20xx-20xx中考數(shù)學(xué)備考之平行四邊形壓軸突破訓(xùn)練∶培優(yōu)-易錯-難題篇含答案解析(1)(編輯修改稿)
2025-03-30 22:21 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 短．故△AEF的面積會隨著AE的變化而變化，且當(dāng)AE最短時，正三角形AEF的面積會最小，又S△CEF=S四邊形AECF﹣S△AEF，則△CEF的面積就會最大．由（2）得，S△CEF=S四邊形AECF﹣S△AEF=﹣=．點睛：本題考查了菱形每一條對角線平分一組對角的性質(zhì)，考查了全等三角形的證明和全等三角形對應(yīng)邊相等的性質(zhì)，考查了三角形面積的計算，本題中求證△ABE≌△ACF是解題的關(guān)鍵．7．已知AD是△ABC的中線P是線段AD上的一點（不與點A、D重合），連接PB、PC，E、F、G、H分別是AB、AC、PB、PC的中點，AD與EF交于點M；（1）如圖1，當(dāng)AB＝AC時，求證：四邊形EGHF是矩形；（2）如圖2，當(dāng)點P與點M重合時，在不添加任何輔助線的條件下，寫出所有與△BPE面積相等的三角形（不包括△BPE本身）．【答案】（1）見解析；（2）△APE、△APF、△CPF、△PGH．【解析】【分析】（1）由三角形中位線定理得出EG∥AP，EF∥BC，EF=BC，GH∥BC，GH=BC，推出EF∥GH，EF=GH，證得四邊形EGHF是平行四邊形，證得EF⊥AP，推出EF⊥EG，即可得出結(jié)論；（2）由△APE與△BPE的底AE=BE，又等高，得出S△APE=S△BPE，由△APE與△APF的底EP=FP，又等高，得出S△APE=S△APF，由△APF與△CPF的底AF=CF，又等高，得出S△APF=S△CPF，證得△PGH底邊GH上的高等于△AEF底邊EF上高的一半，推出S△PGH=S△AEF=S△APF，即可得出結(jié)果．【詳解】（1）證明：∵E、F、G、H分別是AB、AC、PB、PC的中點，∴EG∥AP，EF∥BC，EF＝BC，GH∥BC，GH＝BC，∴EF∥GH，EF＝GH，∴四邊形EGHF是平行四邊形，∵AB＝AC，∴AD⊥BC，∴EF⊥AP，∵EG∥AP，∴EF⊥EG，∴平行四邊形EGHF是矩形；（2）∵PE是△APB的中線，∴△APE與△BPE的底AE＝BE，又等高，∴S△APE＝S△BPE，∵AP是△AEF的中線，∴△APE與△APF的底EP＝FP，又等高，∴S△APE＝S△APF，∴S△APF＝S△BPE，∵PF是△APC的中線，∴△APF與△CPF的底AF＝CF，又等高，∴S△APF＝S△CPF，∴S△CPF＝S△BPE，∵EF∥GH∥BC，E、F、G、H分別是AB、AC、PB、PC的中點，∴△AEF底邊EF上的高等于△ABC底邊BC上高的一半，△PGH底邊GH上的高等于△PBC底邊BC上高的一半，∴△PGH底邊GH上的高等于△AEF底邊EF上高的一半，∵GH＝EF，∴S△PGH＝S△AEF＝S△APF，綜上所述，與△BPE面積相等的三角形為：△APE、△APF、△CPF、△PGH．【點睛】本題考查了矩形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定、三角形中位線定理、平行線的性質(zhì)、三角形面積的計算等知識，熟練掌握三角形中位線定理是解決問題的關(guān)鍵．8．如圖①，四邊形是知形，點是線段上一動點(不與重合)，點是線段延長線上一動點，已知與之間的函數(shù)關(guān)系如圖②所示.（1）求圖②中與的函數(shù)表達(dá)式。（2）求證:。（3）是否存在的值，使得是等腰三角形?如果存在，求出的值。如果不存在，說明理由【答案】（1）y＝﹣2x+4（0＜x＜2）；（2）見解析；（3）存在，x＝或或．【解析】【分析】（1）利用待定系數(shù)法可得y與x的函數(shù)表達(dá)式；（2）證明△CDE∽△ADF，得∠ADF＝∠CDE，可得結(jié)論；（3）分三種情況：①若DE＝DG，則∠DGE＝∠DEG，②若DE＝EG，如圖①，作EH∥CD，交AD于H，③若DG＝EG，則∠GDE＝∠GED，分別列方程計算可得結(jié)論．【詳解】（1）設(shè)y＝kx+b，由圖象得：當(dāng)x＝1時，y＝2，當(dāng)x＝0時，y＝4，代入得：，得，∴y＝﹣2x+4（0＜x＜2）；（2）∵BE＝x，BC＝2∴CE＝2﹣x，∴，∴，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠C＝∠DAF＝90176。，∴△CDE∽△ADF，∴∠ADF＝∠CDE，∴∠ADF+∠EDG＝∠CDE+∠EDG＝90176。，∴DE⊥DF；（3）假設(shè)存在x的值，使得△DEG是等腰三角形，①若DE＝DG，則∠DGE＝∠DEG，∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠B＝90176。，∴∠DGE＝∠GEB，∴∠DEG＝∠BEG，在△DEF和△BEF中，∴△DEF≌△BEF（AAS），∴DE＝BE＝x，CE＝2﹣x，∴在Rt△CDE中，由勾股定理得：1+（2﹣x）2＝x2，x＝；②若DE＝EG，如圖①，作EH∥CD，交AD于H，∵AD∥BC，EH∥CD，∴四邊形CDHE是平行四邊形，∴∠C＝90176。，∴四邊形CDHE是矩形，∴EH＝CD＝1，DH＝CE＝2﹣x，EH⊥DG，∴HG＝DH＝2﹣x，∴AG＝2x﹣2，∵EH∥CD，DC∥AB，∴EH∥AF，∴△EHG∽△FAG，∴，∴，∴（舍），③若DG＝EG，則∠GDE＝∠GED，∵AD∥BC，∴∠GDE＝∠DEC，∴∠GED＝∠DEC，∵∠C＝∠EDF＝90176。，∴△CDE∽△DFE，∴，∵△CDE∽△ADF，∴，∴，∴2﹣x＝，x＝，綜上，x＝或或．【點睛】本題是四邊形的綜合題，主要考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，三角形相似和全等的性質(zhì)和判定，矩形和平行四邊形的性質(zhì)和判定，勾股定理和逆定理等知識，運用相似三角形的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．9．已知，點是的角平分線上的任意一點，現(xiàn)有一個直角繞點旋轉(zhuǎn)，兩直角邊，分別與直線，相交于點，點.（1）如圖1，若，猜想線段，之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.（2）如圖2，若點在射線上，且與不垂直，則（1）中的數(shù)量關(guān)系是否仍成立？如成立，請說明理由；如不成立，請寫出線段，之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明.（3）如圖3，若點在射線的反向延長線上，且，請直接寫出線段的長度.【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析；（3）【解析】【分析】（1）先證四邊形為矩形，再證矩形為正方形，由正方形性質(zhì)可得；（2）過點作于點，于點，證四邊形為正方形，再證，可得；（3）根據(jù)，可得.【詳解】解：（1）∵，，∴四邊形為矩形.∵是的角平分線，∴，∴，∴矩形為正方形，∴，.∴.（2）如圖，
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