福建省20xx屆高中畢業(yè)班數(shù)學(xué)學(xué)科二輪備考關(guān)鍵問題指導(dǎo)系列三(三角函數(shù)存在問題及應(yīng)對(duì)策略)(編輯修改稿)
2025-04-03 03:56 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 盾，所以問題中的三角形不存在．【評(píng)析】本題以結(jié)構(gòu)不良試題形式考察解三角形，從命題思路上看，重點(diǎn)對(duì)正弦定理和余弦定理的識(shí)記和簡(jiǎn)單應(yīng)用，考查學(xué)生分析問題和解決問題的能力．這類求解題目中往往還綜合了三角恒等變換、邊角互化和代換消元等化歸與轉(zhuǎn)化思想和函數(shù)思想，綜合性強(qiáng)、命題設(shè)置新穎靈活．本題解題關(guān)鍵在于從入手，利用正弦定理化角為邊，結(jié)合選擇的條件，用余弦定理解出三角形.本題易錯(cuò)的主要原因：其一，中，對(duì)邊角互換關(guān)系不清楚，從而無(wú)法解決問題；本題的另一個(gè)易錯(cuò)點(diǎn)是選擇條件③的學(xué)生，解出，但不會(huì)找矛盾，導(dǎo)致解題不完整.（六）知識(shí)交匯不順暢本專題的知識(shí)內(nèi)容較多，高考對(duì)本專題的考查常常將眾多知識(shí)進(jìn)行交匯．如在誘導(dǎo)公式和同角三角函數(shù)關(guān)系的考查中，常與三角函數(shù)式求值、化簡(jiǎn)，和差公式及倍角公式等綜合進(jìn)行，容易產(chǎn)生錯(cuò)誤；在研究函數(shù)問題時(shí)，不僅關(guān)注解析式及其圖象，還關(guān)注周期性、對(duì)稱性、單調(diào)性及最值等，綜合度較大，要求較高，學(xué)生常因考慮不周而失分．不僅如此，高考對(duì)本專題的考查，還常將三角函數(shù)與指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)等進(jìn)行交匯，考查函數(shù)的相關(guān)問題，綜合性強(qiáng)，學(xué)生不容易得分． 【例6】（2021年“八省聯(lián)考”22）已知函數(shù).（1）證明：當(dāng)時(shí)，；（2）若,求.【解析】證明：（1）,（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，故；（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，而，故；（Ⅲ）當(dāng)時(shí)，；（Ⅳ）當(dāng)時(shí)，.設(shè),則當(dāng)，,故單調(diào)遞增，,所以.（2）設(shè)，則,由（1）知，當(dāng)時(shí)，,在單調(diào)遞增, .（Ⅰ）若,故存在唯一,，,單調(diào)遞減，而,故；（Ⅱ）若,故存在唯一，使得,當(dāng)時(shí)，,單調(diào)遞增，而,故；（Ⅲ）若,。（Ⅳ）若,單調(diào)遞增，.當(dāng)時(shí), ,。當(dāng)時(shí), ,。當(dāng)時(shí), ,故.綜上, .【評(píng)析】本題的兩問難度較大，考察三角函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、證明不等式恒成立問題，構(gòu)造函數(shù)、分類討論單調(diào)區(qū)間、極值點(diǎn)和零點(diǎn)的概念，充分體現(xiàn)了在知識(shí)交匯處命題的意圖．同時(shí)，對(duì)知識(shí)的考查注重理解和應(yīng)用，體現(xiàn)了新課程理念，也重點(diǎn)考查了學(xué)生的學(xué)科素養(yǎng)．本題解題關(guān)鍵在于求出導(dǎo)函數(shù)，從討論的區(qū)間入手，判斷的符號(hào)，結(jié)合三角函數(shù)的有界性和不等式放縮求出的范圍，進(jìn)而分類討論參數(shù)，求出的值.本題易錯(cuò)的主要原因：其一，運(yùn)算不過關(guān)．具體表現(xiàn)在導(dǎo)數(shù)公式記憶出錯(cuò)、求導(dǎo)法則應(yīng)用出錯(cuò)等，導(dǎo)致后面求解出現(xiàn)錯(cuò)誤，從而無(wú)法解決問題；本題的另一個(gè)易錯(cuò)點(diǎn)是解題嚴(yán)謹(jǐn)性欠缺,對(duì)函數(shù)單調(diào)性的分類討論不全面，從導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)到函數(shù)的增減性分析不完整；數(shù)學(xué)思想方法掌握不到位．在第（2）問中，無(wú)法找到對(duì)參數(shù)討論的分界點(diǎn)、不會(huì)對(duì)參數(shù)進(jìn)行討論，導(dǎo)致錯(cuò)誤.二、解決問題的思考與對(duì)策（一）重溫概念的來(lái)龍去脈，理清知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，切實(shí)掌握三角函數(shù)的概念與性質(zhì)高考對(duì)三角函數(shù)的考查，尤其是選擇題、填空題對(duì)三角函數(shù)的考查，往往以三角函數(shù)的定義、誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)關(guān)系式、和差倍角公式等作為出發(fā)點(diǎn)，考查三角函數(shù)的求值問題；以三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)為載體，考查三角函數(shù)的解析式、周期性、單調(diào)性、對(duì)稱性、最值等．復(fù)習(xí)過程中，要關(guān)注三角函數(shù)的定義，以此為基礎(chǔ)掌握同角公式、誘導(dǎo)公式、和差倍角公式；要關(guān)注正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)的圖象的重要性，它們都是重要的解題輔助工具；要關(guān)注思想方法的滲透，特別是化歸與轉(zhuǎn)化思想，它是三角恒等變形的主導(dǎo)思想．【例7】（2020年北京卷14）若函數(shù)的最大值為2，則常數(shù)的一個(gè)取值為 ．【解析】解法1： ,其中,.由已知的最大值為2,所以 ,即,解得.解法2：因?yàn)?當(dāng)且僅當(dāng),且時(shí)，函數(shù)的最大值為2,故,即可取.【評(píng)析】本題是開放性問題，主要考察兩角和的正弦公式，輔助角公式的應(yīng)用以及平方關(guān)系的應(yīng)用，考察考生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力。本題的解題關(guān)鍵在于從三角函數(shù)輔助角公式入手來(lái)求解，符合形式都正確.本題易錯(cuò)的主要原因：其一，學(xué)生忽略了是常數(shù)這個(gè)條件，從而沒有應(yīng)用輔助角公式解決問題；本題的另一個(gè)易錯(cuò)點(diǎn)對(duì)振幅理解不到位，導(dǎo)致無(wú)法解出.（二）強(qiáng)化學(xué)生三角函數(shù)公式的記憶，關(guān)注公式的正用、逆用與公式的變形，提高學(xué)生三角函數(shù)求值和三角恒等變換問題的解題能力．理清三角函數(shù)求值的常見類型，特別是給角求值、給值求值問題．給角求值的關(guān)鍵是正確地選用公式，以便把非特殊角的三角函數(shù)相消，從而化為特殊角的三角函數(shù)；給值求值的關(guān)鍵是找出已知式與待求式之間的聯(lián)系及函數(shù)的差異，
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