【文章內(nèi)容簡介】 證明，對任何一個物理系統(tǒng)進(jìn)行確切描述是不可能的，然而模糊描述則有利于提高解決問題的效率 [8]。 從經(jīng)典集合到模糊集合的轉(zhuǎn)變 19 世紀(jì)末德國數(shù)學(xué)家 Gee Contor 發(fā)表了一系列有關(guān)集合的文章，對任意元素的集合進(jìn)行了深入的探討，提出了基數(shù)、序數(shù)等理論，創(chuàng)立了集合論，并成為現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。每個數(shù)學(xué)分支都可以 看作研究某類對象的集合，因此，集合的理論統(tǒng)一了許多似乎沒有聯(lián)系的概念 。 對于集合這一最基本的公理化的概念，不能加以定義，只能給出一種描述。即：集合一般指具有某種屬性的、確定的、彼此間可以區(qū)別的事物的全體。根吉林化工學(xué)院畢業(yè)設(shè)計 說 明書 7 據(jù)以上描述，人們研究的對象要么屬于某一集合，要么不屬于該集合，而不可能既屬于這個集合，又不屬于這個集合。對于這種集合的概念，可用特征函數(shù)（或稱為隸屬函數(shù)）描述如下： ??? ??? A x0 A x1)x(A? （ 21） 集合等價于其特征函數(shù) μA(x)。從這個意義上講，知道 μA(x)就知道 A，反之亦然，二者是一回事。這就是我們使用最為普遍并被大多數(shù)人所接受的 “經(jīng)典集合” ，為與模糊集合區(qū)別，也可稱之為 “清晰集合” 。 然而，隨著科學(xué)技術(shù)的不斷發(fā)展，人們所面臨的問題也越來越復(fù)雜。在研究的過程中，人們發(fā)現(xiàn)大多數(shù)客觀事物并不具有這種清晰性，比如，根據(jù)人的年齡，可以把人分為“少年”、“青年”、“中年”、“老年”等，而這些概念之間的界限是非常不清晰的；同樣，根據(jù)人的身高可以將人分為“矮個子”、“中等個子”、“高個子 ”等，這些概念之間同樣沒有明確的界限，用經(jīng)典集合論對這些概念進(jìn)行定義就顯得無能為力了。這說明了經(jīng)典集合的這種局限性是本質(zhì)上的。為了克服經(jīng)典集合理論的這種局限性，一種新的理論 —— 模糊集合理論便應(yīng)運(yùn)而生。 經(jīng)典集合描述的事物具有 “跳變性” ，即事物的屬性只能是從 “ 0” 變?yōu)?“ 1” 或從“ 1” 變?yōu)?“ 0” ，中間沒有過渡。而客觀事物只有少數(shù)符合這種 “ 跳變 ” 的性質(zhì)，絕大多數(shù)事物屬性的變化都是一個漸進(jìn)的過程。如人的年齡增長就是一個漸進(jìn)的過程，從嬰兒到老年是隨時間的推移逐漸變化的，不可能一夜之間發(fā)生 “跳變” 。模糊集合正好能描述這 種漸變過程。模糊集合與經(jīng)典集合在區(qū)間 [0， 1]上的映射圖明確地反映了二者的關(guān)系，如圖 21 所示 ： 圖 21 經(jīng)典集合與模糊集合映射圖 模糊控制在液位控制中的仿真應(yīng)用設(shè)計 8 模糊集合的基本概念 為了對模糊理論進(jìn)行深入的認(rèn)識，我們首先應(yīng)了解模糊集合的定義 [9]。 定義 論域 U 上的模糊集合 A 用隸屬度函數(shù) μA(x)來表示，其取值范圍為[0,1]。 定義 設(shè)給定論域 U，則 U 到 [0,1]閉區(qū)間的任一映射 μA都確定 U的一個模糊子 ? ?)x( x 1,0U: AA ?? ?? （ 22） 集 A， μA 稱為模糊子集的隸屬函數(shù)， μA(x)稱為 x 對于 A 的隸屬度。隸屬度也可記為 A(x)。在不混淆的情況下，模糊子集也稱為模糊集合。 由定義 和 可知， 模糊集合是經(jīng)典集合的一種推廣，它允許隸屬度函數(shù)在區(qū)間 [0,1]內(nèi)任意取值。也就是說，經(jīng)典集合的隸屬度函數(shù)只允許取兩個值 0 或 1，即元素要么屬于該集合（隸屬度為“ 1”）； 要么不屬于該集合（隸屬度為“ 0”）；而模糊集合的隸屬 度函數(shù)則是區(qū)間 [0,1]上的一個連續(xù)函數(shù)。 從上述定義可以看出，模糊集合并不模糊，它只是一個帶有連續(xù)隸屬度函數(shù)的集合。模糊集合清楚地表明了客觀事物屬于某一集合的“程度”，如果隸屬度函數(shù)為“ 0”，則表示該事物完全不屬于該集合；如果隸屬度函數(shù)為“ 1”，則表示該事物完全屬于該集合；如果隸屬度函數(shù)取值介于“ 0”和“ 1”之間，則表示該事物部分屬于該集合，其值越大，則表明該事物隸屬于該集合的“程度”越高，反之則隸屬程度越低。模糊集合及其隸屬度函數(shù)的出現(xiàn)，使人們更客觀、更準(zhǔn)確地利用數(shù)學(xué)語言描述事物。 論域 U 上的模糊集 合 A 可以表示為一組元素與其隸屬度值的有序?qū)Φ募?，? ? ?Ux))x(,x(A A ?? ? （ 23） 當(dāng) U連續(xù)時（如 U=R）， A 一般可以表示為 x/)x(AU A?? ? （ 24） 吉林化工學(xué)院畢業(yè)設(shè)計 說 明書 9 這里的積分符號并不表示積分，而是表示 U 上隸屬度函數(shù)為 μA(x)的所有點(diǎn)的集合。 當(dāng) U 取離散值時， A 一般可以表示為 x/)x(AU A?? ? （ 25） 同樣，這里的求和符號也只是表示 U 上隸屬度函數(shù)為 μA(x)的所有點(diǎn)的集合。 由于模糊集合是經(jīng)典集合的推廣，因此，模糊集合中的許多概念和術(shù)語是由經(jīng)典集合推廣而來的，我們在此不作過多的說明。然而，有些概念是模糊集合體系所特有的，不能通過經(jīng)典集合推廣。簡要說明如下： 定義 支撐集（ support）、模糊單值（ fuzzy singleton）、中心（ center）、交叉點(diǎn)（ crossover point）、高度（ height）、標(biāo)準(zhǔn)模糊集（ normal fuzzy set）、 α截集（ αcut）、凸模糊集（ convex fuzzy set）及投影（ projections）定義如下： 論域 U 上模糊集 A 的支撐集是一個清晰集合，它包含了 U 中所有在 A 上具有非零隸屬度的元素，即 ? ?0)x(Uxs u p p ( A ) A ??? ? （ 26） 式中， supp(A)—模糊集 A 的支撐集。 如果一個模糊集的支撐集是空的，則稱該模糊集為空模糊集；如果模糊集的支撐集僅包含 U 中的一個點(diǎn)，則稱該模糊集為模糊單值。 如果模糊集的隸屬度函數(shù)達(dá)到其最大值的所有點(diǎn)的均值是有限值，則將該均值定義為模糊集的中心；如果該均值為正（或負(fù)）無窮大，則將該模糊集的中心定義為所有達(dá)到最大隸屬值的點(diǎn)中的最小（或最大）點(diǎn)的值，如圖 22 所示： 模糊控制在液位控制中的仿真應(yīng)用設(shè)計 10 圖 22 一些典型模糊集的中心 一個模糊集的交叉點(diǎn)就是 U 中隸屬于 A 的隸屬度值 等于 的點(diǎn)。 模糊集的高度，是指任意點(diǎn)所達(dá)到的最大隸屬度值。如果一個模糊集的高度等于 1，則稱之為標(biāo)準(zhǔn)模糊集。圖 2— 3 列出了一些常見的標(biāo)準(zhǔn)模糊集，其高度均為 1。 一個模糊集 A 的 α集是一個清晰集 Aα，它包含了 U 中所有隸屬于 A 的隸屬度值大于等于 α 的元素，即 ? ???? ??? )x(UxA A （ 27） 當(dāng)論域 U 為 n 維歐氏空間 Rn 時，凸集的概念可以推廣到 模糊集合。即：對于任意 α，當(dāng)且僅當(dāng)模糊集 A 在區(qū)間 (0,1]上的 α截集 Aα為凸集時，模糊集 A 是凸模糊集。 令 A 是 Rn上一個模糊集，其隸屬度函數(shù)為 μA = μA(x1,……,x n)， H 為 Rn中的一個超平面（ hyperplane），定義 H 為 H ={ x∈ Rn x1 = 0 }（為簡化起見，這里只考慮了這個特殊的超平面，由它可直接推廣到一般的超平面）。定義 A 在 H 上的投影為在 Rn1上的模糊集合 AH，其隸屬度函數(shù)為 )x,x(s u p)x,x(n1ARxn1A 1H ????? ? ?? （ 28） 式中， )x,x(s u pn1ARx 1 ??? ?表示當(dāng) x1在 R中取值時函數(shù) μA(x1,……,x n)的最大值。 圖 23 幾種標(biāo)準(zhǔn)模糊集 吉林化工學(xué)院畢業(yè)設(shè)計 說 明書 11 定義 設(shè)論域 U 中給定模糊集 A，則以 A 的全體子集為元素構(gòu)成的集合，稱為模糊集 A 的冪集，記作 F(A)。若將論域 U 看作一個模糊全集，則 F(U)表示 U 中的所有模糊子集 A 的全體，即 ?? UAA)U(F ?? （ 29） 模糊集合的基本運(yùn)算 單一模糊集合只能表示單個事物的特征。由于客觀事物之間存在著各種各樣復(fù)雜的聯(lián)系，這些聯(lián)系用模糊集合來表示就表現(xiàn)為模糊集合之間的運(yùn)算。兩個在下面的討論中，如不特別說明，我們均假設(shè)所涉及的模糊集合定義在同一論域 U 上。 定義 兩個模糊集合 A 和 B 的等價（ equality）、包含（ containment）、補(bǔ)集（ plement）、并集（ union）和交集（ intersection）定義如下： 對任意 Ux? ，當(dāng)且僅當(dāng) μA(x)=μB(x)時，稱 A 和 B 是等價的。對任意 Ux? ，當(dāng)且僅當(dāng) μA(x)≤μB(x)時，稱 B 包含 A，記為 BA? 。定義集合的補(bǔ)集為 U 上的模糊集合，記為 194。，其隸屬度函數(shù)為 )x(1)x(AA ?? ??? （ 210） U 上的模糊集 A 和 B的并集也是模糊集，記為 BA? ，其隸屬度函數(shù)為 ? ?)x(),x(m a x)x( BABA ??? ?? （ 211） U 上的模糊集 A 和 B的交集也是模糊集，記為 BA? ，其隸屬度函數(shù)為 ? ?)x(),x(m in)x( BABA ??? ?? （ 212） 定義 設(shè) A和 B 均為 U上的模糊集，其隸屬函數(shù)分別為 μA和 μB，則 A和 B 的代數(shù)積、代數(shù)和、有界和、有界差、有界積可用其隸屬函數(shù)定義如下： 代數(shù)積 :BA? 模糊控制在液位控制中的仿真應(yīng)用設(shè)計 12 )x()x()x( BABA ??? ??? （ 213） 代數(shù)和 :BA? )x()x()x()x()x( BABABA ????? ????? （ 214） 有界和 :BA? )1),x(B)x(A(m i n1))x()x(()x( BABA ?????? ??? （ 215） 有界差 :BA? 0))x()x(()x( BABA ???? ??? （ 216） 有界積 :BA? )1)x(B)x(A,0(m a x0)1)x()x(()x( BABA ???????? ??? （ 217） 定義 模糊關(guān)系及其合成的定義如下： 模糊關(guān)系是一個定義在清晰集 U1,U2,……,Un 的笛卡兒積上的模糊集。利用式 (23)，可以將 U1,U2,……,Un 上的模糊關(guān)系 R 定義為如下的模糊集合： }UUU)u,u,(u))u,u,u(),u,u,u{( (R n21n21n21Rn21 ????????????? ? （ 218） 其中， ]1,0[UUU: n21R ??????? 。設(shè) U、 V、 W 為三個論域， R 為 U 到 V 的一個模糊關(guān) 系， S 為 V 到 W 的一個模糊關(guān)系，則模糊關(guān)系 R(U,V)和 S(V,W) 的合成SR? 是 U W 中的一個模糊關(guān)系，其隸屬度函數(shù)為： 吉林化工學(xué)院畢業(yè)設(shè)計 說 明書 13 )]w,v(),v,u( t [ma x)w,u(sRVvSR ??? ??? （ 219） 其中， (u,w)?U W， t 表示任一 t范數(shù)。 由于 t范數(shù)可以取很多種形式，所以每種取一種 t范數(shù) 就能得到一個特定的關(guān)系合成。最常用的兩種關(guān)系合成就是 “