【正文】 數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱；偶函數(shù)的圖象關(guān)于 y 軸對稱． 2． 奇、偶函數(shù)的性質(zhì) (1)奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對稱的區(qū)間上的單調(diào)性 相同 ，偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對稱的區(qū)間上的單調(diào)性 相反． (2)在公共定義域內(nèi) ① 兩個(gè)奇函數(shù)的和是 奇函數(shù) ，兩個(gè)奇函數(shù)的積是 偶函數(shù) ； ② 兩個(gè)偶函數(shù)的和、積都是 偶 函數(shù) ； ③ 一個(gè)奇函數(shù)，一個(gè)偶函數(shù)的積是 奇函數(shù)． 3． 周期性 (1)周期函數(shù)：對于函數(shù) y＝ f(x)，如果存在一個(gè)非零常數(shù) T，使得當(dāng) x 取定義域內(nèi)的任何值時(shí)，都有 f(x＋ T)＝ f(x)，那么就稱函數(shù) y＝ f(x)為周期函數(shù)，稱 T 為這個(gè)函數(shù)的周期． (2)最小正周期：如果在周期函數(shù) f(x)的所有周期中 存在一個(gè)最小 的正數(shù)，那么這個(gè)最小正數(shù)就叫做 f(x)的最小正周期． 一條規(guī)律 奇、偶函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱． 函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱是函數(shù)具有奇偶性的必要不 充分條件． 兩個(gè)性質(zhì) (1)若奇函數(shù) f(x)在 x＝ 0 處有定義，則 f(0)＝ 0. (2)設(shè) f(x)， g(x)的定義域分別是 D1， D2，那么在它們的公共定義域上： 奇＋奇＝奇，奇 奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶 偶＝偶，奇 偶＝奇． 三種方法 判斷函數(shù)的奇偶性，一般有三種方法： (1)定義法； (2)圖象法； (3)性質(zhì)法． 三條結(jié)論 (1)若對于 R 上的任意的 x 都有 f(2a－ x)＝ f(x)或 f(－ x)＝ f(2a＋ x)，則 y＝ f(x)的圖象關(guān)于直線 x＝ a 對稱． (2)若對于 R 上的任意 x 都有 f(2a－ x)＝ f(x)，且 f(2b－ x)＝ f(x)(其中 a＜ b)，則： y＝ f(x)是以 2(b－ a)為周期的周期函數(shù)． (3)若 f(x＋ a)＝－ f(x)或 f(x＋ a)＝ 1f?x?或 f(x＋ a)＝－ 1f?x?，那么函數(shù) f(x)是周期函數(shù)，其中一個(gè)周期為 T＝ 2a； (3)若 f(x＋ a)＝ f(x＋ b)(a≠ b)，那么函數(shù) f(x)是周期函數(shù)，其中一個(gè)周期為 T＝ 2|a－ b|. 雙基自測 1． (2020郴州五校聯(lián)考 )函數(shù) f(x)＝ 2|x－ 1|的圖象是 ( )． 解析 f(x)＝????? 2x－ 1， x≥ 1，??????12x－ 1， x1， 故選 B. 答案 B 3．若函數(shù) f(x)＝ 12x＋ 1，則該函數(shù)在 (－ ∞ ，＋ ∞ )上是 ( )． A．單調(diào)遞減無最小值 B．單調(diào)遞減有最小值 C．單調(diào)遞增無最大值 D．單調(diào)遞增有最大值 解析 設(shè) y＝ f(x)， t＝ 2x＋ 1， 則 y＝ 1t， t＝ 2x＋ 1， x∈ (－ ∞ ，＋ ∞ ) t＝ 2x＋ 1 在 (－ ∞ ，＋ ∞ )上遞增，值域?yàn)?(1，＋ ∞ )． 因此 y＝ 1t在 (1，＋ ∞ )上遞減，值域?yàn)?(0,1)． 答案 A 4． (2020b－ 32 ＝－ 54logcd＝ logad. (3)對數(shù)的運(yùn)算法則 如果 a＞ 0 且 a≠ 1， M＞ 0， N＞ 0，那么 ① loga(MN)＝ logaM＋ logaN； ② logaMN＝ logaM－ logaN； ③ logaMn＝ nlogaM(n∈ R)； ④ log amMn＝ nmlogaM. 3． 對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì) a＞ 1 0＜ a＜ 1 圖象 性質(zhì) 定義域： (0，＋ ∞ ) 值域： R 過點(diǎn) (1,0) 當(dāng) x＞ 1 時(shí)， y＞ 0 當(dāng) 0＜x＜ 1， y＜ 0 當(dāng) x＞ 1 時(shí)， y＜ 0 當(dāng) 0＜ x＜ 1 時(shí)， y＞ 0 是 (0，＋ ∞ )上的增函數(shù) 是 (0，＋ ∞ )上的減函數(shù) 指數(shù)函數(shù) y＝ ax與對數(shù)函數(shù) y＝ logax互為反函數(shù)，它們的圖象關(guān)于直線 y＝ x對稱． 一種思想 對數(shù)源于指數(shù)，指數(shù)式和對數(shù)式可以互化，對數(shù)的性質(zhì)和運(yùn)算法則都可以通過對數(shù)式與指數(shù)式的互化進(jìn)行證明． 兩個(gè)防范 解決與對數(shù)有關(guān)的問題時(shí)， (1)務(wù)必先研究函數(shù)的定義域； (2)注意對數(shù)底數(shù)的取值范圍． 三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn) 畫對數(shù)函數(shù)的圖象應(yīng)抓住三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)： (a,1)， (1,0)， ??? ???1a，－ 1 . 四種方法 對數(shù)值的大 小比較方法 (1)化同底后利用函數(shù)的單調(diào)性． (2)作差或作商法． (3)利用中間量 (0 或 1)． (4)化同真數(shù)后利用圖象比較． 雙基自測 1． (2020b32b5； (2)56a13f(x)＝ 0， 則 f(x)＝ 1－ x2＋ x2－ 1是奇函數(shù)，也是偶函數(shù)； ② f(x)＝ x3－ x 的定義域?yàn)?R， 又 f(－ x)＝ (－ x)3－ (－ x)＝－ (x3－ x)＝－ f(x)， 則 f(x)＝ x3－ x 是奇函數(shù)； ③ 由 x＋ x2＋ 1x＋ |x|≥ 0 知 f(x)＝ ln(x＋ x2＋ 1)的定義域?yàn)?R， 又 f(－ x)＝ ln(－ x＋ ?－ x?2＋ 1)＝ ln 1x＋ x2＋ 1＝ － ln(x＋ x2＋ 1)＝－ f(x)， 則 f(x)為奇函數(shù)； ④ f(x)＝ 3x－ 3－ x2 的定義域?yàn)?R， 又 f(－ x)＝ 3－ x－ 3x2 ＝－3x－ 3－ x2 ＝－ f(x)， 則 f(x)為奇函數(shù)； ⑤ 由 1－ x1＋ x0 得－ 1x1， f(x)＝ ln1－ x1＋ x的定義域?yàn)?(－ 1,1)， 又 f(－ x)＝ ln1＋ x1－ x＝ ln??? ???1－ x1＋ x － 1＝－ ln1－ x1＋ x＝－ f(x)， 則 f(x)為奇函數(shù)． 答案 D 判斷函數(shù)的奇偶性的一般方法是： (1)求函數(shù)的定義域； (2)證明 f(－ x)＝ f(x)或 f(－ x)＝－ f(x)成立；或者通過舉反例證明以上兩式不成立．如果二者皆未做到是不能下任何結(jié)論的，切忌主觀臆斷． 【訓(xùn)練 1】 判斷下列函數(shù)的奇偶性： (1)f(x)＝ 4－ x2|x＋ 3|－ 3； (2)f(x)＝ x2－ |x－ a|＋ 2. 解 (1)解不等式組 ??? 4－ x2≥ 0，|x＋ 3|－ 3≠ 0， 得－ 2≤ x0，或 0x≤ 2， 因此函數(shù) f(x)的定義域是 [－ 2,0)∪ (0,2]， 則 f(x)＝ 4－ x2x . f(－ x)＝ 4－ ?－ x?2－ x ＝－4－ x2x ＝－ f(x)， 所以 f(x)是奇函數(shù)． (2)f(x)的定義域是 (－ ∞ ，＋ ∞ )． 當(dāng) a＝ 0 時(shí)， f(x)＝ x2－ |x|＋ 2， f(－ x)＝ x2－ |－ x|＋ 2＝ x2－ |x|＋ 2＝ f(x)． 因此 f(x)是偶函數(shù)； 當(dāng) a≠ 0 時(shí)， f(a)＝ a2＋ 2， f(－ a)＝ a2－ |2a|＋ 2， f(－ a)≠ f(a)，且 f(－ a)≠ － f(a)． 因此 f(x)既不是偶函數(shù)也不是奇函數(shù)． 考向二 函數(shù)奇偶性的應(yīng)用 【例 2】 ?已知 f(x)＝ x??? ???12x－ 1＋ 12 (x≠ 0)． (1)判斷 f(x)的奇偶性； (2)證明： f(x)＞ 0. [審題視點(diǎn) ] (1)用定義判斷或用特值法否定； (2)由奇偶性知只須求對稱區(qū)間上的函數(shù)值大于 0. (1)解 法一 f(x)的定義域是 (－ ∞ ， 0)∪ (0，＋ ∞ ) ∵ f(x)＝ x??? ???12x－ 1＋ 12 ＝ x2第 1 講 函數(shù)及其表示 【高考會(huì)這樣考】 1．主要考查函數(shù)的定義域、值域、解析式的求法． 2．考查分段函數(shù)的簡單應(yīng)用． 3．由于函數(shù)的基礎(chǔ)性強(qiáng)，滲透面廣，所以會(huì)與其他知識(shí)結(jié)合考查． 【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】 正確理解函數(shù)的概念是學(xué)好函數(shù)的關(guān)鍵，函數(shù)的概念比較抽象，應(yīng)通過適量練習(xí)彌補(bǔ)理解的缺陷，糾正理解上的錯(cuò)誤．本講復(fù)習(xí)還應(yīng)掌握： (1)求函數(shù)的定義域的方法； (2)求函數(shù)解析式的基本方法； (3)分段函數(shù)及其應(yīng)用． 基礎(chǔ)梳理 1．函數(shù)的基本概念 (1)函數(shù)的定義：設(shè) A、 B 是非空數(shù)集，如果按照某種確定的對應(yīng)關(guān)系 f，使對于集合 A中的 任意 一個(gè)數(shù) x，在集合 B 中都有 唯一 確定的數(shù) f(x)和它對應(yīng)，那么稱f： A→ B 為從集合 A到集合 B 的一個(gè)函數(shù)，記作： y＝ f(x)， x∈ A. (2)函數(shù)的定義域、值域 在函數(shù) y＝ f(x)， x∈ A中， x 叫自變量， x 的取值范圍 A叫做 定義域 ，與 x 的值對應(yīng)的 y 值叫函數(shù)值，函數(shù)值的集合 {f(x)|x∈ A}叫值域．值域是集合 B 的子集． (3)函數(shù)的三要素：定義域、值域和對應(yīng)關(guān)系． (4)相等函數(shù)：如果兩個(gè)函數(shù)的 定義域和 對應(yīng)關(guān)系 完全一致，則這兩個(gè)函數(shù)相等；這是判斷兩函數(shù)相等的依據(jù)． 2． 函數(shù)的三種表示方法 表示函數(shù)的常用方法有：解析法、列表法、 圖象法． 3． 映射的概念 一般地，設(shè) A、 B 是兩個(gè)非空的集合，如果按某一個(gè)確定的對應(yīng)關(guān)系 f，使對于集合 A中的任意一個(gè)元素 x，在集合 B 中都有 唯一 確定的元素 y 與之對應(yīng)，那么就稱對應(yīng) f： A→ B 為從集合 A到集合 B 的一個(gè)映射． 一個(gè)方法 求復(fù)合函數(shù) y＝ f(t)， t＝ q(x)的定義域的方法： ① 若 y＝ f(t)的定義域?yàn)?(a， b)，則解不等式得 a＜ q(x)＜ b 即可求出 y＝ f(q(x))的定義域； ② 若 y＝ f(g(x))的定義域?yàn)?(a， b)，則求出 g(x)的值域即為 f(t)的定義域． 兩個(gè)防范 (1)解決函數(shù)問題，必須優(yōu)先考慮函數(shù)的定義域． (2)用換元法解題時(shí)，應(yīng)注意換元前后的等價(jià)性． 三個(gè)要素 函數(shù)的三要素是：定義域、值域和對應(yīng)關(guān)系．值域是由函數(shù)的定義域和對應(yīng)關(guān)系所確定的．兩個(gè)函數(shù)的定義域和對應(yīng)關(guān)系完全一致時(shí)，則認(rèn)為兩個(gè)函數(shù)相等．函數(shù)是特殊的映射，映射 f： A→ B 的三要素是兩個(gè)集合 A、 B 和對應(yīng)關(guān)系 f. 雙基自測 1． (人教 A 版教材 習(xí)題改編 )函數(shù) f(x)＝ log2(3x＋ 1)的值域?yàn)?( )． A． (0，＋ ∞ ) B． [0，＋ ∞ ) C． (1，＋ ∞ ) D． [1，＋ ∞ ) 解析 ∵ 3x＋ 1＞ 1， ∴ f(x)＝ log2(3x＋ 1)＞ log21＝ 0. 答案 A 2． (2020浙江 )若函數(shù) f(x)＝ x2－ |x＋ a|為偶函數(shù)，則實(shí)數(shù) a＝ ________. 解析 法一 ∵ f(－ x)＝ f(x)對于 x∈ R 恒成立， ∴ |－ x＋ a|＝ |x＋ a|對于 x∈ R 恒成立，兩邊平方整理得 ax＝ 0 對于 x∈ R 恒成立，故 a＝ 0. 法二 由 f(－ 1)＝ f(1)， 得 |a－ 1|＝ |a＋ 1|，得 a＝ 0. 答案 0 考向一 判斷函數(shù)的奇偶性 【例 1】 ?下列函數(shù)： ① f(x)＝ 1－ x2＋ x2－ 1； ② f(x)＝ x3－ x； ③ f(x)＝ ln(x＋ x2＋ 1)； ④ f(x)＝3x－ 3－ x2 ； ⑤ f(x)＝ lg1－ x1＋ 中奇函數(shù)的個(gè)數(shù)是 ( )． A． 2 B． 3 C． 4 D． 5 [審題視點(diǎn) ] 利用函數(shù)奇偶性的定義判斷． 解析 ① f(x)＝ 1－ x2＋ x2－ 1的定義域?yàn)?{－ 1,1}，又 f(－ x)＝ 177。b136 aa－32四川 )2 log510＋ ＝ ( )． A． 0 B． 1 C． 2 D． 4 解析 原式＝ log5100＋ ＝ log525＝ 2. 答案 C 2． (人教 A 版教材習(xí)題改編 )已知 a＝ ， b＝ ， c＝ ，則 a， b，c 的大小關(guān)系是 ( )． A． a＜ b＜ c B． a＜ c＜ b C． b＜ a＜ c D． c＜ a＜ b 解析 將三個(gè)數(shù)都和中間量 1 相比較： 0＜ a＝ ＜ 1， b＝ ＜ 0， c＝＞ 1. 答案 C 3． (2020 1ab3＝－ 5 ab4ab2 . 化簡結(jié)果要求 (1)若題目以根式形式給出，則結(jié)果用根式表示； (2)若題目以分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式給出，則結(jié)果用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪表示； (3)結(jié)果不能同時(shí)含有根號(hào)和分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，也不能既有分母又有負(fù)指數(shù)冪． 【訓(xùn)練 1】 計(jì)算： (1)－ 13－ ??? ???－ 17 － 2＋ ??? ???279 12－ ( )2－ 1 0； (2)??? ???14 － 12天津 )已知 a＝ ， b＝ ， c＝ ??? ???15 ，則 ( )． A． a＞ b＞ c B． b＞ a＞ c C． a＞ c＞ b D． c＞ a＞ b 解析 c＝ ??? ???15 ＝ 5－ ＝ 5log3103 ， ＞ log22＝ 1， ＜ log44＝ 1，log3103 ＞ log3