【文章內(nèi)容簡介】 2 3 22339。21 9 21 2 0 1 6 1 0 0 1 0 0 0739 3 22 0 1 0 0 0 .73186( ) 2 0 27Q Q Q Q Q QL Q Q Q? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? 令 39。 5( ) 0 , 1 4 , ( )7得 駐 點 舍 去L Q Q Q? ? ? ? 又 0l im ( ) 1 0 0 0 ( 0 )Q L Q L?? ? ? ? 0lim ( )Q LQ?? ??? 故產(chǎn)量 Q=14 時企業(yè)取得最大利潤。 3. 自動生產(chǎn)線上加工的零件的內(nèi)徑 X（ mm）服從正態(tài) 分布 ( ,1)N? ，內(nèi)徑小于 10 或大于 12mm 14 的為不合格品，其余為合格品。每件產(chǎn)品的成本為 10 元，內(nèi)徑小于 10mm 的可再加工成合格品，尚需加工費 5 元。全部合格品在市場上銷售，每件合格品售價 20 元。問零件的平均內(nèi)徑 ? 取何值時，銷售一個零件的平均銷售利潤最大？ 解：每件產(chǎn)品的銷售利潤 L 與自動生產(chǎn)線加工的零件的內(nèi)徑 X（ mm）有如下關(guān)系： 5 , 1 0 ,( ) 1 0 , 1 0 1 2 ,1 0 , 1 2 .若若若XL L X XX? ??? ? ? ?????? 平均利潤為 10 { 10 12 } 5 { 10 } 10 { 12 }10 [ ( 12 ) ( 10 ) ] 5 ( 10 ) 10 [ 1 ( 12 ) ]20 ( 12 ) 5 ( 10 ) 10 ,E L P X P X P X? ? ? ???? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? 其中 ()x? 是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)， 39。( ) ( )xx??? ─ 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)密度。因此，有 2222( 12 ) ( 10 )22( 12 ) ( 10 )2222()20 ( 12 ) 5 ( 10 ) 0 ,20 50,224。( 12 ) ( 10 ) 2 l n 4 。 11 l n 2.dEL xdeeee????? ? ? ????? ? ?????????? ? ? ? ? ?? ? ??? ? ? ? ? ? 即當(dāng) 0 11 ln 2 10 .3 1 mm??? ? ? ?時，平均利潤最大。 4. 某企業(yè)生產(chǎn)一種產(chǎn)品，其利潤通過職工的工資福利及培訓(xùn)費用來實現(xiàn)利潤 的大小，費用分別為 x（萬元）及 y（萬元）。產(chǎn)品的產(chǎn)量 3125 50049xyQ ????，其利潤是產(chǎn)量 Q 的 15 再扣除工資福利費及培訓(xùn)費。 （ 1） 求在企業(yè)資金充足時， x， y 分別為多少時，利潤最大； （ 2） 在工資福利費與培訓(xùn)費總和不超過 55 萬元時，應(yīng)如何分配這兩種費用，使企業(yè)利潤最大。 解：（ 1）利潤函數(shù) 15 221 312 5 500( , ) ( )5 4 9625 10049625 410( 4 )100 910( 9 )xyL x y x yxyxyxyxyLxxLyx? ? ? ???? ? ? ??????? ? ?????????? ? ?? ??? 得 4 25 29 10 3xy? ? ?? ? ? ? 46( )21 )萬 元（ 萬 元xy?? 2322232625 4 2( 4 )0100 9 2( 9 )LxxLxyLyy???? ? ? ? ???????? ? ? ? ?? 在點（ 46， 21）處 2 2 24 6 4 6 4 6222 1 2 1 2 1| 0 | 0 | 0x x xy y yL L LA B Cx x y y? ? ?? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? 2 0 , 0又B AC A? ? ? 于是當(dāng) x=46（萬元）， y=21（萬元）時，利潤 L（ x， y）取得極大值。 又 lim ( , )xy L x y????? ? ?? 00lim ( , )lim ( , )xyL x yL x y? ??? ??? ??? ?? 故 當(dāng) x=46（萬元）， y=21（萬元）時，利潤最大。 （ 2）作拉格朗日函數(shù) 16 39。239。21 31 25 50 0( , ) ( ) ( 55 )5 4 962 5 10 0( 55 )4962 5 4( , ) 1 0 ( 1 )( 4 )10 0 9( , ) 1 0 ( 2)( 9 )55 ( 3 )xyxyF x y x y x yxyxyx y x yxyF x yxF x yyxy????? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ?????? ? ? ??????? ? ? ????????? 由（ 1）式2625 41 (4 )x? ??? ?代入（ 2）式得 22100 9 625 40( 9 ) ( 4 )30 503 ( 4 ) 5 ( 9 )943 5 33 ( ) , )55得得 萬 元 （ 萬 元yxxyyxxyxyxy??????? ? ? ???????????? 點（ ， ）是唯一駐點，由實際問題得知，當(dāng)工資福利費用為 萬元，培訓(xùn)費為 萬元時，使企業(yè)利潤最大。 5. 已知某壟斷廠商生產(chǎn)某產(chǎn)品的成本為 0，其產(chǎn)品的需求價格彈性21()P Q? ??，其中 Q 是該產(chǎn)品的產(chǎn)量， P 為其價格，已知當(dāng) Q=0 時 P=10。 （ I） 試求價格函數(shù)：將 P 表示成 Q 的函數(shù)； （ II） 求廠商利潤最大化時的產(chǎn)量和利潤。 解：（ I）設(shè) Q=Q（ P），由價格彈性的定義可知 21P d dP Q? ? ?，且由初始條件 P（ 0） =10，用分離變量法求解方程并代入已知條件可得 2210 QPe?? (II)廠商利潤可以表示為 22( , ) 1 0 0QP Q P Q C e Q? ?? ? ? ? ? ? 一階條件得到 2239。 ( ) 1 0 1 0 0Q e Q Q e? ??? ? ? ? 得 Q=1（ Q=1 不合題義，舍去） 17 此時其利潤為 1210e? ?? 評注 廠商取得最大利潤時價格彈性為 1，這可以用來驗證題目所得結(jié)果是否正確，其實此題可以令 1??? ，直接解得 Q=1。 6. 某商品交易市場上的稅收收入與交易的成交額之間的關(guān)系經(jīng)統(tǒng)計資料分析為：稅收的收入隨成交額增加的增長率等于稅收收入的立方與成交額立方的 2 倍的差、再除以成交額與稅收收入平方之積的 3 倍。若成交額為 x=1（萬元）時，稅收收入 y=2（百元），試求該商品市場的稅收收入與成交額之間的函數(shù)關(guān)系。 解：依題設(shè)，稅收收入 y（百元）與成交額 x（萬元）的函數(shù)關(guān)系滿足的微分方程： 3322 (1 ) 23 且d y y x yd x x y??? 此方程即為 32( ) 23( )ydy xydxx?? 設(shè) yu x? ，則 39。dy u xudx?? ? 原方程變?yōu)? 339。223uu xu u??? ? 2 3233 2 l n( 1 ) l n l n1 u du dx u x Cux ?? ? ? ? ?? 即 33221 1 ( )C y Cu x x x? ? ? ? ? 33 (1 ) 2 9將 代 入 得x y C x y C? ? ? ? 所求函數(shù)關(guān)系為 339y x x?? 7. 設(shè)某商品的價格與需求量之間具有線性關(guān)系。當(dāng)價格從 2 元上升到 4 元時，產(chǎn)品的需求量從 1000 件下降到 800 件。 （ I） 求需求函數(shù)； （ II） 求當(dāng)價格為 10 元時的需求彈性并說明其經(jīng)濟意義。 解：（ I）設(shè)需求量為 Q、價格為 P，則需求函數(shù)為 Q=a+bP P=2 時， Q=1000， P=4 時， Q=800 代入得 2 10004 800abab???? ??? 解得 a=1200、 b=100 ? Q=1200100P. 18 (II)需求彈性為 12d dQ P PdP Q p? ? ? ? ? ? 當(dāng) P=10 時， 10 10d? ??? 這說明當(dāng)價格為 10元時，價格增加 1%，則需求量減少 5%；價格減少 1%，則需求量增加5%。 8. 某地區(qū)研究消費需求量時，發(fā)現(xiàn)在穩(wěn)定條件下，需求量 y 只與消費者個人收入 x 有關(guān)。經(jīng)測算，消費需求增長率對消費者個人收入增長率之比的平均彈性為 ，且當(dāng)消費者收入x=1 時，消費需求量 y=e。 （ I） 求需求量 y 與個人收入 x 之間的函數(shù)關(guān)系； （ II） 求消費者個人收入為 3時的消費需求量。 解：（ I）設(shè)消費者的需求量為 y，消費者的收入為 x。則消費需求量增長率對消費者個人收入增長率之比即為 y對 x的彈性。 () dy xExdx y?? 其平均彈性為 ( ) 1() E x dyExx y dx? ? ? 于是得 ()dy E x dxy ? 將題設(shè)條件代入得 ( 1 ) dx y ey ?? 解此方程得 Ce? ，代入初始條件得 Ce? ? 所求函數(shù)關(guān)系為 ee? （ II）當(dāng) x=3 時的消費需求量為 0 .5 3 2 7 .4y ee e?? ? ? 9. 設(shè)某種產(chǎn)品的產(chǎn)量是勞動力 x 和原料 y 的函數(shù) 3 / 4 1 / 4( , ) 60f x y x y? 。假定每單位勞動力費用100 元，每單位原料費用 200 元，現(xiàn)有資金 30000 元用于生產(chǎn)。為得到最多的產(chǎn)品，應(yīng)如何安排勞動力和原料？ 解：本問題為求函數(shù) 3 / 4 1 / 4( , ) 60f x y x y? 在條件 100x+200y=30000 下 的 極 值 。 設(shè)3 / 4 1 / 4( , ) 60 ( 10 0 20 0 30 00 0)F x y x y x y?? ? ? ? 19 則39。 1 / 4 1 / 439。 3 / 4 3 / 44 5 1 0 0 01 5 2 0 0 01 0 0 2 0 0 3 0 0 0 0xyF x yF x yxy????? ? ? ??? ? ??? ??? 解得 x=225 y= 由于 x=22 y= 為函數(shù)的唯一駐點，且實際問題有最大值，故它是最大值點。即安排勞動力 225 個單位、原料為 個單位時，能得到最多的產(chǎn)量。 10. 某商場的銷售成本 y 和存貯費用 s 均是時間 t 的函數(shù)。隨著 t 的增長，銷售成本的變化率等于存貯費用的倒數(shù)與常數(shù) 5 之和。而存貯費用的變化率 為存貯費用的 13 倍的相反數(shù)。若當(dāng)t=0 時，銷售成本 y=0，存貯費用 s=10，試求銷售成本與時間的函數(shù)關(guān)系及存貯費用與時間的函數(shù)關(guān)系。 解：由題設(shè)，有 1 5dydt s?? ① 13ds sdt?? ② 解微分方程 ②得： 31 tS Ce?? 由初始條件 0| 10tS ? ? 得 1 10C? 310 tSe??? 將上式代入①中得： 31 510 tdy edt ?? 解得