【文章內(nèi)容簡介】 ,( 1xxxxiiiiiiiiiniiiixBxBXxxXBSBfXG??????????????? ?),2,1(*) }(:*)(m a x{*)( *)( niBxxff Bxiiiiiii ?????????xxxx納什均衡 ： 四、合作博弈 當博弈從二人發(fā)展到多人參與的時候，局中人就不再像二人博弈那樣只是獨立行動，而是可以開展合作，一些局中人聯(lián)合起來對抗另外一些局中人。他們出于某種動機或需要而結成聯(lián)盟，互通情報信息，采取一致行動，以便取得對自己有利的結果。 這種相互配合、彼此協(xié)作、結成聯(lián)盟的現(xiàn)象就是合作博弈的原型。 在合作博弈中，局中人自己的策略選擇已經(jīng)不再是什么重要問題，重要的是聯(lián)盟如何選擇策略，如何采取一致行動，聯(lián)盟的收入如何向其成員進行分配。 收入分配問題至關重要，它決定著局中人能否形成聯(lián)盟，盟外人又是否愿意加入到聯(lián)盟中來?，F(xiàn)在，我們來討論這些問題，建立多人合作博弈的理論。我們將以有限博弈為對象展開討論，至于無限博弈的情形，這里的理論和方法都可以自然地推廣過去。 (一 ) 聯(lián)盟對抗 博弈 G = (Xi, ui)i?I 的局中人集合為 I = {1,2,?,n}。局中人的合作表現(xiàn)為結盟，即形成聯(lián)盟，這個聯(lián)盟就是 I 的子集 。 ? 定義 博弈 G 中的一個 聯(lián)盟 是指局中人集合 I 的一個子集 。 對于這個定義，以下三點值得注意： 通過結盟，合作博弈可轉化為非合作博弈： 若 A是聯(lián)盟 , 那么 G就成為聯(lián)盟 A 和其余聯(lián)盟 B的非合作博弈 。即可把 A和 B都看成局中人： A 和 B 的策略集合分別為 XA = ? i?A Xi 和 XB = ? i?B Xi, 局勢集合為 X = ? i?I Xi = XA ? XB，局勢 x = (x1,?, xn) = (xA, xB)， A 和 B 的收益函數(shù)分別為 uA(x) = ?i?A ui(x)和 uB(x) = ?i?B ui(x), 于是 G 轉化為 GA = (XA, uA 。 XB, uB)。 (1) 如果 A 是聯(lián)盟，那么 B = I – A 也是聯(lián)盟，稱為聯(lián)盟 A 的 余聯(lián)盟 。任何聯(lián)盟 A 都把局中人分成兩個聯(lián)盟：聯(lián)盟 A 和余聯(lián)盟 B。 (2) I 和空集 ? 都是聯(lián)盟且互為余聯(lián)盟。我們把空集 ? 稱為 空聯(lián)盟 。 (3) 只含一個局中人的集合也是聯(lián)盟，叫做 單人聯(lián)盟 。這是聯(lián)盟的特殊情形，實際上單人聯(lián)盟并沒有真正的結盟意義。 (二 ) 特征函數(shù) 通過聯(lián)盟 A，多人合作博弈 G簡化為二人非合作博弈 GA = (XA, uA 。 XB, uB) ，由此可引出博弈 G的 特征函數(shù) V: P (I )?R： V(A)是 A的收益函數(shù) uA在鞍點處的值。事實上， V(A)是二人零和博弈 (XA, uA 。 XB, ?uA)的古諾均衡中局中人 A 的收益。 馮 諾伊曼據(jù)此提出了如上的特征函數(shù)概念。特征函數(shù) V(A)具有以下基本性質(zhì)： 性質(zhì) 1 對于空聯(lián)盟 ? 來說 , V(? ) = 0。 (這是因為 u? = 0) 性質(zhì) 2 若 A, B?P (I ) 且 A?B =? , 則 V(A?B ) ? V(A) + V(B)。 性質(zhì) 3 當 G為零和博弈時 , V(I ) = 0 且 (?A?P (I ))(V(I – A) = ?V(A))。 如果把性質(zhì) 2中的不等式換為等式， 即 V(A?B ) = V(A) + V(B) 對一切不相交的聯(lián)盟 A和 B都成立，則稱特征函數(shù) V 具有 可加性 。當 V具有可加性時 , V(A) = ?i?A V({i})對一切聯(lián)盟 A 成立 , 這表明結盟與不結盟沒有什么差別，從而博弈中合作沒有什么意義。這種具有可加特征函數(shù)的博弈，稱為 非本質(zhì)博弈 ，人們感興趣的是本質(zhì)博弈。 ),(m i nm a x)(, BAAXX uAVIABBAAxxxx ?????(三 ) 收入分配 特征函數(shù)表示聯(lián)盟總收入，那么這筆收入在聯(lián)盟內(nèi)部如何分配呢？為了研究聯(lián)盟內(nèi)的收入分配問題，首先給出收入分配的含義。 ? 定義 博弈 G = (Xi, ui)n 的 收入分配 (簡稱 分配 )是一個滿足如下條 件的 n維向量 (r1, r2,?, rn)： V(I ) = ?i?I ri且 ri ? vi=V({i}) (i =1,2,?,n)。 定義中的條件 V(I ) = ?i?I ri 意味著局中人全體組成統(tǒng)一聯(lián)盟，并從這個聯(lián)盟中得到收入； vi =V({i})表示局中人單干的收入，即不與其他人結盟的情況下的收入； 條件 ri ? vi意味著局中人參加聯(lián)盟所得到的收入不低于單干的收入，聯(lián)盟的吸引力就在于參加聯(lián)盟能夠得到更多的收入。向量 v = (v1, v2,?, vn)就叫做 單干收入向量 ，根據(jù)特征函數(shù)的性質(zhì)可知， V(I ) ? ?i?I vi。收入分配具有下述一些性質(zhì)。 性質(zhì) 1 向量 (r1, r2,?, rn) 是 G 的分配當且僅當存在向量 (a1, a2,?, an) ? 0 使得 ri = vi + ai (i =1,2,?,n) 且 ?i?I ai = V(I ) ? ?i?I vi。 性質(zhì) 2 n 人非本質(zhì)博弈的分配只有單干收入向量 v = (v1, v2,?, vn)。 性質(zhì) 3 本質(zhì)博弈的分配有無限多個 。 (四 ) 核心最優(yōu)解 局中人結盟是因為結盟能夠提高聯(lián)盟成員的收入。因此，對于任何一種收入分配 t = (t1, t2,?, tn)，如果存在 A?P (I ) 及另一種收入分配 r = (r1, r2,?, rn) 使得 V(A) ? ?i?A ri 且 ri ti 對一切 i?A 成立 , 那么 A中的局中人就會結盟一致反對收入分配 t以達到提高收入的目的 , 這個聯(lián)盟 A 就叫做收入分配 t 的 反對者聯(lián)盟 。 一種收入分配只有不存在反對者聯(lián)盟的時候，才能被所有局中人接受。這種收入分配就是合作博弈的最優(yōu)解 ——核心最優(yōu)解 。由所有核心最優(yōu)解構成的集合，叫做博弈 G的 核心 (core), 記作 C(G)。 如上涉及到一個概念 ——占優(yōu)分配 ：對于收入分配 r 和 t, r ?A t (在聯(lián)盟 A 中 r 比 t 占優(yōu) )是指 V(A )? ?i?A ri 且 ri ti 對一切 i?A 成立； r?t ( r 比 t 占優(yōu) )是指存在聯(lián)盟 A 使得 r ?A t。占優(yōu)關系 ?A 具有傳遞性，但占優(yōu)關系 ?不具有傳遞性。另外 , 若 r ?A t 且 A ??， 則 A ? I 且 A 不是單人聯(lián)盟 。可以證明： 對任何收入分配 r= (r1, r2,?, rn), r?C(G) 當且僅當 ?i?A ri ? V(A)對一切非空聯(lián)盟 A 成立 。還可以證明： 當 G 為零和本質(zhì)博弈時， C(G) =? 。 五、序貫博弈 迄今為止，我們討論的博弈都具有簡單的動態(tài)結構，即它們是一次性博弈或者是一次性博弈的重復序列，而且還具有簡單的信息結構，即每個局中人都知道其他局中人的收益情況及可以采用的各種策略。換句話說，各個局中人都是同時移動的。 但實際中，許多利益較量博弈并不具備這種結構，局中人的決策和行動具有先后次序，即每個局中人都是在看到其他對手的行動后才開始行動的。 這種 局中人在行動上具有先后次序的博弈 ，就是所謂的 序貫博弈 (sequential game)。對序貫博弈進行研究，將會產(chǎn)生一些新的概念和方法。 (一 ) 博弈的擴展形式：博弈樹 11s12s13s11?ns1ns11ms22ms33ms11??nmnsnmns11ks22ksnknsnnnnnnkkknkkkkkkfff11111121???????nnnknkkfff11112111????nnnnnnkmmnkmmkmmfff11111121???????22ms12s12s22ms 22ks22ks1ns nmns nmnsnmnsnkns nkns1ns 1ns 1nsnknsnkns33ms 13s省略號 nmns(二 ) 子博弈與逆向歸納求解法 5 4 1 7 6 9 6 5 3 4 9 6 2 5 3 9 8 1 3 6 9 4 5 8 ab?甲 乙 丙 ?c ??b???ccc序貫均衡 乙 丙 丙 丙 (三 ) 信息集與完全均衡 非納什均衡之解 甲 乙 乙 正 正 正 反 反 反 10 10 15 8 12 6 8 5 納什 均衡 序貫 均衡 完全均衡是這樣的序貫博弈結局：局中人在所有到達的子博弈中處于納什均衡狀態(tài)。 即 完全均衡 = 序貫均衡 + 納什均衡 乙的信息集 (四 ) 子博弈完全均衡 甲 乙 乙 正 左 左 反 右 右 1 3 2 3 0 0 2 1 完全 均衡 子博弈完全均衡 (subgame perfect equilibrium)是指這樣的序貫均衡，其在任何子博弈中都處于納什均衡狀態(tài) 。 子博弈 均衡 子博弈 完全均衡 第 14講 局部均衡理論 消費者和生產(chǎn)者行為理論揭示了經(jīng)濟活動者依據(jù)價格行事的行為規(guī)律，價格在個體經(jīng)濟活動中被視為外生變量。那么價格是如何決定的？ 我們將在完全競爭的條件下討論這個問題。 根據(jù)完全競爭市場的假定，市場上活躍著大量的生產(chǎn)者和消費者，他們都是價格的接受者，聽從價格召喚，依據(jù)價格行事，他們當中任何個人的行為都對市場價格產(chǎn)生不了影響。 盡管個人行為不能影響價格，但所有經(jīng)濟活動者的行為總和對價格起著決定性的作用，商品價格是由商品的市場需求和市場供給共同決定的。只有當供求發(fā)生變動時，價格才會發(fā)生變動，進而導致各個生產(chǎn)者和消費者的行為發(fā)生變化。這就是供求決定價格的經(jīng)濟均衡理論，它分為兩個層次：局部均衡 (個別市場的均衡 )和一般均衡 (所有市場同時實現(xiàn)均衡 )。本講討論局部均衡理論，下一講討論一般均衡理論。 一、短期均衡 馬歇爾 (1920年 )創(chuàng)立的局部均衡理論，把單一商品市場看成是總體經(jīng)濟的一個很小的部分，這為我們分析市場均衡問題帶來了兩大方便。首先， 可以忽略收入效應 。相對于整體經(jīng)濟而言，單一商品市場的小規(guī)模特點讓我們可以認為消費者在單一商品上的支出僅占個人全部支出的一個很小比例，因此收入變動對單一商品需求的影響很小，收入效應可以忽略。其次， 可以忽略替代效應 。單一商品市場的小規(guī)模特點也使得單一商品的價格變化對其他商品幾乎沒有替代效應，可以認為其他商品的價格不受該種商品價格的影響。 鑒于這兩個特點，我們在分析市場均衡問題時，就可認為單一商品的需求與供給都是由該商品的價格決定的，并且僅僅是該商品的價格的函數(shù)。更重要的是，還 可把所有其他商品組合在一起視為一種標準商品 ——貨幣 ，且這種標準商品的價格不變。這樣，經(jīng)濟變成兩種商品 (貨幣 M 和商品 Q )的 經(jīng)濟，從而使得價格決定問題得以簡化：貨幣 M的價格為 1 ，只需研究商品 Q的價格決定。 (一 ) 市場需求 為了討論商品 Q 的價格決定問題，首先需要搞清楚這種 兩商品經(jīng)濟 對商品 Q 的需求情況，而這又取決于各個消費者對商品 Q 的需求情況。因此，我們先來說明消費者個人的選擇。 用 Q 表示商品 Q 的數(shù)量，用 M 表示貨幣 M 的數(shù)量；用 P 表示商品 Q 的價格，貨幣 M 的價格為 1，因為貨幣是價值標準。 可以認為， 短期內(nèi)貨幣對于消費者的邊際效用不變 。原因在于貨幣的效用是消費者通過購物消費獲得的，如果用貨幣只購買一種商品導致貨幣的邊際效用遞減，那么消費者就會購買其他商品，從而消除邊際效用遞減趨勢。另外，短期內(nèi)不涉及通貨膨脹、貨幣貶值或升值等問題，因而更有理由認為短期內(nèi)貨幣的邊際效用不變。 鑒于此，可假定消費者的效用函數(shù)為 u(Q, M )，且貨幣的邊際效用 ?u(Q, M )/?M 為常數(shù) C。這樣，可把 u(Q, M ) 寫成： u(Q, M ) = A M + B(Q)。由于 u(Q, M )/A 與 u(Q, M ) 表示了同一偏好關系，因此可直