【文章內(nèi)容簡介】 于加權(quán)系數(shù)在整個平滑過程中始終保持不變。采用變參數(shù)雙指數(shù)平滑模型，有效地改善了這一不足，同時其平滑速度優(yōu)于多項式擬和平滑法。對在不同的譜段，可根據(jù)不同的要求，取不同的 a 值，從而平滑加權(quán)系數(shù)不同，平滑的程度不同，達(dá)到了抑制漲落和降低畸變的目的。 SavitzkyGolay 濾波 SavitzkyGolay濾波器是一種特殊的低通濾波器，又稱 SavitzyGolay平滑器。低通濾波器的明顯用途是平滑噪聲數(shù)據(jù) ，噪聲是用來描述所觀察現(xiàn)象提取信息中附加的不易區(qū)別的任意錯誤，而數(shù)據(jù)平滑能消除所有帶有較大誤差障礙的數(shù)據(jù)點，或者從圖形中作出初步而又粗糙的簡單參數(shù)估算。 SavitzkyGday濾波器最初由 Savitzky A和 Golay M于 1964年提出，被廣泛地運用于數(shù)據(jù)流平滑除噪，是一種在時域內(nèi)基于多項式，通過移動窗口利用最小二乘法進行最佳擬合的方法。這是一種直接處理來自時間域內(nèi)數(shù)據(jù)平滑問題的方法，而不是像通常的濾波器那樣先在頻域中定義特性后再轉(zhuǎn)換到時間域。通過這種方法，計算機的唯一功能就是充當(dāng)一個平滑噪聲起伏的 濾波器并盡量保證原始數(shù)據(jù)的不失真。在這個過程中，計算機只需運行相對小型的程序，減少了對電腦內(nèi)存和數(shù)據(jù)處理能力的要求，因此這種方法相對來說更加簡單、快速，而且相對于其他類似的平均方法而言，這種方法更能保留相對極大值、極小 8 值和寬度等分布特性。 SavitzkyGolay濾波器有如下幾大優(yōu)點： 1)利用最小二乘的多項式擬合方法非常清晰易懂，并且在計算上來說，多項式卷積的操作比最小二乘的計算可操作性更強； 2)濾波系數(shù)只需要在對應(yīng)的卷積系數(shù)表中進行查找，很容易獲得； 3)savitzkyGolay濾波器可以有任 意的長度，因此有利于采樣頻率通常很低的生物學(xué)或者生物力學(xué)的數(shù)據(jù)處理。 最小二乘移動平滑法基本思想 與方法 1964 年 A. Savitzky 和 提出了一個用于譜數(shù)據(jù)平滑處理的濾波器響應(yīng)函數(shù)。其基本思想是，當(dāng)求平滑之后譜的第 m點數(shù)據(jù)時，先在原始譜數(shù)據(jù)第 m點的左、右各取 K個數(shù)據(jù)點，形成一個共有 2K+1個數(shù)據(jù)點的窗口。在這個窗口中用多項式擬合原始譜數(shù)據(jù)，則擬合多項式在 m 點的值就是平滑后的譜在 m 點的值。當(dāng) m 值沿譜數(shù)據(jù)移動時，就可以得到整個平滑后的譜數(shù)據(jù)。這種方法稱為最小二乘移動平滑法，或最小平 方曲線擬合平滑法。 原始譜數(shù) 據(jù)為 my ，平滑 后譜數(shù) 據(jù)為 my ，在平 滑窗口 內(nèi)，用 q價 多項式qq mxamxamxaaxS )()()()( 2210 ???????? ? 逼近原始譜數(shù)據(jù) my 時，平滑后譜第 m點的值為 0|)( axSy mxm ?? ? 同時還可以把 S（ x）在 m點的各階導(dǎo)數(shù)值作為平滑后的譜在 m點的各階導(dǎo)數(shù)值。平滑后的譜在 m點的各階導(dǎo)數(shù)值。平滑后的譜在 m點的 p 階導(dǎo)數(shù)值為 pmxppm apxSy !|)( )()( ?? ? 根據(jù)上述原理，用最小二乘法函數(shù)擬合可以導(dǎo)出計算平滑后的譜數(shù)據(jù)和其各階導(dǎo)數(shù)值的具體計算公式 ? ? !k x m pmpy N p a?? ? ?? () 規(guī)范化常數(shù) kN 和權(quán)因子 kjC 的值列在表 1 中。由表中查出 kN 和 kjC 的值就可以寫出平滑譜的 計算公式。例如當(dāng)平滑窗口選為 5點時（ K=2）， 5點平滑公式為 )31217123(351 2112 ???? ?????? mmmmmm yyyyyy 由數(shù)字濾波器理論可以推導(dǎo)出最小二乘移動平滑公式中 /kj kCN的一般計算公式。當(dāng)平滑窗口為 W=2K+1 時， 9 ?????? ???????? ????? 222, 12 141511 jWWWNC K jK () k j k? ? ? 用這個公式計算得出的 KjK NC /, 值，與表 1 中列出的數(shù)值相吻合。 由公式 ()也可以計算平滑譜的各階導(dǎo)數(shù)值，只不過權(quán)因子 kjC 和規(guī)范化常數(shù)kN 的值各不相同。表 2中列出了采用不同的平滑窗口、用公式 ()計算平滑譜的一階導(dǎo)數(shù)時的 kjC 與 kN 的值。表 3中列出了采用不同的平滑窗口，計算平滑譜的二階導(dǎo)數(shù)時的 kjC 與 kN 的值。根據(jù)表 2 平滑窗口為 5 點（ K=2）時，平滑譜的一階導(dǎo)數(shù)計算公式為 )88(121 21m1m2mm ????? ???? myyyyy 根據(jù)表 3，平滑窗口為 5點時，平滑譜在 m點的二階導(dǎo)數(shù)值為： )222(71 21m1m2mm ?????? ????? mm yyyyyy 前面已經(jīng)指出，平滑的本質(zhì)是對譜曲線進行低通濾波，去掉高頻成分，保留有用的低頻信息。濾波的效果取決于低通濾波器的頻譜特性。當(dāng)式 中的權(quán)因子不同時濾波器的頻譜特性不同，濾波的效果也不同。在某些實際應(yīng)用的平滑程序中使用了不同于式 ，例如在 SPECTRANF 程序中使用的平滑公式如下： 三點平滑公式為 )2(41 1m1mm ?? ??? myyyy 五點平滑公式為 )464(161 2m1mm1m2mm ???? ????? yyyyyy 七點平滑公式為 )61520206(641 2m2m1mm1m2m3mm ????? ??????? yyyyyyyy 這幾個平滑公式的優(yōu)點是權(quán)因子都是正數(shù)，平滑之后的譜數(shù)據(jù)不可能出現(xiàn)負(fù)值，從而提高了平滑之后的譜數(shù)據(jù)的可靠性。這在原始譜數(shù)據(jù)中本底很小、峰很高、而且峰的寬度很窄時是非常重要的。如果平滑之后的譜數(shù)據(jù)出現(xiàn)了負(fù)值（這顯然是不合理的），可能使后續(xù)的計算程序在運行時產(chǎn) 生錯誤。 10 表 1 最小二乘移動平滑計算公式中的 kN 值和kjC值 2K+1 j kjC 17 15 13 11 9 7 5 8 21 7 6 78 6 7 13 11 5 18 42 0 36 4 27 87 9 9 21 3 34 122 16 44 14 2 2 39 147 21 69 39 3 3 1 42 162 24 84 54 6 12 0 43 167 25 89 59 7 17 1 42 162 24 84 54 6 12 2 39 147 21 69 39 3 3 3 34 122 16 44 14 2 4 27 87 9 9 21 5 18 42 0 36 6 7 13 11 7 6 78 8 21 NK 323 1105 143 429 231 21 35 11 表 2 最小二乘移動平滑法計算平滑譜的一階導(dǎo)數(shù)公式中的 kN 值和kjC值 2K+1 j kjC 17 15 13 11 9 7 5 8 748 7 98 12922 6 643 4121 1133 5 930 14150 660 300 4 1002 18334 1578 294 86 3 902 17842 1796 532 142 22 2 673 13843 1489 503 193 67 1 1 358 7506 832 296 126 58 8 0 0 0 0 0 0 0 0 1 358 7506 832 296 126 58 8 2 673 13843 1489 503 193 67 1 3 902 17842 1796 532 142 22 4 1002 18334 1578 294 86 5 930 14150 660 300 6 643 4121 1133 7 98 12922 8 748 NK 23256 334152 24024 5148 1188 252 12 12 表 3 最小二乘移動平滑計算平滑譜的二階導(dǎo)數(shù)公式中的 kN 值和kjC值 2k+1 j kjC 17 15 13 11 9 7 5 8 40 7 25 91 6 12 52 22 5 1 19 11 15 4 8 8 2 6 28 3 15 29 5 1 7 5 2 20 48 10 6 8 0 2 1 23 53 13 9 17 3 1 0 24 56 14 10 20 4 2 1 23 53 13 9 17 3 1 2 20 48 10 6 8 0 2 3 15 29 5 1 7 5 4 8 8 2 6 28 5 1 19 11 15 6 12 52 22 7 25 91 8 40 NK 3976 6188 1001 429 462 42 7 移動最小二乘法 與最小二乘法 比較 移動最小二乘法是形成無網(wǎng)格方法逼近函數(shù)的方法之一。已在無網(wǎng)格方法中得到廣泛應(yīng)用。其優(yōu)點是有很好的數(shù)學(xué)理論支持，因為基于最小二乘法，所以數(shù)值精度較高。對于每個固定點，移動最小二乘法即為通常的最小二乘法。最小二乘法的缺點也是移動最小二乘法的缺點，即易形成病態(tài)或奇異的方程組。 1）擬合函數(shù)的建立不同。移動最小二乘法建立擬合函數(shù)不是采用傳統(tǒng)的多項式或其它函數(shù)，而是由一個系數(shù)向量 a(x)和基函數(shù) p(x)構(gòu)成，這里 a(x)不是常數(shù)，而是坐標(biāo) x 的函數(shù)。 2）引入緊支（ Compact Support）概念，認(rèn)為點 x 處的值 y 只受 x 附近子域內(nèi)節(jié) 13 點影響，這個子域稱作點 x 的影響區(qū)域（支撐域），影響區(qū)域外的節(jié)點對 x的取值沒有影響。在影響區(qū)域上定義一個權(quán)函數(shù)ω (x)，如果權(quán)函數(shù)在整個區(qū)域取為常數(shù)，就得到傳統(tǒng)的最小二乘法。 優(yōu)勢：移動最小二乘法的這些改進能夠帶來許多優(yōu)點，減緩或解決傳統(tǒng)曲線曲面擬合過程中存在的困難?？梢匀〔煌A的基函數(shù)以獲得不同的精度，取不同的權(quán)函數(shù)以改變擬合曲線 (曲面 )的光滑度，這是其它擬合方法無法做到的。 小波變化方法 原理 小波分析是在傅里 葉分析的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的一種全新的時頻分析方法， 是窗口大小固定但形狀可改變 、 時間窗和頻率窗也均可改變的時頻局域化分析方 法。由于它具有多分辨率特性，從而能夠處理緩和變化成分與劇烈變化成分并存的信號。小波變換降噪源于能譜分析中函數(shù)的伸縮和平移，是傅立葉變換降噪方法的發(fā)展與延拓。 小波分析，是泛函分析、傅立葉分析、樣條理論、調(diào)和分析以及數(shù)值分析等多個學(xué)科相互交叉、相互融合的結(jié)晶。小波分析屬于時頻分析的一種。它是一種多尺度的信號分析方法， 是分析非平穩(wěn)信號的強有力工具。它克服了短時傅立葉變換固定分辨率的缺點，既能分 析信號的整個輪廓，又可以進行信號細(xì)節(jié)的分析。 設(shè) ? ? ? ?2t L R? ? （ ? ?2LR為平方可積空間），即能量有限的信號空間 ),其傅立葉變換為 ? ???? ,當(dāng) ? ???? 滿足允許條件 (完全重構(gòu)條件或者恒等微分條件 ) ? ? 2?0 Cd? ? ?? ? ? ? ??? 時 ,我們稱 ??t? 為一個基本小波或母小 波，將母函數(shù)經(jīng)伸縮和平移后得能量歸一化的小波族為： ? ?, 1 , 0 ,ta tt a Raa ?? ? ????? ? ????? ??,tat? 是由母波 ??t? 通過尺度 a伸縮變換與時間平移 ? 變換得到的自相似函數(shù)族 ,我們稱之為小波或者子波。 a為尺度因子或伸縮因子， ? 為平移因子。 一般情況下小波有以下特點： 1. 母波必需滿足容許性條件： ? ? 2?0 Cd? ? ?? ? ? ? ??? 14 2. 波動性一時域振蕩性： ? ? ? ?, 0ta t d t t d t???? ???? ?????? 3. 能量有限性 ： ? ? 2,ta t dt????? ??? 即能量恒等性 ,進而可對其進行能量歸一化 ? ? ? ?22, 0 1ta t d t t d t??? ? ? ??? ???? 在某些特別應(yīng)用中， ,ta? 一般都是進行能量恒等性 (進而歸一化 )但并不是需要特別強 調(diào)。 ：母波 ? 在時域的持續(xù)時間必 須是有限的 ,即是一個小的時間區(qū)間， 間區(qū)間 ,最好具有緊支撐性質(zhì) ,進一步要求在頻域也應(yīng)當(dāng)具有局域化特征。這是小波的重要性質(zhì) ,支撐區(qū)間越小的小波局域化能力越強。 ： 每一個基函數(shù) ,ta? 與母波樹形狀相似 ， 相互之間形狀也相似 。 ,ta? 繼 承了母波的“基因”， ,ta? 屬于 ? 的子代 —— 小字輩?！白韵嗨啤碧N含著“多”的意 義。在小波變換的表達(dá)式中，具有無窮多的 ,ta? ， R?? 或 aR? 。 小波變換利用一個具有快速衰減性和振蕩性的函數(shù) (即為母小波 )，然后將其伸縮和平 移得到一個函數(shù)簇 (即小波基函數(shù) )，以便在一定條件下，任