【文章內(nèi)容簡介】 四邊形ABDF是平行四邊形，再利用有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形即可證明；（2）先利用BD平分∠ABC，得到BD垂直平分線段AC，進而證明△DAC是等腰三角形，根據(jù)BD⊥AC,AF⊥AC，找到角度之間的關(guān)系,證明△DAE是等腰三角形，進而得到BC＝BD＝BA＝AF＝DF，即可解題,見詳解.【詳解】(1)如圖1中，∵∠BCD＝∠BDC，∴BC＝BD，∵△ABC是等邊三角形，∴AB＝BC，∵AB＝AF，∴BD＝AF，∵∠BDC＝∠AEC，∴BD∥AF，∴四邊形ABDF是平行四邊形，∵AB＝AF，∴四邊形ABDF是菱形．(2)解：如圖2中，∵BA＝BC，BD平分∠ABC，∴BD垂直平分線段AC，∴DA＝DC，∴△DAC是等腰三角形，∵AF∥BD，BD⊥AC∴AF⊥AC，∴∠EAC＝90176。，∵∠DAC＝∠DCA，∠DAC+∠DAE＝90176。，∠DCA+∠AEC＝90176。，∴∠DAE＝∠DEA，∴DA＝DE，∴△DAE是等腰三角形，∵BC＝BD＝BA＝AF＝DF，∴△BCD，△ABD，△ADF都是等腰三角形，綜上所述，圖中等腰三角形有△ABC，△BDC，△ABD，△ADF，△ADC，△ADE．【點睛】本題考查菱形的判定，等邊三角形的性質(zhì)，等腰三角形的判定等知識，屬于中考?？碱}型，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．8．在中，BD為AC邊上的中線，過點C作于點E，過點A作BD的平行線，交CE的延長線于點F，在AF的延長線上截取，連接BG，DF．求證：；求證：四邊形BDFG為菱形；若，求四邊形BDFG的周長．【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析（3）8【解析】【分析】利用平行線的性質(zhì)得到，再利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半即可得證，利用平行四邊形的判定定理判定四邊形BDFG為平行四邊形，再利用得結(jié)論即可得證，設(shè)，則，利用菱形的性質(zhì)和勾股定理得到CF、AF和AC之間的關(guān)系，解出x即可．【詳解】證明：，，又為AC的中點，又，證明：，四邊形BDFG為平行四邊形，又，四邊形BDFG為菱形，解：設(shè)，則，在中，解得：，舍去，菱形BDFG的周長為8．【點睛】本題考查了菱形的判定與性質(zhì)直角三角形斜邊上的中線，勾股定理等知識，正確掌握這些定義性質(zhì)及判定并結(jié)合圖形作答是解決本題的關(guān)鍵．9．如圖，在正方形ABCD中，點G在對角線BD上（不與點B，D重合），GE⊥DC于點E，GF⊥BC于點F，連結(jié)AG．（1）寫出線段AG，GE，GF長度之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（2）若正方形ABCD的邊長為1，∠AGF=105176。，求線段BG的長．【答案】（1）AG2=GE2+GF2（2）【解析】試題分析：（1）結(jié)論：AG2=GE2+GF2．只要證明GA=GC，四邊形EGFC是矩形，推出GE=CF，在Rt△GFC中，利用勾股定理即可證明；（2）作BN⊥AG于N，在BN上截取一點M，使得AM=BM．設(shè)AN=x．易證AM=BM=2x，MN=x，在Rt△ABN中，根據(jù)AB2=AN2+BN2，可得1=x2+（2x+x）2，解得x=，推出BN=，再根據(jù)BG=BN247。cos30176。即可解決問題.試題解析：（1）結(jié)論：AG2=GE2+GF2．理由：連接CG．∵四邊形ABCD是正方形，∴A、C關(guān)于對角線BD對稱，∵點G在BD上，∴GA=GC，∵GE⊥DC于點E，GF⊥BC于點F，∴∠GEC=∠ECF=∠CFG=90176。，∴四邊形EGFC是矩形，∴CF=GE，在Rt△GFC中，∵CG2=GF2+CF2，∴AG2=GF2+GE2．（2）作BN⊥AG于N，在BN上截取一點M，使得AM=BM．設(shè)AN=x．∵∠AGF=105176。，∠FBG=∠FGB=∠ABG=45176。，∴∠AGB=60176。，∠GBN=30176。，∠ABM=∠MAB=15176。，∴∠AMN=30176。，∴AM=BM=2x，MN=x，在Rt△ABN中，∵AB2=AN2+BN2，∴1=x2+（2x+x）2，解得x=，∴BN=，∴BG=BN247。cos30176。=．考點：正方形的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，勾股定理，直角三角形30度的性質(zhì)10．（問題發(fā)現(xiàn)）（1）如圖（1）四邊形ABCD中，若AB=AD，CB=CD，則線段BD，AC的位置關(guān)系為　 ??；（拓展探究）（2）如圖（2）在Rt△ABC中，點F為斜邊BC的中點，分別以AB，AC為底邊，在Rt△ABC外部作等腰三角形ABD和等腰三角形ACE，連接FD，F(xiàn)E，分別交AB，AC于點M，N．試猜想四邊形FMAN的形狀，并說明理由；（解決問題）（3）如圖（3）在正方形ABCD中，AB=2，以點A為旋轉(zhuǎn)中心將正方形ABCD旋轉(zhuǎn)60176。，得到正方形AB39。C39。D39。，請直接寫出BD39。平方的值．【答案】（1）AC垂直平分BD；（2）四邊形FMAN是矩形，理由見解析；（3）16+8或16﹣8【解析】【分析】（1）依據(jù)點A在線段BD的垂直平分線上，點C在線段BD的垂直平分線上，即可得出AC垂直平分BD；（2）根據(jù)Rt△ABC中，點F為斜邊BC的中點，可得AF=CF=BF，再根據(jù)等腰三角形ABD 和等腰三角形ACE，即可得到AD=DB，AE=CE，進而得出∠AMF=∠MAN=∠ANF=90176。，即可判定四邊形AMFN是矩形；（3）分兩種情況：①以點A為旋轉(zhuǎn)中心將正方形ABCD逆時針旋轉(zhuǎn)60176。，②以點A為旋轉(zhuǎn)中心將正方形ABCD順時針旋轉(zhuǎn)60176。，分別依據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及勾股定理，即可得到結(jié)論．【詳解】（1）∵AB=AD，CB=CD，∴點A在線段BD的垂直平分線上，點C在線段BD的垂直平分線上，∴AC垂直平分BD，故答案為：AC垂直平分BD；（2）四邊形FMAN是矩形．理由：如圖2，連接AF，∵Rt△ABC中，點F為斜邊BC的中點，∴AF=CF=BF，又∵等腰三角形ABD 和等腰三角形ACE，∴AD=DB，AE=CE，∴由（1）可得，DF⊥AB，EF⊥AC，又∵∠BAC=90176。，∴∠AMF=∠MAN=∠ANF=90176。，∴四邊形AMFN是矩形；（3）BD′的平方為16+8或16﹣8．分兩種情況：①以點A為旋轉(zhuǎn)中心將正方形ABCD逆時針旋轉(zhuǎn)60176。，如圖所示：過D39。作D39。E⊥AB，交BA的延長線于E，由旋轉(zhuǎn)可得，∠DAD39。=60176。，∴∠EAD39。=30176。，∵AB=2=AD39。，∴D39。E=AD39。=，AE=，∴BE=2+，∴Rt△BD39。E中，BD39。2=D39。E2+BE2=（）2+（2+）2=16+8②以點A為旋轉(zhuǎn)中心將正方形ABCD順時針旋轉(zhuǎn)60176。，如圖所示：過B作BF⊥AD39。于F，旋轉(zhuǎn)可得，∠DAD39。=60176。，∴∠BAD39。=30176。，∵AB=2=AD39。，∴BF=AB=，AF=，∴D39。F=2﹣，∴Rt△BD39。F中，BD39。2