【文章內(nèi)容簡介】 z?? （zph ??.3??） =6u xh?? 其中： u 為軸承對軸的相對速度。 （只有 u1 和 u2 方向 一致時，才能形成油楔） 在本次設(shè)計中， u1 =0， u2 =u 今天，大多數(shù)研究者都用數(shù)值法求解二維雷諾方程，對于常用的軸承形式，一般用差分法就可以在較少的時間求解準(zhǔn)確的結(jié)果，只有當(dāng)軸承形式復(fù)雜，才更宜于有限差分法。本次設(shè)計，就是采用五點差分法來求解壓力分布，其優(yōu)點是：簡單易學(xué)，精度較高。 差分法 本次設(shè)計采用的方法是五點差分法，基本思想： 將軸承油膜周向展開，將其劃分為若干網(wǎng)格。在周向和徑向的各交點即節(jié)點處 構(gòu)成各階差商，近似取代節(jié)點上的壓力，所得的一維離散的壓力，也就可以近似表達了油膜中的壓力分布，根據(jù)所得節(jié)點的壓力值，再用一定的數(shù)值積分方法，就可近似的得到軸承的承載能力。 差分法的基本原理 差分法就是近似的用差商來代替微商，近而使連續(xù)性區(qū)域上的微分方程化為離散點的差分方程。 1）一階差商 設(shè)有一連續(xù)函數(shù) y=y(x) 是定義在某一區(qū)域的函數(shù)，將其定義域等分（也可以用變步長的方法對定義域進行劃分）任意一點的坐標(biāo)為（ xi ,yi ）該點處的導(dǎo)數(shù)定義為： xy?? = 0lim??x xy?? 其中： ? y=y 1?i yi ? x=x 1?i xi 即： ? x ? 0 時， xy?? 的極限值，一般在處理實際問題時，只需劃分的等份夠多，那么 ? x即為足夠小，就可以近似的以 xy?? 來代替 ? x ? 0 時的極限 ，用這種思路來處理這一題，會存在一定的誤差，但在實際問題中，用這種方法可以得到較為接近的結(jié)果。 前 差商： xy?? i =0lim??x xy?? i=iiii xx yy ????11 后差商： xy?? i =0lim??x xy?? i=11????iiii xx yy 中差商： xy?? i =???? ??iiii xx yy 據(jù)泰勒展開式，進行比較分析可以知道中差商的精度比較高。 2）二階差商 圖 由圖 中可以得， 二階差商源于一階差商的推導(dǎo)，先用相臨半步長插入 a 點上的一階導(dǎo)數(shù)中差商表示即： 22xy?? i = x xyxyii? ??????? )()( 然后，將上式中的 xy?? 用相臨的節(jié)點值的中差商表示： xy?? ?i = xyy ii ???1 xy?? ?i = xyy ii ?? ?1 將上面兩式代入得： 22xy?? i =2 11 )( 2x yyy iii ? ?? ?? 為了用差分法求解雷諾方程，需要將有量綱的雷諾方程轉(zhuǎn)化為無量綱的雷諾方程。 無量綱雷諾方程的推導(dǎo) 在進行計算機輔助設(shè)計時，必須考慮的一個問題時：中間的一些變量的值是否可 能浮點溢出，另一個問題是計算結(jié)果與實際結(jié)果的偏差是否在正常的情況下所允許的范圍之內(nèi)，用無量綱形式進行計算，可以很方便地解決上述的兩個問題，同時，還可以將問題的簡化為最直接的形式，實出有關(guān)因素，便于分析計算所得到的 結(jié)果，而且可以直接以無量綱的形式推廣到相似的軸承問題中去。 1. 坐標(biāo) ? 和 z 的無量綱表示： ??? ?? 2//. lZrx? ? 2. 偏心率 ? =e/h 3. 油膜厚度 H=h/ 0h =1+? . cos? 4. 壓力 p =p/p0 其中 p0 =2? u/ 2? 0? = 0h /(D/2) 5. 沿周向的線長度向網(wǎng)格的弧度為步長，其無量綱形式為 Sx 表示為： ? ? =Sx=2? /m m周向劃分的網(wǎng)格數(shù) 6. 其余還有 Z/D, 0h /R 等無量綱形式。 將二維雷諾方程簡化為無量綱形式： ???（???pH3） +（ 2)LD ??? （ ???pH3 ） =3???H 為了消去右邊的有量綱參數(shù) ? 3???H的形式兩邊同除以 p0 =2? u/ 2? ，以此作為壓力 p 的無量綱系數(shù)。 雷諾方程可以用來求解各種結(jié)構(gòu)軸承的壓力場對于無限寬軸承，寬度 Z 遠大于直徑 D，也以近似的為油膜的無軸向流動。 壓力場軸向均布，于是簡化為： x?? （xph ??.3??） =6U x?? （ ? h） 但實際使用中，都是有些軸承可以視為短軸承來求解，即寬度 Z 遠小于直徑 D,可近似以為軸的軸心線與軸承的軸心線平行，故 h 不隨 Z 而變動。 雷諾方程的差分法 圖 雷諾方程的差分法配圖 如圖 所示，將內(nèi)表面和軸向劃分為網(wǎng)格，沿周向的網(wǎng)格節(jié)點以 j 記，并沿軸向的網(wǎng)格節(jié)點以 I 記，即網(wǎng)格節(jié)點用一相應(yīng)的二維序列求編號： 假定周向劃分為 m格，軸向劃分為 n 格，則 有： j=1~m+1 i=1~n+1 因此，沿周向的無量綱步長： ??=2? /m 沿軸向的無量綱步長： ? ? =1/（ n/2） 節(jié)點壓力的一階差商可以表示為： （???p ） i j =??? ??2 1,1, jiji PP （???p ） i j =??? ?? 2 ,1,1 jiji PP 用半步長來表示形成中差商，則得： （???p） i j =??? ?? , jiji PP （???p ） i j =??? ?? , jiji PP （ 1） 按整體差分的形式來推導(dǎo) 將雷諾方程中的???pH3， ???pH3 視為一個整體，利用上面的差分公式，可以推出： [???（???pH3） ] i j =[ 3H i ?j + i 1?j + 3H ij 1?j （ 3H i ?j + 3H i ?j ） Pi j ]/(? ? )2 [ ??? ( ???pH3 )]i j =[ 3H ?i j P 1?i j + 3H ?i j P 1?i j （ 3H ?i j + 3H ?i j ） Pi j ]/(? ? )2 (???H)i j =(Hi?jHi?j)/(? ? ) 將上邊三式代入雷諾方程中，整理成如下的形式： Ai j P i1?j+Bi j P i1?j+Ci j P 1?i j +Di j P 1?i j Ei j Pi j =Fi j 其中 ： Ai j = 3H i?j Bi j = 3H i?j Ci j =(D/2)( ? ? /? ? ) 3H ?i j (? ) Di j =(D/2)( ? ? /? ? ) 3H ?i j Ei j = Ai j + Bi j + Ci j + Di j Fi j =3? ? (Hi?jHi?j) 系數(shù)組 (? )的適用條件是顯然的，因為用差商代替微商的前提條件是：函數(shù)的微商存在，那么函數(shù)首先必須連續(xù)，在深腔和淺腔，淺腔和封油邊交界的地方，油膜均有突變，那么壓力也存在突變。故函數(shù)已不連續(xù)，因此 (? )組系數(shù)只用于所有的內(nèi)節(jié)點，以及封油邊面的非邊界點。 （ 2） 以微分與差分相結(jié)合的形式推導(dǎo)。 雖然當(dāng) ? p 與 ? ? 是足夠小時，用差分代替微分的誤差已很小，可以忽略不記，然而畢竟存在，因此以下推導(dǎo)差分形式的推導(dǎo)思想是：能夠依靠數(shù)據(jù)模型成函數(shù)關(guān)系精確求導(dǎo)的部分，則用精確的偏微分表示，因此在雷諾方程中： ???（ 3H ）???P+ 3Hp?? ???P=p??（ 3H???P） 其中： H=H? cos (? ? ) ???H=? sin(? ? ) 整理得： [???（???pH3） ] i j =3 ? 3H i j??? ??2 1,1, jiji PP sin(? ? )+ 3H i j (Pi1?j2 Pi j + Pi1?j)/(? ? )2 由于 H 沿軸向不考慮撓度的影響，故可視為： H 沿軸向沒有變化（臺階處除外），因此： ???H =0 [ ??? ( ???pH3 )]i j = 3H i j (Pi1?j2 Pi j + Pi1?j)/(? ? ) 將上面兩式代入雷諾方程可得到： ???H=? sin(? ? ) 雷諾方程的系數(shù)分別為： Ai j = 3H i j ? ? 2H i j ? sin(? ? ) Bi j = 3H i j ? ? H i j ? sin(? ? ) Ci j =(D/ Z)( ? ? /? ? ) 3H i j （ ? ） Di j =(D/ Z)( ? ? /? ? ) 3H i j Ei j = Ai j + Bi j + Ci j + Di j Fi j =3? sin(? ? ) 其適用條件為：除了油膜厚度有突變的點以外的點。 （ 3） 油膜階梯變化處的差分方程 這些地方，油膜厚度以及壓力的導(dǎo)數(shù)不能用差分法來直接代替導(dǎo)數(shù)，以下推導(dǎo)的基本方法是：用有限控制空間的流量平衡關(guān)系來得到，由于該控制空間為無源場，故流入的流量與流出的流量相平衡。 分成五種情況分別推導(dǎo)各種情況下的系數(shù)表達式，因為編程較為繁瑣，故采用一種通用的表達式包括這幾種不同的情況，來簡化編程。首先以 [I, j]點為中心，面積為 ? x， ? Z 的有限控制空 間作為研究對象，將邊界分為 a, b, c, d, e, f, g, h 等長 8 小段。 圖 油膜階梯變化處的差分方程配圖 由于 : Qa+Qb+Qc+Qd+Qe+Qf+Qg+Qh =0 又： Qa= 2Z? [ 2vha +?123ah xPP jiji ??? ,1,] Qb= 2Z? [ 2vhb +?123bh xPP jiji ??? ,1,] Qc= 2X? [?123zh zPP jiji ??? ,1] Qd= 2X? [?123dh zPP jiji ??? ,1] Qe= 2Z? [ 2vhe +?123eh xPP jiji ??? ,1,] Qf= 2Z? [ 2vhf +?123fh xPP jiji ??? ,1,] Qg= 2X? [?123gh zPP jiji ??? ,1] Qh= 2X? [?123hh zPP jiji ??? ,1] 代入整理得： ( 3H a+ 3H b )Pi1?j+( 3H e+ 3H f) Pi1?j+( 3H z+ 3H d) P 1?i j +( 3H g+ 3H h) P 1?i j =3? ? (he + hf –ha – hb) 可得到： Ai j Pi1?j+Bi j +Ci j P 1?i j Di j P 1?i j Ei j Pi j =Fi j 其中： Ai j =( 3H a+ 3H b ) Bi j =( 3H e+ 3H f) Ci j =(D/Z)2 ( 3H g+ 3H h) Di j =[(D/Z)( ? ? /? ? )]2 ( 3H z+ 3H d) Ei j = Ai j + Bi j + Ci j + Di j Fi j =? ? ( he + hf –ha – hb) 經(jīng)分析可以得到： Ha=H 0?i?j=H 1?i?j Hb=H 0?i?j=H 1?i?j Hc=H ?i 0?j = H 1?i?j Hd= H ?i 0?j = H 1?i?j He= H 0?i?j=H 1?i?j Hf= H 0?i?j=H 1?i?j Hg= H ?i 0?j = H 1?i?j Hh= H ?i 0?j = H 1?i?j 令： H1=H 1?i?j=(H 1?i1?j+ H 1?i j ) H2= H 1?i?j=(H 1?i1?j+ H 1?i j ) H3= H 1?i?j=(H 1?i1?j+ H 1?i j ) H4= H 1?i?j=(H 1?i1?j+ H 1?i j ) 則階梯處油膜雷諾方程的系數(shù)表示如下： Ai j =( 3H 1+ 3H 2 ) Bi j =( 3H 3+ 3H 4) Ci j