初中數(shù)學(xué)競賽練習(xí)題(編輯修改稿)
2024-09-29 09:05 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 . （ A） 1 （ B） 2 （ C） 3 （ D） 4 （ 2）若 n 是大于 1 的整數(shù)，則 的值（ ） . （ A）一定是偶數(shù) （ B）必然是非零偶數(shù) （ C）是偶數(shù)但不是 2 （ D）可以是偶數(shù)，也可以是奇數(shù) （ 3）已知關(guān)于 x 的二次三項式 ax2+bx+c（ a、 b、 c 為整數(shù)），如果當(dāng) x=0 與 x=1 時，二次三項式的值都是奇數(shù)，那么 a（ ） （ A）不能確定奇數(shù)還是偶數(shù) （ B）必然是非零偶數(shù) （ C）必然是奇數(shù) （ D）必然是零 3.（ 1986 年宿州競賽題）試證明 11986+91986+81986+61986是一個偶數(shù) . 0 到 9 十個不同的數(shù)字組成一個能被 11 整除的最小十位數(shù) . n 個整數(shù)，共積為 n，和為零，求證：數(shù) n 能被 4 整除 n 邊形內(nèi)，任意給出有限個點，在這些點之間以及這些點與凸 n 邊形頂點之間，用線段連續(xù)起來，要使這些線段互不相交，而且把原凸 n 邊形分為只朋角形的小塊，試證這種小三我有形的個數(shù)與 n 有相同的奇偶性 . 7.（ 1983 年福建競賽題）一個四位數(shù)是奇數(shù)，它的首位數(shù)字淚地其余各位數(shù)字，而第二位數(shù)字大于其它各位數(shù)字，第三位數(shù)字等于首末兩位數(shù)字的和的兩倍，求這四位數(shù) . 8.（ 1909 年匈牙利競賽題）試證： 3n+1 能被 2 或 22整除，而不能被 2 的更高次冪整除 . 9.（全俄 15 屆中學(xué)生數(shù)學(xué)競賽題）在 1， 2， 3? ， 1989 之間填上 “+” 或 “ ” 號，求和式可以得到最小的非負(fù)數(shù)是多少？ 練習(xí) 參考答案 １．（１）３０．（最小兩位奇數(shù)是１１，最大數(shù)與最小數(shù)同為奇數(shù)） （２）１８０．設(shè)第一個偶數(shù)為ｘ，則后面四個衣次為ｘ＋２，ｘ＋４，ｘ＋６，ｘ＋８． （３）不能． ２．Ｂ．Ｂ．Ａ ３．１ １９８６ 是奇數(shù)１，９ １９８６ 的個位數(shù)字是奇數(shù)１，而８ １９８６ ，６ １９８６ 都是偶數(shù)，故最后 為偶數(shù)． ４．仿例５ １２０３４６５８７９． ５．設(shè)ａ １ ，ａ ２ ， ? ，ａ ｎ 滿足題設(shè)即ａ １ ＋ａ ２ ＋ ? ＋ａ ｎ ＝０ ① ａ １ ａ ２ ?? ａ ｎ ＝ｎ ② 。假如ｎ為奇數(shù)，由 ② ，所有ａ ｉ 皆為奇數(shù)，但奇數(shù)個奇數(shù)之和為奇數(shù)，故這時 ① 不成立，可見ｎ只能為偶數(shù)．由于ｎ為偶數(shù)，由 ② 知ａ ｉ中必有一個偶數(shù)，由 ① 知ａ ｉ 中必有另一個偶數(shù)．于是ａ ｉ 中必有兩個偶數(shù)，因而由② 知ｎ必能被４整除． ６．設(shè)小三角形的個數(shù)為ｋ，則ｋ個小三角形共有３ｋ條邊，減去ｎ邊形的ｎ條邊及重復(fù)計算的邊數(shù)扣共有 （３ｋ＋ｎ）條線段，顯然只有當(dāng)ｋ與ｎ有相同的奇偶性時， （３ｋ－ｎ）才是整數(shù)． ７．設(shè)這個四位數(shù)是 由于１ ≤ ａ＜ｄ，ｄ是奇數(shù)所以ｄ ≥ ３于是ｃ＝２（ａ＋ｄ） ≥ ８，即ｃ＝８或ｃ＝９．因ｃ是偶數(shù)，所以ｃ＝８，由此得ａ＝１，ｄ＝３．又因ｂ＞ｃ，所以ｂ＝９因此該數(shù)為１９８３． ８．當(dāng)ｎ為奇數(shù)時，考慮（４－１） ｎ ＋１的展開式；當(dāng)ｎ為偶數(shù)時，考慮（２＋１）ｎ ＋１的展開式． ９．除９９５外，可將１，２， ? ，１９８９所有數(shù)分為９９４對：（１，１９８９）（２，１９８８） ? （９９４，９９６）每對數(shù)中兩個數(shù)的奇偶性相同，所以在每對數(shù)前無論放置 “ ＋ ” ， “ － ” 號，運算結(jié)果只能是偶數(shù)．而９９５為奇數(shù)，所以數(shù)１，２， ? ，１９８９的總值是奇數(shù)，于是所求的最小非負(fù)數(shù)不小于１，數(shù)１可用下列方式求得： １＝１＋（２－３－４＋５）＋（６－７－８＋９）＋ ? ＋（１９８６－１９８７－１９８８＋１９８９）． 競賽講座 02 －整數(shù)的整除性 1． 整數(shù)的整除性的有關(guān)概念、性質(zhì) （ 1） 整除的定義：對于兩個整數(shù) a、 d（ d≠0 ），若存在一個整數(shù) p，使得 成立，則稱 d 整除 a，或 a 被 d 整除，記作 d|a。 若 d 不能整除 a，則記作 d a，如 2|6， 4 6。 （ 2） 性質(zhì) 1） 若 b|a，則 b|(a)，且對任意的非零整數(shù) m 有 bm|am 2） 若 a|b， b|a，則 |a|=|b|。 3） 若 b|a， c|b，則 c|a 4） 若 b|ac，而（ a， b） =1（（ a， b） =1 表示 a、 b 互質(zhì)，則 b|c； 5） 若 b|ac，而 b 為質(zhì)數(shù)，則 b|a，或 b|c； 6） 若 c|a， c|b，則 c|（ ma+nb），其中 m、 n 為任意整數(shù)（這一性質(zhì)還可以推廣到更多項的和） 例 1 （ 1987 年北京初二數(shù)學(xué)競賽題） x， y， z 均為整數(shù)，若 11｜（ 7x+2y5z），求證： 11｜（ 3x7y+12z）。 證明 ∵4(3x 7y+12z)+3(7x+2y5z)=11(3x2y+3z) 而 11｜ 11(3x2y+3z), 且 11｜ (7x+2y5z), ∴ 11｜ 4(3x7y+12z) 又 (11,4)=1 ∴ 11｜ (3x7y+12z). (1) 利用數(shù)的整除性特征（見第二
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