【文章內容簡介】 S17 【點評】 ① “ 黑洞 ” 問題在高考中時有出現(xiàn)，關鍵要理解好其 “ 不能逃逸 ” 的動能定理方程： 12mc2－ GMmR 0． ② Ep＝－ GMmR 是假定離星球無窮遠的物體與星球共有的引力勢能為零時，物體在其他位置 (與星球共有 )的引力勢能，同樣有引力做的功等于引力勢能的減少． ★同類拓展 3 2021 年 10 月 12日，神舟六號飛船順利升空后，在離地面 340 km的圓軌道上運行了 73 圈．運行中需要多次進行軌道維持．所謂 “ 軌道維持 ” 就是通過控制飛船上發(fā)動機的點火時間、推力的大小和方向，使飛船能保持在預定軌道上穩(wěn)定運行．如果不進行軌道維持，由于飛船在軌道上運動受摩擦阻力的作用，軌道高度會 逐漸緩慢降低，在這種情況下，下列說法正確的是 ( ) A．飛船受到的萬有引力逐漸增大、線速度逐漸減小 B．飛船的向心加速度逐漸增大、周期逐漸減小、線速度和角速度都逐漸增大 C．飛船的動能、重力勢能和機械能都逐漸減小 D．重力勢能逐漸減小，動能逐漸增大，機械能逐漸減小 【解析】 飛船的軌道高度緩慢降低，由萬有引力定律知其受到的萬有引力逐漸增大，向心加速度逐漸增大，又由于軌道變化的緩慢性，即在很短時間可當做勻速圓周運動，由 GMmr2＝ mv2r＝ mω2r＝ m4π2T2 r 知，其線速度逐漸增大，動能增大，由此可知飛船動能逐漸增大，重力勢能逐漸減小，由空氣阻力做負功知機械能逐漸減少． [答案 ] BD 五、雙星問題 ●例 5 天文學家將相距較近、僅在彼此的引力作用下運行的兩顆恒星稱為雙星．雙星系統(tǒng)在銀河系中很普遍．利用雙星系統(tǒng)中兩顆恒星的運動特征可推算出它們的總質量．已知某雙星系統(tǒng)中兩顆恒星圍繞它們連線上的某一固定點分別做勻速圓周運動，周期均為 T，兩顆恒星之間的距離為 r，試推算這個雙星系統(tǒng)的總質量． (引力常量為 G) [2021 年高考 寧夏理綜卷 ] 【解析】 設兩顆恒星的 質量分別為 m m2，做圓周運動的半徑分別為 r r2，角速度分別為 ω ω2．根據(jù)題意有： ω1＝ ω2 r1＋ r2＝ r 根據(jù)萬有引力定律和牛頓定律，有： Gm1m2r2 ＝ m1r1ω12 Gm1m2r2 ＝ m2r2ω22 聯(lián)立解得： r1＝ m2rm1＋ m2 根據(jù)角速度與周期的關系知 ω1＝ ω2＝ 2πT 聯(lián)立解得： m1＋ m2＝ 4π2r3T2G． [答案 ] 4π2r3T2G 【點評】 在雙星系統(tǒng)中，當 其中一星體質量遠遠大于另一星體時，它們的共同圓心就在大質量星球內部且趨近于球心． 經(jīng)典考題 1． 天文學家新發(fā)現(xiàn)了太陽系外的一顆行星．這顆行星的體積是地球的 倍，質量是地球的 25 倍．已知某一近地衛(wèi)星繞地球運行的周期約為 小時，引力常量 G＝ 10－11 Nm2/kg2，由此估算該行星的平均密度約為 [2021 年高考 全國理綜卷 Ⅰ ]( ) A． 103 kg/m3 B． 103 kg/m3 C． 104 kg/m3 D． 104 kg/m3 【解析】 由 GMmR2 ＝ m4π2T2 R， ρ＝3M4πR3可得，地球密度 ρ＝3πGT2，再由質量和體積關系得該行星的密度 ρ′ ＝ 104 kg/m3． [答案 ] D 2． 2021 年 2 月 11 日，俄羅斯的 “ 宇宙－ 2251” 衛(wèi)星和美國的 “ 銥－ 33” 衛(wèi)星在西伯利亞上空約 805 km處發(fā)生碰撞．這是歷史上首次發(fā)生的完整在軌衛(wèi)星碰撞事件．碰撞過程中產(chǎn)生的大量碎片可能會影響太空環(huán)境．假定有甲、乙兩塊碎片，繞地球運行的軌道都是圓，甲的運行速率比乙的大，則下列說法中正 確的是 [2021 年高考 安徽理綜卷 Ⅰ ]( ) A．甲的運行周期一定比乙的長 B．甲距地面的高度一定比乙的高 C．甲的向心力一定比乙的小 D．甲的加速度一定比乙的大 【解析】 由 v＝ GMr 可知，甲碎片的速率大，軌道半徑小，故 B 錯誤；由公式 T＝2π R3GM可知，甲的周期小，故 A錯誤；由于未知兩碎片的質量，無法判斷向心力的大小，故 C 錯誤；碎片的加速度是指引力加速度，由 GMmR2 ＝ ma，可得 a＝ GMR2 ，甲的加速度比乙大 ， D 正確． [答案 ] D 年 4 月 25 日，科學家將哈勃天文望遠鏡送上距地球表面約 600 km 的高空，使得人類對宇宙中星體的觀測與研究有了極大的進展．假設哈勃望遠鏡沿圓軌道繞地球運行．已知地球半徑為 106 m，利用地球同步衛(wèi)星與地球表面的距離為 107 m這一事實可得到哈勃望遠鏡繞地球運行的周期．以下數(shù)據(jù)中，最接近其運行周期的是 [2021 年高考 四川理綜卷 ]( ) A． 小時 B． 小時 C． 小時 D． 24 小時 【解析】 由開普勒行星運動定律可知， R3T2＝恒量，所以(r＋ h1)3t12 ＝(r＋ h2)3t22 ，其中 r 為地球的半徑， h1， t1， h2， t2 分別表示望遠鏡到地表的距離、望遠鏡的周期、同步衛(wèi)星距地表的距離、同步衛(wèi)星的周期 (24 h)，代入解得： t1＝ h． [答案 ] B 【點評】 高考對星體航天問題的考查以圓周運動的動力學方程為主，具體常涉及求密度值、同步衛(wèi)星的參量、變軌的能量變化等．在具體解題時要注意運用好幾個常用的代換． 4． 我國發(fā)射的嫦娥一號探月衛(wèi)星沿近似于圓形的軌道繞月飛行．為了獲得 月球表面全貌的信息，讓衛(wèi)星軌道平面緩慢變化，衛(wèi)星將獲得的信息持續(xù)用微波信號發(fā)回地球．設地球和月球的質量分別為 M和 m，地球和月球的半徑分別為 R 和 R1，月球繞地球的軌道半徑和衛(wèi)星繞月球的軌道半徑分別為 r 和 r1，月球繞地球轉動的周期為 T．假定在衛(wèi)星繞月運行的一個周期內衛(wèi)星軌道平面與地月連心線共面，求在該周期內衛(wèi)星發(fā)射的微波信號因月球遮擋而不能到達地球的時間． (用 M、 m、 R、 R r、 r1 和 T表示，忽略月球繞地球轉動對遮擋時間的影響 )． [2021 年高考 全國理綜卷 Ⅱ ] 【解析】 如圖所示，設 O 和 O′ 分別表示地球和月球 的中心．在衛(wèi)星軌道平面上， A是地月連心線 OO′ 與地月球表面的公切線 ACD的交點， D、 C和 B分別是該公切線與地球表面、月球表面和衛(wèi)星軌道的交點．過 A點在另一側作地月球面的公切線，交衛(wèi)星軌道于 E點．衛(wèi)星在圓弧 BE上運動時發(fā)出的信號被遮擋． 設探月衛(wèi)星的質量為 m0，引力常量為 G，根據(jù)萬有引力定律有： GMmr2 ＝ m(2πT )2r Gmm0r12 ＝ m0(2πT1)2r1(其中 T1表示探月衛(wèi)星繞月球轉動的周期 ) 由以上兩式可得： (T1T)2＝ Mm(r1r)3 設衛(wèi)星的微波信號被遮擋的時間為 t，則由于衛(wèi)星繞月球做勻速圓周運動，有： tT1＝α－ βπ ，其中 α＝ ∠ CO′ A， β＝ ∠ CO′ B 由幾何關系得： rcos α＝ R－ R1， r1cos β＝ R1 聯(lián)立解得： t＝ Tπ Mr13mr3 (arccosR－ R1r － arccosR1r1)． [答案 ] Tπ Mr13mr3 (arccosR－ R1r － arccosR1r1) 【點評】 航體星體問題有時在高考中也以計算題出現(xiàn)，解答的關鍵仍是做圓周運動的動力學方程．另外，還需要同學們具有豐富的想象力，描繪情境圖、難圖化易、化整為零等能力． 能力演練 一、選擇題 (10 4 分 ) 1．在越野賽車時，一輛賽車在水平公路上減速轉彎，從俯視圖可以看到，賽車沿 圓周由 P 向 Q 行駛．下列圖中畫出了賽車轉彎時所受合力的四種方式，其中正確的是 ( ) 【解析】 將 F 向切向和徑向分解，切向分力使其減速，徑向的分力產(chǎn)生向心加速度，故 D 正確． [答案 ] D 2．備受關注的京滬高速鐵路預計在 2021 年投入運營．按照設計，乘高速列車從北京到上海只需 4 個多小時，由于高速列車的速度快，對軌道、軌基的抗震動和抗沖擊力的要求都很高．如圖所示，列車轉彎可以看成是做勻速圓周運動，若某彎道 的半徑為 R，列車設計時速為 v，則該彎道處鐵軌內外軌的設計傾角 θ 應為 ( ) A． arctanv2Rg B． arcsinv2Rg C． arccotv2Rg D． arccosv2Rg 【解析】 設計的傾角 θ應使列車過彎道時重力與支持力的合力提供向心力： mgtan θ＝