【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 在正方形ADBC中，AD=AC，點(diǎn)M為BC邊上異于B、C的一點(diǎn)，以AM為邊作正方形AMEF，點(diǎn)N為正方形AMEF的中點(diǎn)，連接CN，若BC=10，CN=，試求EF的長(zhǎng)．【答案】（1）NC∥AB；理由見解析；（2）∠ABC=∠ACN；理由見解析；（3）；【解析】分析：（1）根據(jù)△ABC，△AMN為等邊三角形，得到AB=AC，AM=AN且∠BAC=∠MAN=60176。從而得到∠BAC∠CAM=∠MAN∠CAM，即∠BAM=∠CAN，證明△BAM≌△CAN，即可得到BM=CN．（2）根據(jù)△ABC，△AMN為等腰三角形，得到AB：BC=1：1且∠ABC=∠AMN，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到，利用等腰三角形的性質(zhì)得到∠BAC=∠MAN，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；（3）如圖3，連接AB，AN，根據(jù)正方形的性質(zhì)得到∠ABC=∠BAC=45176。，∠MAN=45176。，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出，得到BM=2，CM=8，再根據(jù)勾股定理即可得到答案．詳解：（1）NC∥AB，理由如下：∵△ABC與△MN是等邊三角形，∴AB=AC，AM=AN，∠BAC=∠MAN=60176。，∴∠BAM=∠CAN，在△ABM與△ACN中， ，∴△ABM≌△ACN（SAS），∴∠B=∠ACN=60176。，∵∠ANC+∠ACN+∠CAN=∠ANC+60176。+∠CAN=180176。，∴∠ANC+∠MAN+∠BAM=∠ANC+60176。+∠CAN=∠BAN+∠ANC=180176。，∴CN∥AB； （2）∠ABC=∠ACN，理由如下：∵=1且∠ABC=∠AMN，∴△ABC～△AMN∴，∵AB=BC，∴∠BAC=（180176。﹣∠ABC），∵AM=MN∴∠MAN=（180176。﹣∠AMN），∵∠ABC=∠AMN，∴∠BAC=∠MAN，∴∠BAM=∠CAN，∴△ABM～△ACN，∴∠ABC=∠ACN；（3）如圖3，連接AB，AN，∵四邊形ADBC，AMEF為正方形，∴∠ABC=∠BAC=45176。，∠MAN=45176。，∴∠BAC﹣∠MAC=∠MAN﹣∠MAC即∠BAM=∠CAN，∵，∴，∴△ABM～△ACN∴，∴=cos45176。=，∴，∴BM=2，∴CM=BC﹣BM=8，在Rt△AMC，AM=，∴EF=AM=2．點(diǎn)睛：本題是四邊形綜合題目，考查了正方形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)定理和判定定理、相似三角形的性質(zhì)定理和判定定理等知識(shí)；本題綜合性強(qiáng)，有一定難度，證明三角形全等和三角形相似是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．9．如圖1，若分別以△ABC的AC、BC兩邊為邊向外側(cè)作的四邊形ACDE和BCFG為正方形，則稱這兩個(gè)正方形為外展雙葉正方形．（1）發(fā)現(xiàn)：如圖2，當(dāng)∠C=90176。時(shí)，求證：△ABC與△DCF的面積相等．（2）引申：如果∠C90176。時(shí)，（1）中結(jié)論還成立嗎？若成立，請(qǐng)結(jié)合圖1給出證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）運(yùn)用：如圖3，分別以△ABC的三邊為邊向外側(cè)作的四邊形ACDE、BCFG和ABMN為正方形，則稱這三個(gè)正方形為外展三葉正方形．已知△ABC中，AC=3，BC=4．當(dāng)∠C=_____176。時(shí)，圖中陰影部分的面積和有最大值是________．【答案】（1）證明見解析；（2）成立，證明見解析；（3）18.【解析】試題分析：（1）因?yàn)锳C=DC，∠ACB=∠DCF=90176。，BC=FC，所以△ABC≌△DFC，從而△ABC與△DFC的面積相等；（2）延長(zhǎng)BC到點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)A作AP⊥BP于點(diǎn)P；過(guò)點(diǎn)D作DQ⊥FC于點(diǎn)Q．得到四邊形ACDE，BCFG均為正方形，AC=CD，BC=CF，∠ACP=∠DCQ．所以△APC≌△DQC．于是AP=DQ．又因?yàn)镾△ABC=BC?AP，S△DFC=FC?DQ，所以S△ABC=S△DFC；（3）根據(jù)（2）得圖中陰影部分的面積和是△ABC的面積三倍，若圖中陰影部分的面積和有最大值，則三角形ABC的面積最大，當(dāng)△ABC是直角三角形，即∠C是90度時(shí)，陰影部分的面積和最大．所以S陰影部分面積和=3S△ABC=334=18．（1）證明：在△ABC與△DFC中，∵，∴△ABC≌△DFC．∴△ABC與△DFC的面積相等；（2）解：成立．理由如下：如圖，延長(zhǎng)BC到點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)A作AP⊥BP于點(diǎn)P；過(guò)點(diǎn)D作DQ⊥FC于點(diǎn)Q．∴∠APC=∠DQC=90176。．∵四邊形ACDE，BCFG均為正方形，∴AC=CD，BC=CF，∠ACP+∠PCD=90176。，∠DCQ+∠PCD=90176。，∴∠ACP=∠DCQ．∴，△APC≌△DQC（AAS），∴AP=DQ．又∵S△ABC=BC?AP，S△DFC=FC?DQ，∴S△ABC=S△DFC；（3）解：根據(jù)（2）得圖中陰影部分的面積和是△ABC的面積三倍，若圖中陰影部分的面積和有最大值，則三角形ABC的面積最大，∴當(dāng)△ABC是直角三角形，即∠C是90度時(shí)，陰影部分的面積和最大．∴S陰影部分面積和=3S△ABC=334=18．考點(diǎn)：四邊形綜合題10．小明在矩形紙片上畫正三角形，他的做法是：①對(duì)折矩形紙片ABCD(ABBC)，使AB與DC重合，得到折痕EF，把紙片展平；②沿折痕BG折疊紙片，使點(diǎn)C落在EF上的點(diǎn)P處，再折出PB、PC，最后用筆畫出△PBC(圖1)．（1）求證：圖1中的 PBC是正三角形： （2）如圖2，小明在矩形紙片HIJK上又畫了一個(gè)正三角形IMN，其中IJ=6cm，且HM=JN．①求證：IH=IJ②請(qǐng)求出NJ的長(zhǎng)； （3）小明發(fā)現(xiàn)：在矩形紙片中，若一邊長(zhǎng)為6cm，當(dāng)另一邊的長(zhǎng)度a變化時(shí)，在矩形紙片上總能畫出最大的正三角形，但位置會(huì)有所不同．請(qǐng)根據(jù)小明的發(fā)現(xiàn)，畫出不同情形的示意圖(作圖工具不限，能說(shuō)明問(wèn)題即可)，并直接寫出對(duì)應(yīng)的a的取值范圍．【答案】（1）證明見解析；（2）①證明見解析；②126（3）3＜a＜4，a＞4【解析】分析：（1）由折疊的性質(zhì)和垂直平分線的性質(zhì)得出PB=PC，PB=CB，得出PB=PC=CB即可；（2）①利用“HL”證Rt△IHM≌Rt△IJN即可得；②IJ上取一點(diǎn)Q，使QI=QN，由Rt△IHM≌Rt△IJN知∠HIM=∠JIN=15176。，繼而可得∠NQJ=30176。，設(shè)NJ=x，則IQ=QN=2x、QJ=x，根據(jù)IJ=IQ+QJ求出x即可得；（3）由等邊三角形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、勾股定理進(jìn)行計(jì)算，畫出圖形即可．（1）證明：∵①對(duì)折矩形紙片ABCD(ABBC)，使AB與DC重合，得到折痕EF∴PB=PC∵沿折痕BG折疊紙片，使點(diǎn)C落在EF上的點(diǎn)P處∴PB=BC∴PB=PC=BC∴△PBC是正三角形：（2）證明：①如圖∵矩形AHIJ∴∠H=∠J=90176?！摺鱉NJ是等邊三角形∴MI=NI在Rt△MHI和Rt△JNI中 ∴Rt△MHI≌Rt△JNI（HL）∴HI=IJ②在線段IJ上取點(diǎn)Q，使IQ=NQ∵Rt△IHM≌Rt△IJN，∴∠HIM=∠JIN，∵∠HIJ=90176。、∠MIN=60176。，∴∠HIM=∠JIN=15176。，由QI=QN知∠JIN=∠QNI=15176。，∴∠NQJ=30176。，設(shè)NJ=x，則IQ=QN=2x，QJ=x，∵IJ=6cm，∴2x+x=6，∴x=126，即NJ=126（cm）．（3）分三種情況：①如圖：設(shè)等邊三角形的邊長(zhǎng)為b，則0＜b≤