【文章內容簡介】 是x軸上的點，點F是y軸上的點，當PE⊥PF時，拋物線上是否存在點Q，使四邊形PEQF是矩形？如果存在，請求出點Q的坐標，如果不存在，請說明理由．【答案】（1）拋物線的解析式為y=x2﹣3x﹣4；（2）證明見解析；（3）點Q的坐標為（﹣2，6）或（2，﹣6）．【解析】【分析】（1）先求得點A的坐標，然后依據拋物線過點A，對稱軸是x=列出關于a、c的方程組求解即可；（2）設P（3a，a），則PC=3a，PB=a，然后再證明∠FPC=∠EPB，最后通過等量代換進行證明即可；（3）設E（a，0），然后用含a的式子表示BE的長，從而可得到CF的長，于是可得到點F的坐標，然后依據中點坐標公式可得到，從而可求得點Q的坐標（用含a的式子表示），最后，將點Q的坐標代入拋物線的解析式求得a的值即可．【詳解】（1）當y=0時，解得x=4，即A（4，0），拋物線過點A，對稱軸是x=，得，解得，拋物線的解析式為y=x2﹣3x﹣4；（2）∵平移直線l經過原點O，得到直線m，∴直線m的解析式為y=x．∵點P是直線1上任意一點，∴設P（3a，a），則PC=3a，PB=a．又∵PE=3PF，∴．∴∠FPC=∠EPB．∵∠CPE+∠EPB=90176。，∴∠FPC+∠CPE=90176。，∴FP⊥PE．（3）如圖所示，點E在點B的左側時，設E（a，0），則BE=6﹣a．∵CF=3BE=18﹣3a，∴OF=20﹣3a．∴F（0，20﹣3a）．∵PEQF為矩形，∴，∴Qx+6=0+a，Qy+2=20﹣3a+0，∴Qx=a﹣6，Qy=18﹣3a．將點Q的坐標代入拋物線的解析式得：18﹣3a=（a﹣6）2﹣3（a﹣6）﹣4，解得：a=4或a=8（舍去）．∴Q（﹣2，6）．如下圖所示：當點E在點B的右側時，設E（a，0），則BE=a﹣6．∵CF=3BE=3a﹣18，∴OF=3a﹣20．∴F（0，20﹣3a）．∵PEQF為矩形，∴，∴Qx+6=0+a，Qy+2=20﹣3a+0，∴Qx=a﹣6，Qy=18﹣3a．將點Q的坐標代入拋物線的解析式得：18﹣3a=（a﹣6）2﹣3（a﹣6）﹣4，解得：a=8或a=4（舍去）．∴Q（2，﹣6）．綜上所述，點Q的坐標為（﹣2，6）或（2，﹣6）．【點睛】本題主要考查的是二次函數的綜合應用，解答本題主要應用了矩形的性質、待定系數法求二次函數的解析式、中點坐標公式，用含a的式子表示點Q的坐標是解題的關鍵．8．如圖，拋物線的圖象過點.（1）求拋物線的解析式；（2）在拋物線的對稱軸上是否存在一點P，使得△PAC的周長最小，若存在，請求出點P的坐標及△PAC的周長；若不存在，請說明理由；（3）在（2）的條件下，在x軸上方的拋物線上是否存在點M（不與C點重合），使得？若存在，請求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】（1）；（2）存在，點，周長為：；（3）存在，點M坐標為【解析】【分析】（1）由于條件給出拋物線與x軸的交點，故可設交點式，把點C代入即求得a的值，減小計算量．（2）由于點A、B關于對稱軸：直線對稱，故有，則，所以當C、P、B在同一直線上時，最小．利用點A、B、C的坐標求AC、CB的長，求直線BC解析式，把代入即求得點P縱坐標．（3）由可得，當兩三角形以PA為底時，高相等，即點C和點M到直線PA距離相等．又因為M在x軸上方，故有．由點A、P坐標求直線AP解析式，即得到直線CM解析式．把直線CM解析式與拋物線解析式聯(lián)立方程組即求得點M坐標．【詳解】解：（1）∵拋物線與x軸交于點 ∴可設交點式 把點代入得：∴拋物線解析式為（2）在拋物線的對稱軸上存在一點P，使得的周長最?。鐖D1，連接PB、BC∵點P在拋物線對稱軸直線上，點A、B關于對稱軸對稱∵當C、P、B在同一直線上時，最小最小設直線BC解析式為把點B代入得：，解得：∴直線BC：∴點使的周長最小，最小值為．（3）存在滿足條件的點M，使得．∵S△PAM＝S△PAC∴當以PA為底時，兩三角形等高∴點C和點M到直線PA距離相等∵M在x軸上方，設直線AP解析式為 解得：∴直線∴直線CM解析式為：解得：（即點C），∴點M坐標為【點睛】考查了待定系數法求二次函數解析式、一次函數解析式，軸對稱的最短路徑問題，勾股定理，平行線間距離處處相等，一元二次方程的解法．其中第（3）題條件給出點M在x軸上方，無需分類討論，解法較常規(guī)而簡單．9．如圖，在平面直角坐標系中，A、B為x軸上兩點，C、D為y軸上的兩點，經過點A、C、B的拋物線的一部分C1與經過點A、D、B的拋物線的一部分C2組合成一條封閉曲線，我們把這條封閉曲線稱為“蛋線”．已知點C的坐標為（0，），點M是拋物線C2：（＜0）的頂點．（1）求A、B兩點的坐標；（2）“蛋線”在第四象限上是否存在一點P，使得△PBC的面積最大？若存在，求出△PBC面積的最大值；若不存在，請說明理由；（3）當△BDM為直角三角形時，求的值．【答案】（1）A（，0）、B（3，0）．（2）存在．S△PBC最大值為 （3）或時，△BDM為直角三角形．【解析】【分析】（1）在中令y=0，即可得到A、B兩點的坐標．（2）先用待定系數法得到拋物線C1的解析式，由S△PBC = S△POC+ S△BOP–S△BOC得到△PBC面積的表達式，根據二次函數最值原理求出最大值．（3）先表示出DM2，BD2，MB2，再分兩種情況：①∠BMD=90176。時；②∠BDM=90176。時，討論即可求得m的值．【詳解】解：（1）令y=0，則，∵m＜0，∴，解得：，．∴A（，0）、B（3，0）．（2）存在．理由如下：∵設拋物線C1的表達式為（），把C（0，）代入可得，．∴Ｃ1的表達式為：，即．設P（p，），∴ S△PBC = S△POC+ S△BOP–S△BOC=．∵0，∴當時,S△PBC最大值為．（3）由C2可知： B（3，0），D（0，），M（1，），∴BD2=，BM2=，DM2=．∵∠MBD90176。, ∴討論∠BMD=90176。和∠BDM=90176。兩種情況：當∠BMD=90176。時，BM2+ DM2= BD2，即＋=，解得：,(舍去)．當∠BDM=90176。時，BD2+ DM2= BM2，即＋=，解得：，(舍去) ．綜上所述，或時，△BDM為直角三角形．10．如圖1，拋物線經過點、兩點，是其頂點，將拋物線繞點旋轉，得到新的拋物線．（1）求拋物線的函數解析式及頂點的坐標；（2）如圖2，直線經過點，是拋物線上的一點，設點的橫坐標為（），連接并延長，交拋物線于點，交直線l于點，求的值；（3）如圖3，在（2）的條件下，連接、在直線下方的拋物線上是否存在點，使得？若存在，求出點的橫