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正文內(nèi)容

初中數(shù)學(xué)競賽練習(xí)題(編輯修改稿)

2024-09-29 09:05 本頁面
 

【文章內(nèi)容簡介】 . ( A) 1 ( B) 2 ( C) 3 ( D) 4 ( 2)若 n 是大于 1 的整數(shù),則 的值( ) . ( A)一定是偶數(shù) ( B)必然是非零偶數(shù) ( C)是偶數(shù)但不是 2 ( D)可以是偶數(shù),也可以是奇數(shù) ( 3)已知關(guān)于 x 的二次三項式 ax2+bx+c( a、 b、 c 為整數(shù)),如果當(dāng) x=0 與 x=1 時,二次三項式的值都是奇數(shù),那么 a( ) ( A)不能確定奇數(shù)還是偶數(shù) ( B)必然是非零偶數(shù) ( C)必然是奇數(shù) ( D)必然是零 3.( 1986 年宿州競賽題)試證明 11986+91986+81986+61986是一個偶數(shù) . 0 到 9 十個不同的數(shù)字組成一個能被 11 整除的最小十位數(shù) . n 個整數(shù),共積為 n,和為零,求證:數(shù) n 能被 4 整除 n 邊形內(nèi),任意給出有限個點,在這些點之間以及這些點與凸 n 邊形頂點之間,用線段連續(xù)起來,要使這些線段互不相交,而且把原凸 n 邊形分為只朋角形的小塊,試證這種小三我有形的個數(shù)與 n 有相同的奇偶性 . 7.( 1983 年福建競賽題)一個四位數(shù)是奇數(shù),它的首位數(shù)字淚地其余各位數(shù)字,而第二位數(shù)字大于其它各位數(shù)字,第三位數(shù)字等于首末兩位數(shù)字的和的兩倍,求這四位數(shù) . 8.( 1909 年匈牙利競賽題)試證: 3n+1 能被 2 或 22整除,而不能被 2 的更高次冪整除 . 9.(全俄 15 屆中學(xué)生數(shù)學(xué)競賽題)在 1, 2, 3? , 1989 之間填上 “+” 或 “ ” 號,求和式可以得到最小的非負(fù)數(shù)是多少? 練習(xí) 參考答案 1.(1)30.(最小兩位奇數(shù)是11,最大數(shù)與最小數(shù)同為奇數(shù)) (2)180.設(shè)第一個偶數(shù)為x,則后面四個衣次為x+2,x+4,x+6,x+8. (3)不能. 2.B.B.A 3.1 1986 是奇數(shù)1,9 1986 的個位數(shù)字是奇數(shù)1,而8 1986 ,6 1986 都是偶數(shù),故最后 為偶數(shù). 4.仿例5 1203465879. 5.設(shè)a 1 ,a 2 , ? ,a n 滿足題設(shè)即a 1 +a 2 + ? +a n =0 ① a 1 a 2 ?? a n =n ② 。假如n為奇數(shù),由 ② ,所有a i 皆為奇數(shù),但奇數(shù)個奇數(shù)之和為奇數(shù),故這時 ① 不成立,可見n只能為偶數(shù).由于n為偶數(shù),由 ② 知a i中必有一個偶數(shù),由 ① 知a i 中必有另一個偶數(shù).于是a i 中必有兩個偶數(shù),因而由② 知n必能被4整除. 6.設(shè)小三角形的個數(shù)為k,則k個小三角形共有3k條邊,減去n邊形的n條邊及重復(fù)計算的邊數(shù)扣共有 (3k+n)條線段,顯然只有當(dāng)k與n有相同的奇偶性時, (3k-n)才是整數(shù). 7.設(shè)這個四位數(shù)是 由于1 ≤ a<d,d是奇數(shù)所以d ≥ 3于是c=2(a+d) ≥ 8,即c=8或c=9.因c是偶數(shù),所以c=8,由此得a=1,d=3.又因b>c,所以b=9因此該數(shù)為1983. 8.當(dāng)n為奇數(shù)時,考慮(4-1) n +1的展開式;當(dāng)n為偶數(shù)時,考慮(2+1)n +1的展開式. 9.除995外,可將1,2, ? ,1989所有數(shù)分為994對:(1,1989)(2,1988) ? (994,996)每對數(shù)中兩個數(shù)的奇偶性相同,所以在每對數(shù)前無論放置 “ + ” , “ - ” 號,運算結(jié)果只能是偶數(shù).而995為奇數(shù),所以數(shù)1,2, ? ,1989的總值是奇數(shù),于是所求的最小非負(fù)數(shù)不小于1,數(shù)1可用下列方式求得: 1=1+(2-3-4+5)+(6-7-8+9)+ ? +(1986-1987-1988+1989). 競賽講座 02 -整數(shù)的整除性 1. 整數(shù)的整除性的有關(guān)概念、性質(zhì) ( 1) 整除的定義:對于兩個整數(shù) a、 d( d≠0 ),若存在一個整數(shù) p,使得 成立,則稱 d 整除 a,或 a 被 d 整除,記作 d|a。 若 d 不能整除 a,則記作 d a,如 2|6, 4 6。 ( 2) 性質(zhì) 1) 若 b|a,則 b|(a),且對任意的非零整數(shù) m 有 bm|am 2) 若 a|b, b|a,則 |a|=|b|。 3) 若 b|a, c|b,則 c|a 4) 若 b|ac,而( a, b) =1(( a, b) =1 表示 a、 b 互質(zhì),則 b|c; 5) 若 b|ac,而 b 為質(zhì)數(shù),則 b|a,或 b|c; 6) 若 c|a, c|b,則 c|( ma+nb),其中 m、 n 為任意整數(shù)(這一性質(zhì)還可以推廣到更多項的和) 例 1 ( 1987 年北京初二數(shù)學(xué)競賽題) x, y, z 均為整數(shù),若 11|( 7x+2y5z),求證: 11|( 3x7y+12z)。 證明 ∵4(3x 7y+12z)+3(7x+2y5z)=11(3x2y+3z) 而 11| 11(3x2y+3z), 且 11| (7x+2y5z), ∴ 11| 4(3x7y+12z) 又 (11,4)=1 ∴ 11| (3x7y+12z). (1) 利用數(shù)的整除性特征(見第二
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