【原創(chuàng)】(新高考)20xx屆高考二輪精品專題五-導(dǎo)數(shù)-學(xué)生版(編輯修改稿)
2025-04-05 05:29 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 數(shù)的方法研究不等式恒成立（或能成立）求參數(shù)時(shí)，一般可對(duì)不等式變形，分離參數(shù)，根據(jù)分離參數(shù)后的結(jié)果，構(gòu)造函數(shù)，由導(dǎo)數(shù)的方法求出函數(shù)的最值，進(jìn)而可求出結(jié)果；有時(shí)也可根據(jù)不等式，直接構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的方法，利用分類討論求函數(shù)的最值，即可得出結(jié)果．7．【答案】（1）答案見解析；（2）證明見解析．【解析】（1）函數(shù)fx=alnx+x的定義域?yàn)?，+∞，．當(dāng)a0時(shí)，對(duì)任意的x0，f39。x0，故fx在0，+∞上單調(diào)遞增；若a0，當(dāng)x∈0，a時(shí)，f39。x0，fx單調(diào)遞減；當(dāng)x∈a，+∞時(shí)，f39。x0，fx單調(diào)遞增．綜上所述，當(dāng)a0時(shí)，fx在0，+∞上單調(diào)遞增；當(dāng)a0，fx在0，a上單調(diào)遞減，在a，+∞上單調(diào)遞增．（2）證明：由題意，該不等式等價(jià)于e2?xex≥lnx+x+3，即xex+2≥lnx+x+3，又可化為，即，令，則，所以，函數(shù)gx在0，+∞上單調(diào)遞增，當(dāng)x→0時(shí)，t→∞；當(dāng)x→+∞時(shí)，t→+∞，所以，故所證不等式等價(jià)為證明不等式et≥t+1，構(gòu)造函數(shù)ht=ett1，則h39。t=et1．當(dāng)t∈∞，0時(shí)，h39。t0，函數(shù)ht單調(diào)遞減；當(dāng)t∈0，+∞時(shí)，h39。t0，函數(shù)ht單調(diào)遞增，所以，故原不等式得證．【點(diǎn)評(píng)】利用導(dǎo)數(shù)證明不等式問題，方法如下：（1）直接構(gòu)造函數(shù)法：證明不等式fxgx（或fxgx）轉(zhuǎn)化為證明fxgx0（或fxgx0），進(jìn)而構(gòu)造輔助函數(shù)；（2）適當(dāng)放縮構(gòu)造法：一是根據(jù)已知條件適當(dāng)放縮；二是利用常見放縮結(jié)論；（3）構(gòu)造“形似”函數(shù)，稍作變形再構(gòu)造，對(duì)原不等式同解變形，根據(jù)相似結(jié)構(gòu)構(gòu)造輔助函數(shù)．8．【答案】（1）答案見解析；（2）a≤1．【解析】（1）f39。(x)=xsinx，令t(x)=xsinx，∴t39。(x)=1cosx≥0，∴t(x)在R上單調(diào)遞增．當(dāng)x∈(∞，0)時(shí)，f39。(x)f39。(0)=0，f(x)在(∞，0)上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，f39。(x)0，f(x)在(0，+∞)上單調(diào)遞增．（2）令，則，F(xiàn)39。(x)=exsinxa，令h(x)=exsinxa，∴h39。(x)=excosx≥0，∴在[0，+∞)上遞增，∴h(x)≥h(0)=1a，當(dāng)a≤1時(shí)，h(x)≥1a≥0，∴F39。(x)≥0，F(xiàn)(x)單調(diào)遞增，∴F(x)≥F(0)=0，滿足題意；當(dāng)a1時(shí)，h(0)=1a0，h(ln(1+a))=1sinln1+a≥0，∴?x0∈(0，ln(a+1))，h(x0)=0， ∴當(dāng)x∈(0，x0)時(shí)，h(x)h(x0)=0，F(xiàn)(x)單調(diào)遞減，又F(0)=0，此時(shí)F(x)F(0)=0，不合題意，綜上可得a≤1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，研究不等式恒成立問題．不等式恒成立問題常常轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值，由最值滿足的不等關(guān)系得出結(jié)論．9．【答案】（1）極小值為0，無極大值；（2）見解析；（3）證明見解析．【解析】（1）fx的定義域?yàn)?，+∞，當(dāng)時(shí)，若f39。x0，則x1；若f39。x0，則0x1，∴fx在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，∴fx極小值=f1=0，沒有極大值．（2），①當(dāng)a≥0時(shí)，若f39。x0，則x1；若f39。x0，則0x1，∴fx在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；②當(dāng)，即2a0時(shí)，若f39。x0，則或x1；若f39。x0，則，∴fx在上單調(diào)遞減，在，1，+∞上單調(diào)遞增；③當(dāng)，即a=2時(shí)，f39。x≥0恒成立，∴fx在0，+∞上單調(diào)遞增；④當(dāng)，即a2時(shí)，若f39。x0，則0x1或；若f39。x0，則，∴fx在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，綜上所述：①當(dāng)a2時(shí)，fx在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；②當(dāng)a=2時(shí)，fx在0，+∞上單調(diào)遞增；③當(dāng)2a0時(shí)，fx在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增；④當(dāng)a≥0時(shí)，fx在上單調(diào)遞減，在1，+∞上單調(diào)遞增．（3）由（1）知fx=x2xlnx在上為減函數(shù)，∴x∈0，1時(shí)，x2xlnxf1=0，∴x2xlnx，令，得，即，…，將以上各式左右兩邊相加得：，．【點(diǎn)評(píng)】本題第三問關(guān)鍵是聯(lián)系到fx=x2xlnx在上為減函數(shù)，再從不等式的結(jié)構(gòu)和對(duì)數(shù)的運(yùn)算，想到構(gòu)造求解．高頻易錯(cuò)題一、選擇題．1．【答案】D【解析】由導(dǎo)函數(shù)得圖象可得：時(shí)，所以在單調(diào)遞減，排除選項(xiàng)A、B，當(dāng)時(shí)，先正后負(fù)，所以在先增后減，因選項(xiàng)C是先減后增再減，故排除選項(xiàng)C，故選D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考了的利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，但注意題目給的圖象是原函數(shù)圖象還是導(dǎo)函數(shù)圖象，屬于基礎(chǔ)題．二、解答題．2．【答案】（1）；（2）證明見解析．【解析】（1）由，得，設(shè)，則．當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增．所以，因?yàn)樵赗上是減函數(shù)，所以，所以，故m的取值范圍是．（2）當(dāng)時(shí)，．由于，所以在上有零點(diǎn)，又在上單調(diào)遞增，所以在上只有一個(gè)零點(diǎn)，設(shè)為，又，設(shè)，則，即在上單調(diào)遞減，所以，即，所以，所以在上有零點(diǎn)，又在上單調(diào)遞減，所以在上只有一個(gè)零
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