串聯(lián)，顧客接受服務分為 K 個階段，顧客在完成全部服務內容并離河北工業(yè)大學城市學院 2020 屆本 科畢業(yè)論文 8 開后，下一個顧客才能開始接受任務。顧客每個階段的服務時間 T1， T2，… ,Tk 是相互獨立的隨機變量，服從相同參數的 Kμ負指數分布，即 。 多服務臺排隊模型 多服務臺排隊模型可用 M / M / n / ∞ /∞ 表示，其中假定系統(tǒng)有 n 相互獨立的服務 窗口，顧客到達過程服從參數為λ 的泊松分布，顧客的服務時間服從參數為μ 的負指數分布。顧客的到達時間和服務時間是相互獨立的。如果顧客到達時，服務窗口全部處于繁忙的狀態(tài)，則進行等待。 在多服務窗口等待制排隊模型中，我們有如下的定理： 若 X (t)表示時刻 t系統(tǒng)中的顧客數（隊長），則 { X (t), t ≥ 0}是狀態(tài)空間 E ={0,1,2, ..}且， 生率為：λ k=λ， k=0,1,2,...... 滅率為：μ k=kμ k=1,2,....... μ k=nμ k=n+1..... 的生滅過程。 并且通過數學推導可以用以下公式計算相應參數： P等（顧客排隊等待率） = L p （平均等待隊長） = L i （顧客平均損失） = 排隊問題的仿真 離散事件系統(tǒng)仿真 系統(tǒng)仿真是針對真實系統(tǒng)建立模型，然后在模型上進行試驗，用模型替代真實系統(tǒng)，從而研究系統(tǒng)性能的方法。根據研究系統(tǒng)的不同，系統(tǒng)仿真可分為連續(xù)系統(tǒng)仿真河北工業(yè)大學城市學院 2020 屆本 科畢業(yè)論文 9 和離散系統(tǒng)仿真。離散事件系統(tǒng)指系統(tǒng)的狀態(tài)在一些離散時間點上由于某種事件的驅動而發(fā)生變化，實體包括永久實體和臨時實體。一般步驟為調研 系統(tǒng)、建立系統(tǒng)模型、確定仿真算法、建立 仿真模型、運行仿真模型、仿真結果分析、仿真結果輸出、修改系統(tǒng)參數、系統(tǒng)方案比較、確定系統(tǒng)方案和仿真結束。 FLEXSIM 軟件介紹 FLEXSIM 是一款離散事件仿真軟件程序。這意味著它被用來對這樣一類系統(tǒng)建模，這類系統(tǒng)根據特定事件發(fā)生的結果在離散時間點改變系統(tǒng)狀態(tài)，一般而言，系統(tǒng)狀態(tài)可分為空閑、繁忙、阻塞或停機等，事件則有用戶訂單到達、產品移動、機器停機等。離散仿真模型中被加工的實體通常是物理產品，但也可能是用戶、文書工作、繪圖、任務、電話、電子信息等等。 這些實體需要經過一系列的加工、等待和運輸步驟，即所謂的工藝流。加工過程中每一步都有可能需要占用一個或多個資源，例如機器、輸送機、操作員、車輛或某種工具。這些資源有些是固定的，有些是可移動的。一些資源是專門用于特定任務的，另一些則可以用于多個任務。 FLEXSIM 軟件可以解決的問題 使用 FLEXSIM 可解決的三個基本問題： 服務問題：要求以最高滿意度和最低可能成本來處理用戶及其要求； 制造問題：要求以最低可能成本在適當時間制造適當產品； 物流問題：要求以最低可能成本在適當的時間，適當的地點，獲得 適當的產品。 在實際應用中 FLEXSIM 軟件已經幫助解決了諸如減少等待時間和隊列長度，利用系統(tǒng)總行為和相關績效訓練操作人員，管理日常運作決策等問題。 Flexsim 可以幫助操作人員和管理人員了解系統(tǒng)是如何運作的，同時也可以了解如果實施替代方案系統(tǒng)將會怎樣。 河北工業(yè)大學城市學院 2020 屆本 科畢業(yè)論文 10 3 超市收銀排隊模型的建立 現狀描述及模型假設 JX 超市現狀描述 JX 超市御景藍灣店是大型 JX超市的分店，位于河北保定市。周圍有三個小區(qū)圍繞，在目前周圍小區(qū)居民已入住的情況下，其中兩個小區(qū)還在不斷擴張，有很大的發(fā)展前景。超市有三 層，其中一層為生鮮食品，二層一部分為零食飲料，剩余為日化商品，三樓為服裝及小家電。其中，超市收銀環(huán)節(jié)全部在一樓靠近出口處進行。由于顧客群龐大集中，使該超市在高峰時期顧客排隊現象嚴重。 模型假設 通過對 JX超市進行實地調查分析歸納，我們對收銀系統(tǒng)進行了合理的假設使排隊系統(tǒng)在理論上合理化。 ①輸入過程 顧客源 :我們這里所說的顧客源是超市中已經挑選完畢物品并做好交易準備的顧客，由此可見顧客的到來是隨機并且無限的，經過長時間的發(fā)展到達穩(wěn)定的狀態(tài)，并可以跟隨其意愿隨時改變所在隊列。 顧客到達分布 :由于顧客 源隨機，我們將假設顧客到達單個獨立，并且相互到達的間隔服從指數分布。通過 查閱資料可 知，在某個時間段內顧客的到達數 X（ t）服從泊松分布。實際調查發(fā)現節(jié)假日客流量激增，一天中不同時段客流量也有所差異。因此我們將對工作日和節(jié)假日分開討論并且將一天分為不同的時段。在節(jié)假日和工作日各個時段顧客到達時平穩(wěn)泊松分布，但是整天卻不是平穩(wěn)泊松分布。 ②服務機構 排隊系統(tǒng)中服務臺為 n個，基本設定單個服務臺一次只可服務一個顧客，經過實際數據每個服務臺的服務時間服從負指數分布，并且每個服務臺的服務能力相同。 ③排隊規(guī)則 如果服務臺 空閑那么顧客到達時可以進行服務，在全部服務臺忙時顧客選取最短隊列等待，符合先到先服務的隨機等待規(guī)則。 綜上所述 ,JX 超市收銀排隊系統(tǒng)是一個多服務臺 M/M/n/∞ /∞排隊模型。 河北工業(yè)大學城市學院 2020 屆本 科畢業(yè)論文 11 數據采集 原始數據 實地調研可知， JX 超市共設收銀臺 14 個。我將分為工作日和節(jié)假日兩組，每組12 個時間段分別調研。每個時間段隨機選取 100 個 5 分鐘的單位時間，統(tǒng)計整理顧客到達情況，如表所示： 表 人數 頻數 時間 10以下 10 ~ 15 15 ~ 20 20 ~ 25 25 ~ 30 30 ~ 35 35 ~ 40 40 ~ 45 45 ~ 50 50以上 9:00~10:00 6 22 37 24 6 5 0 0 0 0 10:00~11:00 0 0 5 5 40 20 21 8 1 0 11:00~12:00 0 2 10 16 40 25 5 2 0 0 12:00~13:00 5 20 50 18 5 2 0 0 0 0 13:00~14:00 5 25 39 20 7 4 0 0 0 0 14:00~15:00 0 13 20 40 19 8 2 0 0 0 15:00~16:00 0 0 2 2 7 20 42 20 7 0 16:00~17:00 0 0 0 5 7 10 25 35 18 0 17:00~18:00 0 0 0 0 3 7 20 25 45 0 18:00~19:00 0 2 10 20 40 10 10 8 0 0 19:00~20:0