【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 p(x) = v(x) / x 來(lái)給出。不過(guò)，我們依然可以通過(guò)價(jià)值函數(shù) v(x) 來(lái)討論價(jià)格歧視問(wèn)題。 如果存在商品向量 及存在實(shí)數(shù) r?R使得 v(rx) ? rv(x)，則也說(shuō)明存在著價(jià)格歧視：雖然按照 rx 購(gòu)買(mǎi)的商品在數(shù)量上是按照 x 購(gòu)買(mǎi)的商品的 r 倍，但方案 rx 的支出卻不是方案 rx 的支出的 r 倍，說(shuō)明價(jià)值函數(shù) v(x) 在商品數(shù)量上存在著價(jià)格歧視。 當(dāng)上述兩種情況都不存在時(shí)，就稱 v(x) 是 無(wú)歧視的價(jià)值函數(shù) 。即價(jià)值函數(shù) v(x) 叫做是無(wú)歧視的，是指 v(x) 滿足如下條件： 如果存在商品向量 使得 v(x+y) ? v(x)+v(y)，那么就說(shuō)明存在著價(jià)格歧視：消費(fèi)者面臨三種購(gòu)買(mǎi)方案： x、 y、 z = x+y；雖然按照方案 z 購(gòu)買(mǎi)的商品，是按照方案 x 購(gòu)買(mǎi)的商品與按照方案 y 購(gòu)買(mǎi)的商品之總和，但方案 z 的支出卻不等于方案 x 和 y 的支出之總和。這就說(shuō)明價(jià)值函數(shù) v(x) 在商品數(shù)量上存在著價(jià)格歧視。 1. 通過(guò)價(jià)值函數(shù)，判斷價(jià)格歧視 ? ?)()()(),)(,( yvxvyxvRRyx ?????? ??????? ??Ryx ?,?Rx?? 從經(jīng)濟(jì)行為的合成結(jié)構(gòu)來(lái)判斷 ? 從經(jīng)濟(jì)行為的比例結(jié)構(gòu)來(lái)判斷 無(wú)歧視的價(jià)值函數(shù) v(x) 是商品空間 上的線性泛函。下面的線性泛函表示定理便是分析這類價(jià)值函數(shù)的一個(gè)重要工具。 線性泛函表示定理 . 對(duì)于商品空間 R 上的每個(gè)線性泛函 f , 都存在唯一的向量 f 使得 (?x?R )( f ( x) = f x ), 其中 f x 代表向量 f 與 x 的內(nèi)積 。 這個(gè)向量 f 就叫做線性泛函 f 的 表示向量 。 從這個(gè)定理可知，對(duì)于無(wú)歧視的價(jià)值函數(shù) v(x) 來(lái)說(shuō)，必存在唯一的向量 p = ( p1, p2,?, p?) 使得 。 反之，對(duì)于任何向量 p， 規(guī)定 v(x) = px，則 v(x) 是無(wú)歧視的價(jià)值函數(shù)，并且 p 就是線性泛函 v 的表示向量。由此可見(jiàn)，任何無(wú)歧視的價(jià)值函數(shù) v(x) 都可以看成是它的表示向量 p，并且這個(gè)向量 p = ( p1, p2,?, p?) 就是由價(jià)值函數(shù) v(x) 確定的商品價(jià)格體系，稱為 價(jià)格向量 。由于此價(jià)格向量不會(huì)因商品數(shù)量的變化而變化，因此不存在價(jià)格歧視。 2. 無(wú)歧視的價(jià)值函數(shù) ? ?R? ))()(( pxxvRx ??? ?? 定理 價(jià)值函數(shù) v(x)不帶歧視的充分必要條件是存在價(jià)格向量 p = ( p1, p2,?, p?) 使得 。 ))()((2211 ??? ? xpxpxppxxvRx ??????? 根據(jù)價(jià)格歧視的三個(gè)級(jí)別，當(dāng)存在三級(jí)價(jià)格歧視或者一級(jí)價(jià)格歧視的時(shí)候，就存在著人員歧視，相同數(shù)量的同樣商品的價(jià)值會(huì)因人而異，從而價(jià)值函數(shù) v(x)是多值函數(shù)：同一籃子商品 (即 x)有著多種不同的價(jià)值。反之，若 v(x) 是多值函數(shù)，則也意味著存在人員歧視。因此，我們有如下定理： 3. 帶歧視的價(jià)值函數(shù) ? 定理 價(jià)值函數(shù) v(x)帶有人員歧視意義 當(dāng)且僅當(dāng) v(x)是多值函數(shù) 。 這里，我們重點(diǎn)關(guān)注單值價(jià)值函數(shù)。因此，價(jià)格歧視問(wèn)題便僅僅停留在數(shù)量歧視 (即二級(jí)價(jià)格歧視 )的意義上。對(duì)于單值的價(jià)值函數(shù)函數(shù)來(lái)說(shuō)，由于不含有價(jià)格歧視等同于價(jià)值函數(shù)是線性函數(shù)，因此我們又得到下述定理： ? 定理 對(duì)于單值價(jià)值函數(shù) v(x)來(lái)說(shuō)， v(x)帶有價(jià)格歧視 (數(shù)量歧視 )當(dāng)且僅當(dāng) v(x)是商品空間 上的非線性泛函。 ?R? 定理 在完全競(jìng)爭(zhēng)經(jīng)濟(jì)中，商品空間 上的價(jià)值函數(shù) v(x) 不帶歧視， v(x) 是 上的線性泛函，可用唯一的一個(gè)向量 p 加以表示 ： ? 價(jià)格泛函 ：線性價(jià)值函數(shù) v(x)的表示向量 p 是 價(jià)格向量 ， v(x)與 p可等同看待： v(x) = px，即 v(x)是 由價(jià)格向量 p 確定的線性泛函 ，稱為 價(jià)格泛函 。 (四 ) 完全競(jìng)爭(zhēng)條件下的價(jià)值函數(shù) ? ???? ? xpxpxppxxvRx ??????? 2211)()(? ???? ? xpxpxppxxpxvRx ???????? 2211)()()(?R?R完全競(jìng)爭(zhēng)條件下，不會(huì)有價(jià)格歧視， 人人都是價(jià)格接受者，價(jià)格不因人而異，也不因商品數(shù)量而異。因此，我們有下述定理： 完全競(jìng)爭(zhēng)條件下，既然可把價(jià)值函數(shù) v(x)與其價(jià)格向量 p等同看待，那么就無(wú)需在符號(hào)上作區(qū)別，而直接用價(jià)格向量 p表示： p既是價(jià)格向量 ，又是 價(jià)格泛函 (由價(jià)格向量確定的線性泛函 )。 ? 商品的價(jià)值與價(jià)格通過(guò)完全競(jìng)爭(zhēng)與線性泛函得到了統(tǒng)一 ： 二、價(jià)格支持與價(jià)值分離 在一般經(jīng)濟(jì)均衡與社會(huì)福利研究中，經(jīng)濟(jì)學(xué)家往往要通過(guò)分析不同類型的經(jīng)濟(jì)活動(dòng)之間的價(jià)值分離，來(lái)找出所關(guān)心的某類經(jīng)濟(jì)活動(dòng)的支持價(jià)格，從而為經(jīng)濟(jì)走向一般均衡并實(shí)現(xiàn)最大社會(huì)福利鋪墊道路。 這里作為基礎(chǔ)準(zhǔn)備，我們來(lái)討論一下經(jīng)濟(jì)活動(dòng)的價(jià)格支持與價(jià)值分離的有關(guān)概念、問(wèn)題與理論工具，具體包括以下知識(shí)點(diǎn)： ? 等價(jià)平面 ? 支持價(jià)格 ? 支持行為 ? 價(jià)值分離 ? 凸集的分離性定理 在價(jià)值函數(shù) v(x) 下，商品空間的子集 是價(jià)值為 r 的商品向量的全體，稱為 等價(jià)曲面 。 在完全競(jìng)爭(zhēng)條件下，價(jià)值函數(shù) v(x)成為了價(jià)格泛函： v(x) = p(x) = px，從而等價(jià)曲面 H(v, r) 成為商品空間中的超平面 H( p, r)，稱為等價(jià)平面 ： 當(dāng) ? = 2 時(shí)，等價(jià)平面是直線；當(dāng) ? = 3 時(shí)，等價(jià)平面是通常的 平面；當(dāng) ? ? 4 時(shí)，等價(jià)平面是超 平 面。價(jià)格泛函的重要作用之一，就是決定商品空間中的等價(jià)平面。 (一 ) 等價(jià)平面 }:{),( 2211 rxpxpxppxRxrpH ??????? ??? ?? = 3 H( p, r) p ? = 2 p H( p, r) })(:{),( rxvRxrvH ??? ?? 定義 設(shè) 。等價(jià)平面 H( p, r)稱作 A的 支持平面 , 是指 ( p ?0)?(?x?A )( px ? r )。 (1) 若 H( p, r) 是 A的支持平面，則稱 p 是 A的 支持價(jià)格 。 (2) 若 且 H( p, r) 是 A的支持平面，則稱 x 是 A 的 支持行為 或 支撐點(diǎn) 。 市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)條件下，任何一類經(jīng)濟(jì)活動(dòng)都需要價(jià)格支持，即需要在某種價(jià)格體系的支持下至少實(shí)現(xiàn)某種價(jià)值。比如糧食問(wèn)題，國(guó)家對(duì)農(nóng)民生產(chǎn)糧食進(jìn)行價(jià)格支持，目的就是希望保證農(nóng)民至少能獲得某一收入水平。如果一類經(jīng)濟(jì)活動(dòng)不受任何價(jià)格支持，那么這類活動(dòng)就失去了繼續(xù)進(jìn)行下去的理由 。 研究?jī)r(jià)格支持問(wèn)題的辦法一般是：首先，要?jiǎng)澏ń?jīng)濟(jì)活動(dòng)的范圍，即選定商品空間的一個(gè)子集 A；然后尋找支持 A的價(jià)格 p 以及相應(yīng)的支持行為。為此，我們給出支持價(jià)格的嚴(yán)格定義。 (二 ) 經(jīng)濟(jì)活動(dòng)的價(jià)格支持 A p 支持價(jià)格 支持平面 支持行為 ),( rpHAx ???RA? x 例 1 消費(fèi)活動(dòng)的價(jià)格支持 消費(fèi)者通過(guò)向生產(chǎn)者提供生產(chǎn)要素，獲得收入，來(lái)購(gòu)買(mǎi)產(chǎn)品以達(dá)到一定程度的滿足。用 ?x 表示消費(fèi)者的要素提供量，用 y 表示消費(fèi)者的產(chǎn)品消費(fèi)量，則 (x, y)就代表消費(fèi)者的一種消費(fèi)活動(dòng)。 ? 消費(fèi)集合 X：一切允許的消費(fèi)活動(dòng) (x, y)的全體。 ? 效用函數(shù) u：一個(gè)定義在集合 X 上的實(shí)值函數(shù) u(x, y)。 ? 無(wú)差異曲線 C(U )： C(U ) = {(x, y)?X : u(x, y) = U } 下，只要找到 A 的支持平面 H(p, r)和支持行為 ，那么實(shí)現(xiàn)消費(fèi)者目標(biāo)的最佳消費(fèi)就是支持行為 z 下的消費(fèi)。 為實(shí)現(xiàn)這一目標(biāo)，消費(fèi)者可以進(jìn)行的消費(fèi)活動(dòng)范圍為 A ： )(UCX 支持平面 支持行為 z p 支持價(jià)格 A x y 消費(fèi)集合 ? 消費(fèi)者的目標(biāo) ：實(shí)現(xiàn)效用水平 U。 )),(:),{( UyxuXyxA ???在市場(chǎng)價(jià)格體系既定為 p = (p1, p2)的情況 ),( rpHAz ??例 2 生產(chǎn)活動(dòng)的價(jià)格支持 生產(chǎn)者使用消費(fèi)者提供的生產(chǎn)要素來(lái)進(jìn)行產(chǎn)品的生產(chǎn)，以供消費(fèi)者享用。用 ?x 表示生產(chǎn)者的要素投入量，用 y 表示生產(chǎn)者的產(chǎn)品生產(chǎn)量，則 (x, y)就代表生產(chǎn)者的一種生產(chǎn)活動(dòng)。 ? 生產(chǎn)函數(shù) f ： f (x)表示投入 ?x (x ? 0)下的最大產(chǎn)量。 ? 生產(chǎn)集合 Y： ? 生產(chǎn)前沿 Fr(Y )： 支持行為 ，那么按照支持行為 z 組織生產(chǎn)，就能使生產(chǎn)活動(dòng)技術(shù)有效并且在價(jià)格 ?p下實(shí)現(xiàn)利潤(rùn)最大化。 生產(chǎn)集合 Y 代表一切技術(shù)上可行的生產(chǎn)活動(dòng)的全體，就是生產(chǎn)者的活動(dòng)范圍，但只有前沿上的生產(chǎn)活動(dòng)才技術(shù)有效。在既定的價(jià)格體系 p = (p1, p2)下，只要找到生產(chǎn)集合 Y 的支持平面 H( p, r) 和 Y 支持平面 支持行為 z p 支持價(jià)格 x y 生產(chǎn)集合 ),(),( rpHYrpHYz ?? ??)})(()0(:),{( 2 yxfxRyxY ?????)})(()0(:),{()( 2 yxfxRyxYFr ?????Fr(Y ) 商品空間的任何一個(gè)子集都代表著一類經(jīng)濟(jì)活動(dòng)?，F(xiàn)在來(lái)分析這些不同類型的經(jīng)濟(jì)活動(dòng)之間的價(jià)值關(guān)系 ——價(jià)值分離性。 定義 設(shè) A與 B 是商品空間 R 的任意兩個(gè)子集，價(jià)格向量 p ? 0。 (1) 如果 (?x?A)(?y?B)( p( x) ? p( y))或 (?x?A)(?y?B)( p( x) ? p( y))， 則稱 A 和 B 由價(jià)格向量 p 所 分離 ； (2) 如果 (?x?A)(?y?B)( p( x) p( y))或 (?x?A)(?y?B)( p( x) p( y))， 則稱 A 和 B 由價(jià)格向量 p 所 嚴(yán)格分離 ； (3) 如果 A 和 B 由某個(gè)價(jià)格向量所 (嚴(yán)格 )分離 ， 則稱 A 和 B 是 (嚴(yán)格 ) 價(jià)值分離 的。 (三 ) 經(jīng)濟(jì)活動(dòng)的價(jià)值分離 ? 價(jià)值分離的直觀含義是說(shuō)：集合 A 與 B 分別位于等價(jià)平面的兩側(cè)，即 A類與 B類經(jīng)濟(jì)活動(dòng)在價(jià)值上截然不同：一個(gè)位于高價(jià)位，另一個(gè)位于低價(jià)位。 H( p,r) A B 價(jià)值分離 有一類經(jīng)濟(jì)活動(dòng)比較普遍，更值得我們關(guān)注，乃就是 凸性經(jīng)濟(jì)活動(dòng)活動(dòng) 。比如，用 1千元可購(gòu)買(mǎi) 100只股票 A, 也可購(gòu)買(mǎi) 100只股票 B時(shí) , 人們就可以進(jìn)行加權(quán)平均處理。這樣，用 100元購(gòu)買(mǎi)股票之活動(dòng)就是凸性經(jīng)濟(jì)活動(dòng)：可以進(jìn)行加權(quán)平均。 準(zhǔn)確地說(shuō)，一類經(jīng)濟(jì)活動(dòng)叫做是 凸性活動(dòng) ，是指這類活動(dòng)的加權(quán)平均活動(dòng)仍然屬于這類活動(dòng)，即該類活動(dòng)對(duì)于加權(quán)平均活動(dòng)具有封閉性。 1. 凸性經(jīng)濟(jì)活動(dòng) ))1(])(1,0[)(,( XyxXyx ??????? ???凸集 X x y ? x+(1??) y 當(dāng)我們用商品空間的某子集 X 來(lái)代表某類經(jīng)濟(jì)活動(dòng)時(shí)，凸性活動(dòng)就是說(shuō) X 是 凸集 ，即 X 具有如下性質(zhì)： 定理 (凸集的分離性 ) 設(shè) 是任意兩個(gè)非空凸集 。 (1) 如果 A? ?? 并且 A?? B =? ， 則 A 與 B 價(jià)值分離； (2) 如果 A 和 B 是不相交的開(kāi)集 ， 則 A 與 B 嚴(yán)格 價(jià)值分離； (3) 如果 A 是閉集 , B是開(kāi)集 , 且 A? B =? ， 則 A 與 B 嚴(yán)格價(jià)值分離； (4) 如果 A? ?? ， 則 A 的邊界 ?A 上的每個(gè)點(diǎn)都是 A 的支撐點(diǎn) 。 2. 凸集的分離性定理 由于凸性經(jīng)濟(jì)活動(dòng)具有一定的封閉性，因此凸性經(jīng)濟(jì)活動(dòng)之間容易價(jià)值分離，這就是下述定理所表達(dá)的事實(shí)。 ?RBA ?,本定理是泛函分析中的一個(gè)著名定理，在經(jīng)濟(jì)分析中，尤其是在一般均衡分析中，具有重要的作用。 下面，我們給出凸集的分離性定理在價(jià)值支持問(wèn)題研究中的一個(gè)應(yīng)用事例。 例 3 消費(fèi)與生產(chǎn)的價(jià)值分離與同時(shí)價(jià)格支持 進(jìn)行的。例如，行為