【文章內容簡介】 ∴AG＝2x﹣2，∵EH∥CD，DC∥AB，∴EH∥AF，∴△EHG∽△FAG，∴，∴，∴（舍），③若DG＝EG，則∠GDE＝∠GED，∵AD∥BC，∴∠GDE＝∠DEC，∴∠GED＝∠DEC，∵∠C＝∠EDF＝90176。，∴△CDE∽△DFE，∴，∵△CDE∽△ADF，∴，∴，∴2﹣x＝，x＝，綜上，x＝或或．【點睛】本題是四邊形的綜合題，主要考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，三角形相似和全等的性質和判定，矩形和平行四邊形的性質和判定，勾股定理和逆定理等知識，運用相似三角形的性質是解決本題的關鍵．6．如圖1，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于D，分別延長AC至E，BC至F，且CE＝EF，延長FE交AD的延長線于G．（1）求證：AE＝EG；（2）如圖2，分別連接BG，BE，若BG＝BF，求證：BE＝EG；（3）如圖3，取GF的中點M，若AB＝5，求EM的長．【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析（3）【解析】【分析】（1）根據平行線的性質和等腰三角形的三線合一的性質得：∠CAD＝∠G，可得AE＝EG；（2）作輔助線，證明△BEF≌△GEC（SAS），可得結論；（3）如圖3，作輔助線，構建平行線，證明四邊形DMEN是平行四邊形，得EM＝DN＝AC，計算可得結論．【詳解】證明：（1）如圖1，過E作EH⊥CF于H，∵AD⊥BC，∴EH∥AD，∴∠CEH＝∠CAD，∠HEF＝∠G，∵CE＝EF，∴∠CEH＝∠HEF，∴∠CAD＝∠G，∴AE＝EG；（2）如圖2，連接GC，∵AC＝BC，AD⊥BC，∴BD＝CD，∴AG是BC的垂直平分線，∴GC＝GB，∴∠GBF＝∠BCG，∵BG＝BF，∴GC＝BE，∵CE＝EF，∴∠CEF＝180176。﹣2∠F，∵BG＝BF，∴∠GBF＝180176。﹣2∠F，∴∠GBF＝∠CEF，∴∠CEF＝∠BCG，∵∠BCE＝∠CEF+∠F，∠BCE＝∠BCG+∠GCE，∴∠GCE＝∠F，在△BEF和△GCE中，∴△BEF≌△GEC（SAS），∴BE＝EG；（3）如圖3，連接DM，取AC的中點N，連接DN，由（1）得AE＝EG，∴∠GAE＝∠AGE，在Rt△ACD中，N為AC的中點，∴DN＝AC＝AN，∠DAN＝∠ADN，∴∠ADN＝∠AGE，∴DN∥GF，在Rt△GDF中，M是FG的中點，∴DM＝FG＝GM，∠GDM＝∠AGE，∴∠GDM＝∠DAN，∴DM∥AE，∴四邊形DMEN是平行四邊形，∴EM＝DN＝AC，∵AC＝AB＝5，∴EM＝．【點睛】本題是三角形的綜合題，主要考查了全等三角形的判定與性質，直角三角形斜邊中線的性質，等腰三角形的性質和判定，平行四邊形的性質和判定等知識，解題的關鍵是作輔助線，并熟練掌握全等三角形的判定方法，特別是第三問，輔助線的作法是關鍵．7．（1）如圖1，將矩形折疊，使落在對角線上，折痕為，點落在點處，若，則的度數(shù)為______.（2）小明手中有一張矩形紙片，.（畫一畫）如圖2，點在這張矩形紙片的邊上，將紙片折疊，使落在所在直線上，折痕設為（點，分別在邊，上），利用直尺和圓規(guī)畫出折痕（不寫作法，保留作圖痕跡，并用黑色水筆把線段描清楚）；（算一算）如圖3，點在這張矩形紙片的邊上，將紙片折疊，使落在射線上，折痕為，點分別落在點，處，若，求的長.【答案】（1）21；（2）畫一畫；見解析；算一算：【解析】【分析】（1）利用平行線的性質以及翻折不變性即可解決問題；（2）【畫一畫】，如圖2中，延長BA交CE的延長線由G，作∠BGC的角平分線交AD于M，交BC于N，直線MN即為所求；【算一算】首先求出GD=9，由矩形的性質得出AD∥BC，BC=AD=9，由平行線的性質得出∠DGF=∠BFG，由翻折不變性可知，∠BFG=∠DFG，證出∠DFG=∠DGF，由等腰三角形的判定定理證出DF=DG=，再由勾股定理求出CF，可得BF，再利用翻折不變性，可知FB′=FB，由此即可解決問題．【詳解】（1）如圖1所示：∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC=42176。，由翻折的性質可知，∠DBE=∠EBC=∠DBC=21176。，故答案為21．（2）【畫一畫】如圖所示： 【算一算】如3所示：∵AG=，AD=9，∴GD=9，∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC，BC=AD=9，∴∠DGF=∠BFG，由翻折不變性可知，∠BFG=∠DFG，∴∠DFG=∠DGF，∴DF=DG=， ∵CD=AB=4，∠C=90176。，∴在Rt△CDF中，由勾股定理得：CF=，∴BF=BCCF=9，由翻折不變性可知，F(xiàn)B=FB′=，∴B′D=DFFB′=.【點睛】四邊形綜合題，考查了矩形的性質、翻折變換的性質、勾股定理、等腰三角形的判定、平行線的性質等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，學會利用翻折不變性解決問題．8．如圖，已知矩形ABCD中，E是AD上一點，F(xiàn)是AB上的一點，EF⊥EC，且EF＝EC．（1）求證：△AEF≌△DCE．（2）若DE＝4cm，矩形ABCD的周長為32cm，求AE的長．【答案】（1）證明見解析；（2）6cm.【解析】分析：（1）根據EF⊥CE，求證∠AEF=∠ECD．再利用AAS即可求證△AEF≌△DCE．（2）利用全等三角形的性質，對應邊相等，再根據矩形ABCD的周長為32cm，即可求得AE的長.詳解：（1）證明：∵EF⊥CE，∴∠FEC=90176。，∴∠AEF+∠DEC=90176。，而∠ECD+∠DEC=90176。，∴∠AEF=∠ECD．在Rt△AEF和Rt△DEC中，∠FAE=∠EDC=90176。，∠AEF=∠ECD，EF=EC．∴△AEF≌△DCE．（2）解：∵△AEF≌△DCE．AE=CD．AD=AE+4．∵矩形ABCD的周長為32cm，∴2（AE+AE+4）=32．解得，AE=6（cm）．答：AE的長為6cm．點睛：此題主要考查學生對全等三角形的判定與性質和矩形的性質等知識點的理解和掌握，難易程度適中，是一道很典型的題目．9．在中，BD為AC邊上的中線，過點C作于點E，過點A作BD的平行線，交CE的延長線于點F，在AF的延長線上截取，連接BG，DF．求證：；求證：四邊形BDFG為菱形；若，求四邊形BDFG的周長．【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析（3）8【解析】【分析】利用平行線的性質得到，再利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半即可得證，