20xx年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)四試題解析(編輯修改稿)
2024-09-27 10:32 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 ??， 01x??，求 ??fx的極值、單調(diào)區(qū)間和凹凸區(qū)間 . 解： 11 2200( ) ( ) ( ) ( ) ( )xxxxf x t x t dt t t x dt t x t dt t t x dt? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? 2 3 3 2 3 3 3 31 1( ) ( ) ( ) ( ) ( )02 3 3 2 2 3 3 2 3 2xt t t t x x x x xxx x? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3316 3 2 6x x x? ? ? ? 3 13 2 3xx? ? ? . 2 1() 2f x x? ?? ,令 ( ) 0fx? ? ，得 2 2 1()2 6 3f ? ? ? 22x?? . ( ) 0fx? ? ，得 22xx? ? ?或 ( ) 0fx? ? ，得 22x? ? ? 因此， ()fx的單調(diào)增區(qū)間是 22( , ), ( , )?? ? ??；單調(diào)減區(qū)間是 22( , )22? . 由 ( ) 2f x x?? ? ，可知 ( ,0)?? 為凸區(qū)間， (0, )?? 為凹區(qū)間 . 由 22( ) 0 , ( ) 0 ,ff? ??? ? ? ?知 2 2 1()2 6 3f ? ? ?為極大值 . 由 22( ) 0 , ( ) 0 ,ff? ????知 2 2 1()2 6 3f ? ? ?為極小值 . (17)（本題滿分 10 分） 求函數(shù) 2 2 2u x y z? ? ? 在在約束條件 22z x y??和 4x y z? ? ? 下的最大和最小值 . 解：設(shè) 2 2 2 2 212( , , ) ( ) ( 4 )F x y z x y z x y z x y z??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 得方程組 22( , , ) 0( , , ) 0( , , ) 0040xyzF x y zF x y zF x y zx y zx y z??? ?????? ? ? ??? ? ? ? ??即121212222 2 02 2 020040xxyyzx y zx y z??????? ? ??? ? ? ???? ? ??? ? ? ??? ? ? ? ?? 第 6 頁 共 11 頁 解得 228xyz?????????? 或 112xyz???????? 得 2 2 2m a x ( 2 ) ( 2 ) 8 7 2U ? ? ? ? ? ?， 2 2 2m in 1 1 2 6U ? ? ? ? (18)（本題滿分 10 分） 設(shè) ? ?,z z x y? 是由方程 ? ?22x y z x y z?? ? ? ? ?所確定的函數(shù)，其中 ? 具有 2 階導(dǎo)數(shù)且 1???? 時， 求 (1)dz （ 2）記 ? ? 1, zzu x yx y x y????????? ? ???，求 ux?? . 解： (1) ? ? ? ?22x d x y d y d z x y z d x d y d z? ?? ? ? ? ? ? ? ?, ? ? ? ? ? ?1 2 2d z x d x y d y? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?221x d x y d ydz ?????? ? ? ? ?? ??? ?1???? (2) ? ?1, ( )1 2 2()111 2 2 211zzu x yx y x yxyxyyxxy??????????? ? ???? ? ? ???????????? ? ???? ? ?????????????? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?2 2 3 322 ( 1 )2 ( 1 )2 ( 1 2 ) 2 ( 1 2 )11 1 1 1xzu x xxx???? ? ? ??? ? ? ???? ?? ??????? ? ? ???? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? (19)（本題滿分 10 分） ??fx是周期為 2 的連續(xù)函數(shù)， （ 1）證明對任意實數(shù)都有 ? ? ? ?220tt f x dx f x dx? ??? 第 7 頁 共 11 頁 （ 2）證明 ? ? ? ? ? ?20 2xttg x f t f s d s d t??????????
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