【文章內容簡介】 8．已知AD是△ABC的中線P是線段AD上的一點（不與點A、D重合），連接PB、PC，E、F、G、H分別是AB、AC、PB、PC的中點，AD與EF交于點M；（1）如圖1，當AB＝AC時，求證：四邊形EGHF是矩形；（2）如圖2，當點P與點M重合時，在不添加任何輔助線的條件下，寫出所有與△BPE面積相等的三角形（不包括△BPE本身）．【答案】（1）見解析；（2）△APE、△APF、△CPF、△PGH．【解析】【分析】（1）由三角形中位線定理得出EG∥AP，EF∥BC，EF=BC，GH∥BC，GH=BC，推出EF∥GH，EF=GH，證得四邊形EGHF是平行四邊形，證得EF⊥AP，推出EF⊥EG，即可得出結論；（2）由△APE與△BPE的底AE=BE，又等高，得出S△APE=S△BPE，由△APE與△APF的底EP=FP，又等高，得出S△APE=S△APF，由△APF與△CPF的底AF=CF，又等高，得出S△APF=S△CPF，證得△PGH底邊GH上的高等于△AEF底邊EF上高的一半，推出S△PGH=S△AEF=S△APF，即可得出結果．【詳解】（1）證明：∵E、F、G、H分別是AB、AC、PB、PC的中點，∴EG∥AP，EF∥BC，EF＝BC，GH∥BC，GH＝BC，∴EF∥GH，EF＝GH，∴四邊形EGHF是平行四邊形，∵AB＝AC，∴AD⊥BC，∴EF⊥AP，∵EG∥AP，∴EF⊥EG，∴平行四邊形EGHF是矩形；（2）∵PE是△APB的中線，∴△APE與△BPE的底AE＝BE，又等高，∴S△APE＝S△BPE，∵AP是△AEF的中線，∴△APE與△APF的底EP＝FP，又等高，∴S△APE＝S△APF，∴S△APF＝S△BPE，∵PF是△APC的中線，∴△APF與△CPF的底AF＝CF，又等高，∴S△APF＝S△CPF，∴S△CPF＝S△BPE，∵EF∥GH∥BC，E、F、G、H分別是AB、AC、PB、PC的中點，∴△AEF底邊EF上的高等于△ABC底邊BC上高的一半，△PGH底邊GH上的高等于△PBC底邊BC上高的一半，∴△PGH底邊GH上的高等于△AEF底邊EF上高的一半，∵GH＝EF，∴S△PGH＝S△AEF＝S△APF，綜上所述，與△BPE面積相等的三角形為：△APE、△APF、△CPF、△PGH．【點睛】本題考查了矩形的判定與性質、平行四邊形的判定、三角形中位線定理、平行線的性質、三角形面積的計算等知識，熟練掌握三角形中位線定理是解決問題的關鍵．9．如圖，在正方形ABCD中，E是邊AB上的一動點，點F在邊BC的延長線上，且，連接DE，DF，EF. FH平分交BD于點H.（1）求證：；（2）求證：：（3）過點H作于點M，用等式表示線段AB，HM與EF之間的數量關系，并證明.【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析；（3），證明詳見解析.【解析】【分析】（1）根據正方形性質， 得到.（2）由，平分，,所以.（3）過點作于點，由正方形性質，，所以.由，得.【詳解】（1）證明：∵四邊形是正方形，∴，.∴.∵。∴.∴.∴.∴.（2）證明：∵，∴.∵，∴.∵，平分，∴.∵平分，∴.∵,∴.∴.（3）.證明：過點作于點，如圖，∵正方形中，，∴.∵平分，∴.∵，∴.∴.∵，∴.【點睛】本題考查正方形的性質、勾股定理、角平分線的性質、三角函數，題目難度較大，解題的關鍵是熟練掌握正方形的性質、勾股定理、角平分線的性質、三角函數.10．（1）（問題發(fā)現）如圖1，在Rt△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝90176。，點D為BC的中點，以CD為一邊作正方形CDEF，點E恰好與點A重合，則線段BE與AF的數量關系為　 ?。?）（拓展研究）在（1）的條件下，如果正方形CDEF繞點C旋轉，連接BE，CE，AF，線段BE與AF的數量關系有無變化？請僅就圖2的情形給出證明；（3）（問題發(fā)現）當正方形CDEF旋轉到B，E，F三點共線時候，直接寫出線段AF的長．【答案】（1）BE=AF；（2）無變化；（3）AF的長為﹣1或+1．【解析】試題分析：（1）先利用等腰直角三角形的性質得出AD= ，再得出BE=AB=2，即可得出結論；（2）先利用三角函數得出，同理得出，夾角相等即可得出△ACF∽△BCE，進而得出結論；（3）分兩種情況計算，當點E在線段BF上時，如圖2，先利用勾股定理求出EF=CF=AD=，BF=，即可得出BE=﹣，借助（2）得出的結論，當點E在線段BF的延長線上，同前一種情況一樣即可得出結論．試題解析：（1）在Rt△ABC中，AB=AC=2，根據勾股定理得，BC=AB=2，點D為BC的中點，∴AD=BC=，∵四邊形CDEF是正方形，∴AF=EF=AD=，∵BE=AB=2，∴BE=AF，故答案為BE=AF；（2）無變化；如圖2，在Rt△ABC中，AB=AC=2，∴∠ABC=∠ACB=45176。，∴sin∠ABC=，在正方形CDEF中，∠FEC=∠FED=45176。，在Rt△CEF中，sin∠FEC=，∴，∵∠FCE=∠ACB=45176。，∴∠FCE﹣∠ACE=∠ACB﹣∠ACE，∴∠FCA=∠ECB，∴△ACF∽△BCE，∴ =，∴BE=AF，∴線段BE與AF的數量關系無變化；（3）當點E在線段AF上時，如圖2，由（1）知，CF=EF=CD=，在Rt△BCF中，CF=，BC=2，根據勾股定理得，BF=，∴BE=BF﹣EF=﹣，由（2）知，BE=AF，∴AF=﹣1，當點E在線段BF的延長線上時，如圖3，在Rt△ABC中，AB=AC=2，∴∠ABC=∠ACB=45176。，∴sin∠ABC=，在正方形CDEF中，∠FEC=∠FED=45176。，在Rt△CEF中，sin∠FEC= ，∴ ，∵∠FCE=∠ACB=45176。，∴∠FCB+∠ACB=∠FCB+∠FCE，∴∠FCA=∠ECB，∴△ACF∽△BCE，∴ =，∴BE=AF，由（1）知，CF=EF=CD=，在Rt△BCF中，CF=，BC=2，根據勾股定理得，BF=，∴BE=BF+EF=+，由（2）知，BE=AF，∴AF=+1．即：當正方形CDEF旋轉到B，E，F三點共線時候，線段AF的長為﹣1或+1．11．定義：我們把三角形被一邊中線分成的兩個三角形叫做“友好三角形”．性質：如果兩個三角形是“友好三角形”，那么這兩個三角形的面積相等．理解：如圖①，在△ABC中，CD是AB邊上的中線，那么△ACD和△BCD是“友好三角形”，并且S△ACD=S△BCD．應用：如圖②，在