20xx-20xx青島初三數(shù)學(xué)平行四邊形的專項培優(yōu)-易錯-難題練習(xí)題(編輯修改稿)
2025-03-30 22:32 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 轉(zhuǎn)到ABF的位置，連接DF，則∠FAB=∠CAE.∵∠BAC=90°,∠DAE=45°，∴∠BAD+∠CAE=45°，又∵∠FAB=∠CAE，∴∠FAD=∠DAE=45°，則在△ADF和△ADE中，AD=AD，∠FAD=∠DAE，AF=AE，∴△ADF≌△ADE，∴DF=DE,∠C=∠ABF=45°，∴∠BDF=90°，∴△BDF是直角三角形,∴BD2+BF2=DF2，∴BD2+CE2=DE2.8．如圖1，矩形ABCD中，AB=8，AD=6；點E是對角線BD上一動點，連接CE，作EF⊥CE交AB邊于點F，以CE和EF為鄰邊作矩形CEFG，作其對角線相交于點H．（1）①如圖2，當(dāng)點F與點B重合時，CE= ，CG= ；②如圖3，當(dāng)點E是BD中點時，CE= ，CG= ； （2）在圖1，連接BG，當(dāng)矩形CEFG隨著點E的運動而變化時，猜想△EBG的形狀？并加以證明； （3）在圖1，的值是否會發(fā)生改變？若不變，求出它的值；若改變，說明理由； （4）在圖1，設(shè)DE的長為x，矩形CEFG的面積為S，試求S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出x的取值范圍．【答案】（1）， ，5， ；（2）△EBG是直角三角形，理由詳見解析；（3） ；（4）S=x2﹣x+48（0≤x≤）．【解析】【分析】（1）①利用面積法求出CE，再利用勾股定理求出EF即可；②利用直角三角形斜邊中線定理求出CE，再利用相似三角形的性質(zhì)求出EF即可；（2）根據(jù)直角三角形的判定方法：如果一個三角形一邊上的中線等于這條邊的一半，則這個三角形是直角三角形即可判斷；（3）只要證明△DCE∽△BCG，即可解決問題；（4）利用相似多邊形的性質(zhì)構(gòu)建函數(shù)關(guān)系式即可；【詳解】（1）①如圖2中，在Rt△BAD中，BD==10，∵S△BCD=?CD?BC=?BD?CE，∴CE=．CG=BE=．②如圖3中，過點E作MN⊥AM交AB于N，交CD于M．∵DE=BE，∴CE=BD=5，∵△CME∽△ENF，∴，∴CG=EF=，（2）結(jié)論：△EBG是直角三角形．理由：如圖1中，連接BH．在Rt△BCF中，∵FH=CH，∴BH=FH=CH，∵四邊形EFGC是矩形，∴EH=HG=HF=HC，∴BH=EH=HG，∴△EBG是直角三角形．（3）F如圖1中，∵HE=HC=HG=HB=HF，∴C、E、F、B、G五點共圓，∵EF=CG，∴∠CBG=∠EBF，∵CD∥AB，∴∠EBF=∠CDE，∴∠CBG=∠CDE，∵∠DCB=∠ECG=90176。，∴∠DCE=∠BCG，∴△DCE∽△BCG，∴．（4）由（3）可知：，∴矩形CEFG∽矩形ABCD，∴，∵CE2=（x）2+）2，S矩形ABCD=48，∴S矩形CEFG= [（x）2+（）2].∴矩形CEFG的面積S=x2x+48（0≤x≤）．【點睛】本題考查相似三角形綜合題、矩形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、直角三角形的判定和性質(zhì)、相似多邊形的性質(zhì)和判定等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)知識解決問題，學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造相似三角形或直角三角形解決問題，屬于中考壓軸題．9．如圖1，在長方形紙片ABCD中，AB=mAD，其中m?1，將它沿EF折疊(點E.F分別在邊AB、CD上)，使點B落在AD邊上的點M處，點C落在點N處，MN與CD相交于點P，其中0n?1.(1)如圖2，當(dāng)n=1(即M點與D點重合)，求證：四邊形BEDF為菱形；(2)如圖3，當(dāng)(M為AD的中點)，m的值發(fā)生變化時，求證：EP=AE+DP；(3)如圖1，當(dāng)m=2(即AB=2AD)，n的值發(fā)生變化時，的值是否發(fā)生變化?說明理由.【答案】(1)證明見解析；（2）證明見解析；(3)值不變，理由見解析.【解析】試題分析：（1）由條件可知，當(dāng)n=1（即M點與D點重合），m=2時，AB=2AD，設(shè)AD=a，則AB=2a，由矩形的性質(zhì)可以得出△ADE≌△NDF，就可以得出AE=NF，DE=DF，在Rt△AED中，由勾股定理就可以表示出AE的值，再求出BE的值就可以得出結(jié)論.（2）延長PM交EA延長線于G，由條件可以得出△PDM≌△GAM，△EMP≌△EMG由全等三角形的性質(zhì)就可以得出結(jié)論.（3）如圖1，連接BM交EF于點Q，過點F作FK⊥AB于點K，交BM于點O，通過證明△ABM∽△KFE，就可以得出，即，由AB=2AD=2BC，BK=CF就可以得出的值是為定值．（1）∵四邊形ABCD是矩形，∴AB=CD，AD=BC，∠A=∠B=∠C=∠D=90176。．∵AB=mAD，且n=2，∴AB=2AD．∵∠ADE+∠EDF=90176。，∠EDF+∠NDF=90176。，∴∠ADE=∠NDF．在△ADE和△NDF中，∠A＝∠N，AD＝ND，∠ADE＝∠NDF，∴△ADE≌△NDF（ASA）.∴AE=NF，DE=DF．∵FN=FC，∴AE=FC．∵AB=CD，∴ABAE=CDCF. ∴BE=DF. ∴BE=DE．Rt△AED中，由勾股定理，得，即，∴AE=AD.∴BE=2ADAD=.∴.（2）如圖3，延長PM交EA延長線于G，∴∠GAM=90176。．∵M(jìn)為AD的中點，∴AM=DM．∵四邊形ABCD是矩形，∴AB=CD，AD=BC，∠A=∠B=∠C=∠D=90176。，AB∥CD.∴∠GAM=∠PDM．在△GAM和△PDM中，∠GAM＝∠PDM，AM＝DM，∠AMG＝∠DMP，∴△GAM≌△PDM（ASA）.∴MG=MP.在△EMP和△EMG中，PM＝GM，∠PME＝∠GME，ME＝ME，∴△EMP≌△EMG（SAS）.∴EG=EP.∴AG+AE=EP.∴PD+AE=EP，即EP=AE+DP.（3），值不變，理由如下：如圖1，連接BM交EF于點Q，過點F作FK⊥AB于點K，交BM于點O，∵EM=EB，∠MEF=∠BEF，∴EF⊥MB，即∠FQO=90176。.∵四邊形FKBC是矩形，∴KF=BC，F(xiàn)C=KB.∵∠FKB=90176。，∴∠KBO+∠KOB=90176。.∵∠QOF+∠QFO=90176。，∠QOF=∠KOB，∴∠KBO=∠OFQ.∵∠A=∠EKF=90176。，∴△ABM∽△KFE.∴即.∵AB=2AD=2BC，BK=CF，∴.∴的值不變．考點：；；；；．10．已知邊長為1的正方形ABCD中， P是對角線AC上的一個動點（與點A、C不重合），過點P作PE⊥PB ，PE交射線DC于點E，過點E作EF⊥AC，垂足為點F．（1）當(dāng)點E落在線段CD上時（如圖），①求證：PB=PE；②在點P的運動過程中，PF的長度是否發(fā)生變化？若不變，試求出這個不變的值，若變化，試說明理由；（2）當(dāng)點E落在線段DC的延長線上時，在備用圖上畫出符合要求的大致圖形，并判斷上述（1）中的結(jié)論是否仍然成立（只需寫出結(jié)論，不需要證明）；（3）在點P的運動過程中，△PEC能否為等腰三角形？如果能，試求出AP的長，如果不能，試說明理由．【答案】（1）①證明見解析；②點PP在運動過程中，PF的長度不變，值為；（2
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