【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 直線平行；∠NMD；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；(問題遷移)∠BMD＝∠D﹣∠B；證明見解析；(推廣應(yīng)用)（1）∠N＝48176。；（2）∠M＝50176。；（3）∠M＝39176。，【解析】【分析】(問題原型)：過點(diǎn)M作MN∥AB，根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得答案；(問題遷移)過點(diǎn)M作MN∥AB，由平行線的性質(zhì)可得∠1＝∠B，∠NMD＝∠D，利用角的和差即可得答案；(推廣應(yīng)用)：（1）利用圖②結(jié)論，結(jié)合角平分線的性質(zhì)即可得答案；（2）利用圖③的結(jié)論，結(jié)合角平分線的性質(zhì)即可得出答案；（3）如圖⑥，過G，F(xiàn)，E分別作GN∥AB，F(xiàn)H∥AB，EP∥AB，根據(jù)平行線的性質(zhì)，結(jié)合角平分線的性質(zhì)利用圖②的結(jié)論即可得出答案.【詳解】(問題原型)：如圖②，過點(diǎn)M作MN∥AB，則∠B＝∠BMN（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）∵AB∥CD，（已知）∴MN∥AB（輔助線的做法）∴MN∥CD（平行于同一條直線的兩直線平行）∴∠NMD＝∠D（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）∴∠B+∠D＝∠BMD，故答案為∠BMN，兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，平行于同一條直線的兩直線平行，∠NMD，兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，（問題遷移）：如圖③，過點(diǎn)M作MN∥AB，∴∠1＝∠B，∵AB∥CD，∴MN∥AB，∴∠NMD＝∠D，∵∠NMD＝∠1+∠BMD，∴∠BMD＝∠D﹣∠B；（推廣應(yīng)用）：（1）如圖④，由如圖②的結(jié)論可得，∠ABM+∠CDM＝∠M＝96176。，∠N＝∠ABN+∠CDN，∵BN，DN分別平分∠ABM，∠CDM，∴∠ABN+∠CDN＝＝（∠ABM+∠CDM）＝48176。，∴∠N＝48176。；（2）如圖⑤，由如圖③的結(jié)論可得，∠M＝∠CDM﹣∠ABM，∵BN，DN分別平分∠ABM，∠CDM，∴∠CDN﹣∠ABN＝∠CDM﹣∠ABM＝（∠CDM﹣∠ABM）＝∠M＝∠N＝25176。，∴∠M＝50176。；（3）如圖⑥，過G，F(xiàn)，E分別作GN∥AB，F(xiàn)H∥AB，EP∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥GN∥FH∥EP∥CD，∴∠2＝∠GFH，∠3＝∠EFH，∴∠2+∠3＝∠GFE＝64176。，∴∠1+∠4＝∠BGF+∠DEF﹣∠GFE＝78176。，∵AB∥GN，EP∥CD，∴∠ABG＝∠1，∠CDE＝∠4，∴∠ABG+∠CDE＝78176。，∵BM，DM分別平分∠ABG，∠CDE，∴∠ABM＝∠ABG，∠CDM＝∠CDE，由如圖②中的結(jié)論可得∠M＝∠ABM+∠CDM＝（∠ABG+∠CDE）＝78176。＝39176。，故答案為48，50，39．【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì)及角平分線的性質(zhì)，兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；熟練掌握平行線的性質(zhì)并正確作出輔助線是解題關(guān)鍵.（1)如圖示，AB∥CD，且點(diǎn)E在射線AB與CD之間，請(qǐng)說明∠AEC=∠A+∠C的理由．(2)現(xiàn)在如圖b示，仍有AB∥CD，但點(diǎn)E在AB與CD的上方，①請(qǐng)嘗試探索∠1,∠2,∠E三者的數(shù)量關(guān)系. ②請(qǐng)說明理由.【答案】（1）證明見解析（2）∠1+∠2∠E=180176?！窘馕觥吭囶}分析：（1）過點(diǎn)E作EF∥AB，由兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，得到∠A=∠1．由平行的傳遞性得到EF // CD，再由平行線的性質(zhì)得到∠2=∠C，由角的和差即可得到結(jié)論；（2）過點(diǎn)E作EF∥AB，類似可得到結(jié)論．試題解析：解：（1）過點(diǎn)E作EF∥AB，∴∠A=∠1（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）．∵AB // CD（已知），∴EF // CD（平行的傳遞性），∴∠2=∠C（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）．∵∠AEC=∠1+∠2（圖上可知），∴∠AEC=∠A+∠C（等量代換） ；（2）∠1+∠2∠E=180176。．理由如下：過點(diǎn)E作EF∥AB，∴∠4+∠1=180176。（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）．∵AB // CD（已知），∴EF // CD（平行的傳遞性），∴∠FEC=∠2（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等），即∠3+∠4=∠2，∴∠4=∠2∠3（等式性質(zhì)），∴∠2∠3+∠1=180176。（等量代換），即∠1+∠2∠AEC=180176。．點(diǎn)睛：本題考查了平行線的性質(zhì)，作輔助線并熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．如圖，AE、BF、DC是直線，B在直線AC上，E在直線DF上，∠1=∠2，∠A=∠F.求證：∠C=∠D．證明：因?yàn)椤?=∠2（已知），∠1=∠3（ ）得∠2=∠3（ ）所以AE//_______( ) 得∠4=∠F（ ）因?yàn)開_________(已知) 得∠4=∠A所以______//_______( )所以∠C=∠D( )【答案】答案見解析【解析】試題分析：由平行線的判定與性質(zhì)證明即可．試題解析：解：∵∠1=∠2（已知），∠1=∠3（ 對(duì)頂角相等 ） ，∴∠2=∠3（ 等量代換 ）∴AE//BF （同位角相等，兩直線平行）∴∠4=∠F（兩直線平行，同位角相等 ）∵∠A=∠F （已知） ∴∠4=∠A∴DF//AC （內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）∴∠C=∠D （兩直線平行 ，內(nèi)錯(cuò)角相等）已知AB∥CD，點(diǎn)E在AB、CD之間，點(diǎn)P、Q分別在直線AB、CD上,連接PE、EQ.(1)如圖1，過點(diǎn)E作EH∥AB，試探究∠PEQ與∠APE+∠CQE之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(2)如圖2，若點(diǎn)E在CD的下方，PF平分∠BPE，QH平分∠EQD，QH的反向延長(zhǎng)線交PF于點(diǎn)F，當(dāng)∠PEQ=72176。時(shí)，請(qǐng)求出∠PFQ的度數(shù).【答案】（1）∠PEQ=∠APE+∠CQE，理由詳見解析；（2）144176。.【解析】【分析】（1）∠PEQ=∠APE+∠CQE，過點(diǎn)E作EH∥AB，即可得EH∥AB∥CD，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠APE=∠PEH，∠EQC=∠HEQ,由∠PEQ=∠PEH+∠HEQ即可證得結(jié)論；（2）過點(diǎn)E作EM∥CD，設(shè)∠QEM＝α，由平行線的性質(zhì)可得∠DQE＝180176。－α，再由角平分線的定義可得∠DQH＝90176。－α；由EM∥CD，AB∥CD，可得AB∥EM，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠BPE＝108176。－α，由PF平分∠BPE可得∠BPF＝∠BPE＝54176。－α；作NF∥AB，類比（1）的方法可得∠PFQ＝∠BPF＋∠DQF＝54176。－α+90176。＋α=144176。.【詳解】(1) ∠PEQ=∠APE+∠CQE，理由如下：如圖1，過點(diǎn)E作EH∥AB，∵AB∥CD，∴EH∥AB∥CD，∴∠APE=∠PEH，∠EQC=∠HEQ,而∠PEQ=∠PEH+∠HEQ.∴∠PEQ=∠APE+∠CQE；（2）過點(diǎn)E作EM∥CD，如圖，設(shè)∠QEM＝α，∴∠DQE＝180176。－α，∵QH平分∠DQE，∴∠DQH＝∠DQE＝90176。－α，∴∠FQD＝180176。－∠DQH＝90176。＋α， ∵EM∥CD，AB∥CD，∴AB∥EM，∴∠BPE＝180176。－∠PEM＝180176。－（72176。＋α）＝108176。－α，∵PF平分∠BPE ∴∠BPF＝∠BPE＝54176。－α，作NF∥AB，由（1）的方法可得，∠PFQ＝∠BPF＋∠DQF＝54176。－α+90176。＋α=144176。.【點(diǎn)睛】本題考查了平行線性質(zhì)的應(yīng)用，正確作輔助線，熟練運(yùn)用平行線的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．閱讀下面的材料，根據(jù)要求寫作。每年高考過后，都有不少“學(xué)霸筆記”在市面上熱銷。有商家坦言：“前來購買筆記的主要是家長(zhǎng)，孩子們自己基本不買，也不怎么認(rèn)真去看?！庇锌既肭迦A大學(xué)、北京大學(xué)等名校的學(xué)生表示，高考成績(jī)揭曉后，馬上就有多名商家前來聯(lián)系，試圖購買其筆記。而許多高中教師則說，類似的“學(xué)霸筆記”可能只會(huì)起到心理安慰的作用。以上材料引發(fā)了你怎樣的聯(lián)想和思考？請(qǐng)寫一篇文章，體現(xiàn)你的思考和認(rèn)識(shí)。要求：立意自定，標(biāo)題自擬，文體自選（詩歌除外）；不要套作，不得抄襲，不得泄露個(gè)人信息；不少于800字?！敬鸢浮空覝?zhǔn)人生的坐標(biāo)尊敬的各位家長(zhǎng)朋友，親愛的19屆同學(xué)以及學(xué)弟學(xué)妹們：你們好！今天，在二模的考場(chǎng)里，作為眾多考生中的普通一員，我身上既沒有“學(xué)霸”和“狀元”的光環(huán)，也無法分享特別系統(tǒng)完整的備考筆記；我只是結(jié)合我自身的高三復(fù)習(xí)經(jīng)歷，來談?wù)勎覍?duì)當(dāng)前市面上流行的“學(xué)霸筆記”的些許思考。在我看來，盲目崇拜“學(xué)霸”不可取，找準(zhǔn)自己的人生目標(biāo)更重要。 不可否認(rèn)，“學(xué)霸”能夠在千萬考生中脫穎而出，成為“學(xué)霸”，必然有他們的過人之處，這當(dāng)中也會(huì)有值得學(xué)習(xí)的經(jīng)驗(yàn)。然而，當(dāng)作為家長(zhǎng)的你在為拿到一份“學(xué)霸”筆記而沾沾自喜時(shí)，當(dāng)作為考生的你在因?yàn)橥瑢W(xué)擁有一份“學(xué)霸”筆記而心生羨慕時(shí)，你是否想過，這樣的筆記真的就具有那么神奇的魔力嗎？在我看來，“學(xué)霸”筆記固然有其價(jià)值，然而決不能夸大其價(jià)值，更不必對(duì)其頂禮膜拜。最重要的還是要找到自己獨(dú)特的復(fù)習(xí)思路和方法。適合自己的，才是最好的?！皩W(xué)霸”筆記受到一些商家和家長(zhǎng)的追捧，某種程度上反映了我們這個(gè)社會(huì)對(duì)于考試的焦慮以及急功近利思想。如同有人沉醉于“一夜暴富”一樣，或許也有人還懷著僥幸的心態(tài)，希望通過幾本“學(xué)霸筆記”而成為“學(xué)霸”，從此圓夢(mèng)清北，走上人生的巔峰……殊不知，教育自有其規(guī)律。俗話說，“一口吃不成一個(gè)胖子”，成績(jī)的取得不可能一蹴而就，而是來源于一步一個(gè)腳印的踏實(shí)進(jìn)取。所謂筆記就是整理的重點(diǎn)知識(shí)，所謂“學(xué)霸筆記”就是學(xué)習(xí)成績(jī)非常優(yōu)異的同學(xué)整理的重點(diǎn)知識(shí)。很多情況下，這些成績(jī)優(yōu)異的同學(xué)整理的筆記，對(duì)于大部分普通同學(xué)來講，卻并不那么有用。因?yàn)閷?duì)