【文章內(nèi)容簡介】 進行推算．問題情境在綜合與實踐課上，老師讓同學們以“兩條平行線AB，CD和一塊含60176。角的直角三角尺EFG(∠EFG＝90176。，∠EGF＝60176。)”為主題開展數(shù)學活動．操作發(fā)現(xiàn)(1)如圖(1)，小明把三角尺的60176。角的頂點G放在CD上，若∠2＝2∠1，求∠1的度數(shù)；(2)如圖(2)，小穎把三角尺的兩個銳角的頂點E、G分別放在AB和CD上，請你探索并說明∠AEF與∠FGC之間的數(shù)量關(guān)系；結(jié)論應用(3)如圖(3)，小亮把三角尺的直角頂點F放在CD上，30176。角的頂點E落在AB上．若∠AEG＝α，則∠CFG等于______(用含α的式子表示)．【答案】(1)∠1＝40176。；(2)∠AEF+∠GFC＝90176。；(3)60176。﹣α．【解析】【分析】（1）依據(jù)AB∥CD，可得∠1=∠EGD，再根據(jù)∠2=2∠1，∠FGE=60176。，即可得出∠EGD（180176。﹣60176。）=40176。，進而得到∠1=40176。；（2）根據(jù)AB∥CD，可得∠AEG+∠CGE=180176。，再根據(jù)∠FEG+∠EGF=90176。，即可得到∠AEF+∠GFC=90176。；（3）根據(jù)AB∥CD，可得∠AEF+∠CFE=180176。，再根據(jù)∠GFE=90176。，∠GEF=30176。，∠AEG=α，即可得到∠GFC=180176。﹣90176。﹣30176。﹣α=60176。﹣α．【詳解】（1）如圖1．∵AB∥CD，∴∠1=∠EGD．又∵∠2=2∠1，∴∠2=2∠EGD．又∵∠FGE=60176。，∴∠EGD（180176。﹣60176。）=40176。，∴∠1=40176。；（2）如圖2．∵AB∥CD，∴∠AEG+∠CGE=180176。，即∠AEF+∠FEG+∠EGF+∠FGC=180176。．又∵∠FEG+∠EGF=90176。，∴∠AEF+∠GFC=90176。；（3）如圖3．∵AB∥CD，∴∠AEF+∠CFE=180176。，即∠AEG+∠FEG+∠EFG+∠GFC=180176。．又∵∠GFE=90176。，∠GEF=30176。，∠AEG=α，∴∠GFC=180176。﹣90176。﹣30176。﹣α=60176。﹣α．故答案為：60176。﹣α．【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)的運用，解決問題的關(guān)鍵是掌握：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補．如下圖，按要求作圖：(1)過點P作直線CD平行于AB．(2)過點P作PE⊥AB，垂足為O.【答案】作圖見解析【解析】分析：利用題中幾何語言畫出對應的幾何圖形．詳解：如圖，CD和點O為所作．點睛：本題考查了作圖復雜作圖：復雜作圖是在五種基本作圖的基礎(chǔ)上進行作圖，一般是結(jié)合了幾何圖形的性質(zhì)和基本作圖方法．解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．（1）問題發(fā)現(xiàn)：如圖①，直線AB∥CD，E是AB與CD之間的一點，連接BE，CE，可以發(fā)現(xiàn)∠B+∠C=∠BEC．請把下面的證明過程補充完整：證明：過點E作EF∥AB，∵AB∥DC（已知），EF∥AB（輔助線的作法），∴EF∥DC（　 　 ）∴∠C=∠CEF．（　 　 ）∵EF∥AB，∴∠B=∠BEF（同理），∴∠B+∠C=　 　 （等式性質(zhì)）即∠B+∠C=∠BEC．（2）拓展探究：如果點E運動到圖②所示的位置，其他條件不變，求證：∠B+∠C=360176。﹣∠BEC．（3）解決問題：如圖③，AB∥DC，試寫出∠A、∠C、∠AEC的數(shù)量關(guān)系　 　 ．（直接寫出結(jié)論，不用寫計算過程）【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）∠C+∠AEC∠A=180.【解析】【分析】（1）過點E作EF∥AB，根據(jù)平行線的判定得出AB∥CD∥EF，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出即可；（2）過點E作EF∥AB，根據(jù)平行線的判定得出AB∥CD∥EF，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出即可；（3）過點E作EF∥AB，根據(jù)平行線的判定得出AB∥CD∥EF，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出即可．【詳解】（1）證明：如圖①，過點E作EF∥AB，∵AB∥DC（已知），EF∥AB（輔助線的作法），∴EF∥DC（平行于同一直線的兩直線平行），∴∠C=∠CEF．（兩直線平行，內(nèi)錯角相等），∵EF∥AB，∴∠B=∠BEF（同理），∴∠B+∠C=∠BEF+∠CEF（等量代換）即∠B+∠C=∠BEC，故答案為：平行于同一直線的兩直線平行，兩直線平行，內(nèi)錯角相等，∠BEF+∠CEF；（2）證明：如圖②，過點E作EF∥AB，∵AB∥DC（已知），EF∥AB（輔助線的作法），∴EF∥DC（平行于同一直線的兩直線平行），∴∠C+∠CEF=180176。，∠B+∠BEF=180176。，∴∠B+∠C+∠AEC=360176。，∴∠B+∠C=360176?！螧EC；（3）解：如圖③，過點E作EF∥AB，∵AB∥DC（已知），EF∥AB（輔助線的作法），∴EF∥DC（平行于同一直線的兩直線平行），∴∠C+∠CEF=180176。，∠A=∠AEF，∴∠CEF=∠ACE－∠AEF，∴∠C+∠AEC∠A=180176。.【點睛】考查了平行線的性質(zhì)和判定的應用，能正確作出輔助線是解此題的關(guān)鍵，注意：①兩直線平行，內(nèi)錯角相等，②兩直線平行，同位角相等，③兩直線平行，同旁內(nèi)角互補．如圖，AB∥CD,分別探索下列四個圖形中∠P、∠A、∠C，發(fā)現(xiàn)有如下三種數(shù)量關(guān)系：∠A+∠C =∠P ；∠P+∠A =∠C ；∠P+∠C =∠A，請你選擇其中的兩種數(shù)量關(guān)系說明理由.(1)我選擇的是圖 ，數(shù)量關(guān)系式是 .理由：(2) 我選擇的是圖 ，數(shù)量關(guān)系式是 .理由：【答案】選圖1，見解析；選圖2，見解析；選圖3，見解析；選圖4，見解析.【解析】【分析】（1）首先過點P作PE∥AB，由AB∥CD，即可得AB∥PE∥CD，然后根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補，即可求得答案；（2）首先過點P作PE∥AB，由AB∥CD，即可得AB∥PE∥CD，然后根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等，即可求得答案；（3）由AB∥CD，根據(jù)兩直線平行，同位角相等，即可求得∠1=∠C，又由三角形外角的性質(zhì)，即可求得答案；（4）由AB∥CD，根據(jù)兩直線平行，同位角相等，即可求得∠1=∠A，又由三角形外角的性質(zhì)，即可求得答案．【詳解】（1）∠A+∠P+∠C=360176。．理由：過點P作PE∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥PE∥CD，∴∠A+∠1=180176。，∠2+∠C=180176。，∴∠A+∠C+∠APC=∠A+∠1+∠2+∠C=360176。．（2）∠P=∠A+∠C．理由：過點P作PE∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥PE∥CD，∴∠1=∠A，∠2=∠C，∴∠APC=∠1+∠2=∠A+∠C．（3）∠C=∠A+∠P．理由：∵AB∥CD，∴∠1=∠C，∵∠1=∠A+∠P，∴∠C=∠A+∠P；（4）∠A=∠C+∠P．理由：∵AB∥CD，∴∠1=∠A，∵∠1=∠C+∠P，∴∠A=∠C+∠P．【點睛】此題考查了平行線的性質(zhì)與三角形外角的性質(zhì)．此題難度不大，解題的關(guān)鍵是注意掌握兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，內(nèi)錯角相等與兩直線平行，同旁內(nèi)角互補定理的應用，注意輔助線的作法．已知：直線 AB∥CD，點 M，N 分別在直線 AB，CD 上，點 E 為平面內(nèi)一點。（1）如圖 1，∠BME，∠E，∠END 的數(shù)量關(guān)系為 ；（直接寫出答案）（2）如圖 2，∠BME=m176。，EF 平分∠MEN，NP 平分∠END，EQ∥NP，求∠FEQ 的度數(shù)．（用含 m 的式子表示）（3）如圖 3，點 G 為 CD 上一點，∠BMN=n∠EMN，∠GEK=n∠GEM，EH∥MN 交 AB 于點 H，探究∠GEK，∠BMN，∠GEH 之間的數(shù)量關(guān)系（用含 n 的式子表示）【答案】（1）∠E＝∠BME＋∠END；（2）m176。；（3）∠GEK＝∠BMN＋n∠GEH【解析】試題分析：（1）過點E作l∥AB，利用平行線的性質(zhì)可得∠1=∠BME，∠2=∠DNE，由∠MEN=∠1+∠2，等量代換可得結(jié)論；（2）利用角平分線的性質(zhì)可得∠NEF＝∠MEN，∠ENP＝∠END，由EQ∥NP，可得∠QEN＝∠ENP＝∠END，由（1）的結(jié)論可得∠MEN=∠BME+∠END，等量代換得出結(jié)論；（3）由已知可得∠EMN＝∠BMN，∠GEM＝∠GEK，由EH∥MN，可得∠HEM＝∠ENM＝∠BMN，因為∠GEH=∠GEM∠HEM，等量代換得出結(jié)論．試題解析：（1）如圖1，過點E作l∥AB，∵AB∥CD，∴l(xiāng)∥AB∥CD，∴∠1=∠BME，∠2=∠DNE，∵∠MEN=∠1+∠2，∴∠E=∠BME+∠END，故答案為：∠E=∠BME+∠END；（2）如圖2，∵EF平分∠MEN，NP平分∠END，∴∠NEF＝∠MEN，∠ENP＝∠END，∵EQ∥NP，∴∠QEN＝∠ENP＝∠END，∵∠MEN=∠BME+∠END，∴∠MEN∠END=∠BME=m176。，∴∠FEQ=∠NEF∠NEQ=∠MEN?∠END= (∠MEN?∠END)=m176。；（3）∠GEK＝∠BMN＋n∠GEH．如圖3，∵∠BMN=n?∠EMN，∠GEK=n?∠GEK，∴∠EMN＝∠BMN，∠GEM＝∠GEK，∵EH∥MN，∴∠HEM＝∠ENM＝∠BMN，∵∠GEH=∠GEM∠HEM=∠GEK?∠BMN，∴n∠GEH=∠GEK∠BMN，即∠GEK＝∠BMN＋n∠