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正文內(nèi)容

小學(xué)數(shù)學(xué)競賽:統(tǒng)籌規(guī)劃教師版解題技巧-培優(yōu)-易錯-難(編輯修改稿)

2025-04-02 01:22 本頁面
 

【文章內(nèi)容簡介】 ”的原則,雖然A點40人比C點20人多,但是人最多的點是E點,所以大方向是向E點的方向靠攏.那么B點當(dāng)然也要向C點靠攏.、E又變成小勢力了,因此還是“小往大處靠”的原則,看大方向,..說明:對于集中貨物的問題,涉及到了重量,而集中到何處起決定作用的是貨物的重量,而至于距離,僅僅只是為了計算所以對于這類問題老師要強調(diào)“小往大處靠”的原則.板塊三、合理布線和調(diào)運【例 12】 新建的自來水廠要給沿公路的十個村莊供應(yīng)自來水(如下圖,距離單位為千米),要安裝水管有粗細兩種選擇,粗管足夠供應(yīng)所有村莊使用,細管只能供一個村用水,粗管每千米要用8000元,細管每千米要2000元,如果粗細管適當(dāng)搭配,互相連接,可以降低費用,怎樣安排才能使這項工程費用最低?費用是多少元? 【考點】統(tǒng)籌規(guī)劃 【難度】3星 【題型】解答【解析】 由于細管相對于粗管來講,價錢要少一些,因此先假設(shè)都用細管.那么從自來水廠到J村要鋪設(shè)10根細管,自來水廠到I村要鋪設(shè)9根細管,依次下去,我們用圖表示鋪細管的情況.因為粗管是細管價格的4倍,如果用細管代替粗管重疊數(shù)超過4條費用更大,僅在3條或3條以下才會節(jié)約,而細管只能供應(yīng)一村用水,所以粗管從水廠一直接到G村為止,再用三條細管連接H、I、J三個村,這樣費用最低,總費用: (元).【答案】元【例 13】 有十個村莊,座落在從縣城出發(fā)的一條公路上,現(xiàn)要安裝水管,從縣城供各村自來水.可以用粗、細兩種水管,粗管每千米7000元,細管每千米2000元.粗管足夠供應(yīng)所有各村用水,細管只能供應(yīng)一個村用水,各村與縣城間距離如右圖所示(圖中單位是千米),現(xiàn)要求按最節(jié)約的方法鋪設(shè),總費用是多少?【考點】統(tǒng)籌規(guī)劃 【難度】3星 【題型】解答【關(guān)鍵詞】奧數(shù)網(wǎng)習(xí)題庫【解析】 由于細管相對于粗管來講,價錢要少一些,因此先假設(shè)都用細管.那么從縣城到村要鋪設(shè)10根細管,村到村要鋪設(shè)9根細管,依次下去,我們用圖表示鋪細管的情況.因為粗管每千米7000元,細管每千米2000元,所以4根細管的價錢將大于1根粗管的價錢.這樣一來,凡是超過3根細管的路段,都應(yīng)改鋪粗管.因此,從縣城到村鋪1根粗管,村到村鋪3根細管,村到村鋪2根細管,村到村鋪1根細管.總費用為:(元).【答案】元【例 14】 北京、洛陽分別有11臺和5臺完全相同的機器,準(zhǔn)備給杭州7臺、西安9臺,每臺機器的運費如右表,如何調(diào)運能使總運費最?。俊究键c】統(tǒng)籌規(guī)劃 【難度】3星 【題型】解答【解析】 方法一:由表中看出,北京到杭州的運費比到西安便宜,而洛陽正相反,到西安的運費比到杭州便宜.所以,北京的機器應(yīng)盡量運往杭州,洛陽的機器應(yīng)盡量運往西安.最佳的調(diào)運方案為:北京發(fā)往杭州7臺,發(fā)往西安4臺,洛陽發(fā)往西安5臺.總運費為(元).方法二:本題也可以采用下面的代數(shù)方法解決,設(shè)北京調(diào)運杭州x臺,調(diào)運西安 ()臺,則洛陽應(yīng)調(diào)運杭州()臺,調(diào)運西安(臺),總運費 ,因為要使總運費最小,需要300x最大.由于x是北京調(diào)運杭州的臺數(shù),且,所以當(dāng)時,總運費(元)最?。煽芍本┱{(diào)運杭州7臺,調(diào)運西安4臺,洛陽調(diào)運杭州0臺,調(diào)運西安5臺.【答案】北京調(diào)運杭州7臺,調(diào)運西安4臺,洛陽調(diào)運杭州0臺,調(diào)運西安5臺【鞏固】 北京、上海分別有10臺和6臺完全相同的機器,準(zhǔn)備給武漢11臺,西安5臺,每臺機器的運費如右表,如何調(diào)運能使總運費最???【考點】統(tǒng)籌規(guī)劃 【難度】3星 【題型】解答【解析】 與例題不同的是,北京、上海到西安的運費都比到武漢的高,沒有出現(xiàn)一高一低的情況.此時,可以通過比較運輸中的差價大小來決定最佳方案.⑴ 上表中第一行的差價為(元),第二行的差價為(元).說明從北京給西安多發(fā)1臺機器要多付運費100元,而從上海給西安多發(fā)1臺機器要多付運費300元.所以應(yīng)盡量把北京的產(chǎn)品運往西安,而西安只要5臺,于是可知北京調(diào)往西安5臺,其余5臺調(diào)往武漢,上海6臺全部調(diào)往武漢,總運費為:(元).⑵ 如果改為看表中的列,那么由于第一列的差價為(元),第二列差價為(元),所以武漢需要的機器應(yīng)盡量從上海調(diào)運,而上海只有6臺,不足的部分由北京調(diào)運.這個結(jié)論同前面得到的相同.【答案】北京調(diào)往西安5臺,其余5臺調(diào)往武漢,上海6臺全部調(diào)往武漢【例 15】 北京和上海同時制成了電子計算機若干臺,除了供應(yīng)本地外,北京可以支援外地10臺,上??梢灾С滞獾?臺.現(xiàn)決定給重慶8臺,漢口6臺,若每臺計算機的運費如右表,上海和北京制造的機器完全相同,應(yīng)該怎樣調(diào)運,才能使總的運費最???最省的運費是多少?【考點】統(tǒng)籌規(guī)劃 【難度】3星 【題型】解答【解析】 方法一:本題中雖然上海到漢口的運費最少,只有3百元,但是上海到漢口比北京到漢口只節(jié)省()1百元,相比之下,上海到重慶比北京到重慶要節(jié)省()3百元.所以重慶所需臺數(shù)應(yīng)由上海盡量滿足,即上海的4臺全部調(diào)運重慶,北京再補給重慶4臺,漢口的6臺從北京調(diào)運.總運費為:(百元)方法二:本題也可以采用下面的代數(shù)方法解決,設(shè)北京調(diào)運漢口x臺,調(diào)運重慶()臺,則上海應(yīng)調(diào)運漢口()臺,調(diào)運重慶(臺),總運費 ,因為要使總運費最小,需要2x最大.由于x是北京調(diào)運漢口的臺數(shù),且,所以當(dāng)時,總運費(百元)最?。煽芍本┱{(diào)運漢口6臺,調(diào)運重慶4臺,上海調(diào)運漢口0臺,調(diào)運重慶4臺.【答案】北京調(diào)運漢口6臺,調(diào)運重慶4臺,上海調(diào)運漢口0臺,調(diào)運重慶4臺. 百元【例 16】 北倉庫有貨物35噸,南倉庫有貨物25噸,需要運到甲、乙、丙三個工廠中去.其中甲工廠需要28噸,乙工廠需要12噸,丙工廠需要20噸.兩個倉庫與各工廠之間的距離如圖所示(單位:公里).已知運輸每噸貨物1公里的費用是1元,那么將貨物按要求運入各工廠的最小費用是多少元?【考點】統(tǒng)籌規(guī)劃 【難度】2星 【題型】解答【解析】 通過分析將題目給的圖形先轉(zhuǎn)化為下圖⑴,我們?nèi)钥梢酝ㄟ^差價的大小來決定最佳方案.觀察上表各列兩數(shù)之差,最大的是第三列,因此北倉庫的貨物盡可能的供應(yīng)丙工廠,即北倉庫供應(yīng)丙20噸.在剩下的兩列中,第一列的差大于第二列的差,所以南倉庫的貨物盡可能的供應(yīng)甲工廠,即南倉庫供應(yīng)甲25噸.因為南倉庫貨物分配完,其余的甲需要的(噸)由北倉庫供應(yīng),即北倉庫供給丙后剩下的15噸貨物3噸給甲(噸)給乙,相應(yīng)的運費為:(元).⑴ ⑵【答案】元【例 17】 A、B兩個糧店分別有70噸和60噸大米,甲、乙、丙三個居民點分別需要30噸、40噸和50噸大米.從A,B兩糧店每運1噸大米到三個居民點的運費如右圖所示:如何調(diào)運才能使運費最少?【考點】統(tǒng)籌規(guī)劃 【難度】2星 【題型】解答【解析】 A,B糧店共有大米 (噸),甲、乙、丙三個居民點需要大米(噸),供應(yīng)量與需求量不相等,但是我們?nèi)钥梢酝ㄟ^差價的大小來決定最佳方案.觀察上表各列兩數(shù)之差,最大的是第二列,因此A糧店的大米應(yīng)盡可能多地供應(yīng)乙,即A供應(yīng)乙40噸.在剩下的兩列中,第三列的差大于第一列的差,所以A糧店剩下的30噸應(yīng)全部供應(yīng)丙.因為A糧店的的大米已分配完,其余的由B糧店供應(yīng),即B供應(yīng)甲30噸,供應(yīng)丙20噸,調(diào)運方案如右表,相應(yīng)的運費為:(元).【答案】元【例 18】 40名學(xué)生參加義務(wù)植樹活動,任務(wù)是:挖樹坑,運樹苗。這40名學(xué)生可分為甲、乙、丙三類,每類學(xué)生的勞動效率如右表所示。如果他們的任務(wù)是:挖樹坑30個,運樹苗不限,那么應(yīng)如何安排人員才能既完成挖樹坑的任務(wù),又使樹苗運得最多?【考點】統(tǒng)籌規(guī)劃 【難度】2星 【題型】解答【關(guān)鍵詞】希望杯,五年級,二試,第19題【解析】 方法一:這三類學(xué)生挖樹坑的相對效率是甲類: ,;乙類: 丙類: 。 由上可知,乙類學(xué)生挖樹坑的相對效率最高,其次是丙類學(xué)生,故應(yīng)先安排乙類學(xué)生挖樹坑,15=18(個),再安排丙類學(xué)生挖樹坑,10=8(個),還差30188=4(個)樹坑,由兩名甲類學(xué)生丟挖,這樣就能完成挖樹坑的任務(wù),其余13名甲類學(xué)生運樹苗,可以運 1320=260(棵)。 方法二:設(shè)甲、乙、丙三類學(xué)生中挖樹坑的分別有x人、y人、z人,其中0≤x≤15,0≤y≤15,0≤z≤10,則甲、乙、丙三類學(xué)生中運樹苗的分別有(15x)人、(15y)人、(10z)人。要完成挖樹坑的任務(wù),應(yīng)有2x++=30,即20x≥30012y8z,在完成挖樹坑任務(wù)的同時,運樹苗的數(shù)量為P=20(15x)+10(15y)+7(102)=52020xlOy7z將式子整理解得p=520300+12y+8zlOy7z=220+2y+z。當(dāng)y=15,z=10時,P有最大值,=220+215+10=260(棵)。將y=15,z=lO代入①,解得x=2,符合題意。因此,當(dāng)甲、乙、丙三類學(xué)生中挖樹坑的分別有2人、15人、10人時,可完成挖樹坑的任務(wù),且使樹苗運得最多,最多為260棵。【答案】當(dāng)甲、乙、丙三類學(xué)生中挖樹坑的分別有2人、15人、10人時,可完成挖樹坑的任務(wù),且使樹苗運得最多,最多為260棵【例 19】 一支勘探隊在五個山頭A、B、C、D、E設(shè)立了基地,如何調(diào)動最方便?(調(diào)動時不考慮路程遠近) 【考點】統(tǒng)籌規(guī)劃 【難度】3星 【題型】解答【解析】 在人員調(diào)運時不考慮路程遠近的因素,就只需避免兩個基地之間相互調(diào)整,即“避免對流現(xiàn)象”。五個基地人員總數(shù)為17+4+16+14+9=60(人)依題意,調(diào)整后每個基地應(yīng)各有60247。5=12(人)。因此,需要從多于12人的基地A、C、D向不足12人的基地B、經(jīng)試驗容易得到調(diào)整方案如下:先從D調(diào)2人到E,這樣E尚缺1人;再由A調(diào)1人給E,A尚多余4人,C也多余4人,總共8人全部調(diào)到B,則B亦符合要求。圖代替調(diào)運方案,能直觀地看出調(diào)運狀況及有無對流現(xiàn)象,又可避免列表和計算的麻煩,圖中箭頭表示流向,箭桿上的數(shù)字表示流量?!敬鸢浮肯葟腄調(diào)2人到E,這樣E尚缺1人;再由A調(diào)1人給E,A尚多余4人,C也多余4人,總共8人全部調(diào)到B【例 20】 下圖是一個交通示意圖,、是產(chǎn)地(用●表示,旁邊的數(shù)字表示產(chǎn)量,單位:噸),、是銷地(用○表示,旁邊的數(shù)字表示銷量,單位:噸),線段旁邊有括號的數(shù)字表示兩地每噸貨物的運價,單位:百元(例如與兩地,由到或由由到每噸貨物運價元).將產(chǎn)品由產(chǎn)地全部運往銷地,怎樣調(diào)運使運價最小?最小運價是多少?【考點】統(tǒng)籌規(guī)劃 【難度】2星 【題型】解答【解析】 為了運價最小,圖中可以直接看出地的5噸貨物,必然要運往,這個時候還差 (噸).一定需要從運4噸.之后剩下噸.之后分兩種情況.如果的4噸全部運往,之后把中的1噸運往,5噸運往.總共需要運費為(百元)(元);如果的4噸全部運往,之后中的1噸運往,5噸運往,總共需要運費為(百元)(元).【答案】元板塊四、其他最優(yōu)化問題【例 21】 用10尺長的竹竿做原材料,來截取3尺、4尺長的甲、乙兩種短竹竿各100根,至少要用去原材料幾根?怎么截法最合算?  【考點】統(tǒng)籌規(guī)劃 【難度】2星 【題型】解答【解析】 分析 不難想到有三種截法省料:截法1:截成3尺、3尺、4尺三段,無殘料;截法2:截成3尺、3尺、3尺三段,殘料1尺;截法3:截成4尺、4尺兩段,殘料2尺。由于截法1最理想(無殘料),可以截成100根3尺長的短竹竿,而4尺長的僅有50根,截原材料25根,可以得到4尺長的短竹竿50根,留下殘料225=50(尺)?!敬鸢浮扛眷柟獭?189米長的鋼筋要剪成4米或7米兩種尺寸,如何剪法最省材料?【考點】統(tǒng)籌規(guī)劃 【難度】3星 【題型】解答【解析】 。解:設(shè)4米長的剪x根,7米長的剪y根,依題意列方程4x+7y=189。根據(jù)倍數(shù)分析法可知7|x(即x是7的倍數(shù))。令x1=0,則7y=189,解出y1=27;x2=7,則7y=161,解出y2=23;x3=14,則7y=133,解出y3=19;x4=21,則7y=105,解出y4=15;x5=28,則7y=77,解出y5=11;x6=35,則7y=49,解出y6=7;x7=42,則7y=21,解出y7=3。因此,有七種剪法都是最省材料的?!敬鸢浮坑衅叻N最優(yōu)剪發(fā),見解析【例 22】 山區(qū)有一個工廠.它的十個車間分散在一條環(huán)行的鐵道上.四列貨車在鐵道上轉(zhuǎn)圈運送貨物。貨車到了某一車間,就要有裝卸工人裝上或卸下貨物.各車間由于工作 量不同,所需裝卸工人數(shù)也不同,各車間所需裝卸工人數(shù)如圖所示。當(dāng)然,裝卸工可以固定在車間等車;也可以坐在貨車上跟車到各車間去干活;也可以一部分裝卸 工固定在車間,另一部分跟車.問怎樣安排跟車人數(shù)和各車間固定人數(shù),才能使裝卸工的總?cè)藬?shù)最少?最少需多少名工人?【考點】統(tǒng)籌規(guī)劃 【難度】3星 【題型】解答【解析】 如跟車人數(shù)為57,則各車間都不用安排人,但這樣在需要人數(shù)少的車間,浪費人力,不行;為此找出各車間人數(shù)的平均數(shù),后再調(diào)整。各車間人數(shù)的平均數(shù)為. ,則需人數(shù)多于43的車間需增加的人數(shù)分別為14,7,5,3,9,此時共需人數(shù)434+14+7+5+3+9=210。若 跟車人數(shù)為46,由于需人數(shù)多于46的有四個車間,貨車上增多的人數(shù)與四個車間減少的人數(shù)一樣。故跟車人數(shù)為46人,需人數(shù)多于46
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