【正文】 別是 D1， D2，那么在它們的公共定義域上： 奇＋奇＝奇，奇 奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶 偶＝偶，奇 偶＝奇． 三種方法 判斷函數(shù)的奇偶性，一般有三種方法： (1)定義法； (2)圖象法； (3)性質(zhì)法． 三條結(jié)論 (1)若對于 R 上的任意的 x 都有 f(2a－ x)＝ f(x)或 f(－ x)＝ f(2a＋ x)，則 y＝ f(x)的圖象關(guān)于直線 x＝ a 對稱． (2)若對于 R 上的任意 x 都有 f(2a－ x)＝ f(x)，且 f(2b－ x)＝ f(x)(其中 a＜ b)，則： y＝ f(x)是以 2(b－ a)為周期的周期函數(shù)． (3)若 f(x＋ a)＝－ f(x)或 f(x＋ a)＝ 1f?x?或 f(x＋ a)＝－ 1f?x?，那么函數(shù) f(x)是周期函數(shù)，其中一個周期為 T＝ 2a； (3)若 f(x＋ a)＝ f(x＋ b)(a≠ b)，那么函數(shù) f(x)是周期函數(shù)，其中一個周期為 T＝ 2|a－ b|. 雙基自測 1． (2020陜西 )某學(xué)校要召開學(xué)生代表大會，規(guī)定各班每 10 人推選一名代表，當(dāng)各班人數(shù)除以 10 的余數(shù)大于 6 時再增選一名代表．那么，各班可推選代表人數(shù)y 與該班人數(shù) x 之間的函數(shù)關(guān)系用取整函數(shù) y＝ [x]([x]表示不大于 x 的最大整數(shù) )可以表示為 ( )． A． y＝ ??? ???x10 B． y＝ ??? ???x＋ 310 C． y＝ ??? ???x＋ 410 D． y＝ ??? ???x＋ 510 解析 根據(jù)規(guī)定各班每 10 人推選一名代表，當(dāng)各班人數(shù)除以 10 的余數(shù)大于 6時再增選一名代表，即余數(shù)分別為 9 時可增選一名代表．因此利用取整函數(shù)可表示為 y＝ ??? ???x＋ 310 .故選 B. 答案 B 5．函數(shù) y＝ f(x)的圖象如圖所示．那么， f(x)的定義域是 ________；值域是 ________；其中只與 x 的一個值對應(yīng)的 y 值的范圍是 ________． 解析 任作直線 x＝ a，當(dāng) a 不在函數(shù) y＝ f(x)定義域內(nèi)時，直線 x＝ a 與函數(shù) y＝f(x)圖象沒有交點；當(dāng) a 在函數(shù) y＝ f(x)定義域內(nèi)時，直線 x＝ a 與函數(shù) y＝ f(x)的圖象有且只有一個交點． 任作直線 y＝ b，當(dāng)直線 y＝ b 與函數(shù) y＝ f(x)的圖象有交點，則 b 在函數(shù) y＝ f(x)的值域內(nèi)；當(dāng)直線 y＝ b 與函數(shù) y＝ f(x)的圖象沒有交點，則 b 不在函數(shù) y＝ f(x)的值域內(nèi)． 答案 [－ 3,0]∪ [2,3] [1,5] [1,2)∪ (4,5] 考向一 求函數(shù)的定義域 【例 1】 ?求下列函數(shù)的定義域： (1)f(x)＝ |x－ 2|－ 1log2?x－ 1?； (2)f(x)＝ ln?x＋ 1?－ x2－ 3x＋ 4. [審題視點 ] 理解各代數(shù)式有意義的前提，列不等式解得． 解 (1)要使函數(shù) f(x)有意義，必須且只須??? |x－ 2|－ 1≥ 0，x－ 10，x－ 1≠ 1. 解不等式組得 x≥ 3，因此函數(shù) f(x)的定義域為 [3，＋ ∞ )． (2)要使函數(shù)有意義，必須且只須 ??? x＋ 10，－ x2－ 3x＋ 40， 即 ??? x－ 1，?x＋ 4??x－ 1?0， 解得：－ 1x1. 因此 f(x)的定義域為 (－ 1,1)． 求函數(shù)定義域的主要依據(jù)是 (1)分式的分母不能為零； (2)偶次方根的被開方式其值非負； (3)對數(shù)式中真數(shù)大于零，底數(shù)大于零且不等于 1. 【訓(xùn)練 1】 (2020江蘇 )已知實數(shù) a≠ 0，函數(shù) f(x)＝ ??? 2x＋ a， x＜ 1，－ x－ 2a， x≥ 1. 若 f(1－ a)＝ f(1＋ a)，則 a 的值為 ________． 解析 分類討論： (1)當(dāng) a＞ 0 時， 1－ a＜ 1,1＋ a＞ 1. 這時 f(1－ a)＝ 2(1－ a)＋ a＝ 2－ a； f(1＋ a)＝－ (1＋ a)－ 2a＝－ 1－ 3a. 由 f(1－ a)＝ f(1＋ a)，得 2－ a＝－ 1－ 3a， 解得 a＝－ 32， 不符合題意，舍去． (2)當(dāng) a＜ 0 時， 1－ a＞ 1,1＋ a＜ 1， 這時 f(1－ a)＝－ (1－ a)－ 2a＝－ 1－ a； f(1＋ a)＝ 2(1＋ a)＋ a＝ 2＋ 3a， 由 f(1－ a)＝ f(1＋ a)，得－ 1－ a＝ 2＋ 3a， 解得 a＝－ 34. 綜合 (1)， (2)知 a 的值為－ 34. 答案 － 34 閱卷報告 1——忽視函數(shù)的定義域 【問題診斷】 函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是函數(shù)定義域的子區(qū)間，所以求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，必須先求出函數(shù)的定義域．如果是復(fù)合函數(shù)，應(yīng)該根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷方法，首先判斷兩個簡單函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)同增異減的法則求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．由于思維定勢的原因，考生容易忽視定義域，導(dǎo)致錯 誤． 【防范措施】 研究函數(shù)的任何問題時，把求函數(shù)的定義域放在首位，即遵循 “ 定義域優(yōu)先 ” 的原則． 【 示例 】 ? 求函數(shù) y＝ log13(x2－ 3x)的單調(diào)區(qū)間． 錯因 忽視函數(shù)的定義域，把函數(shù) y＝ log13t 的定義域誤認為 R 導(dǎo)致出錯． 實錄 設(shè) t＝ x2－ 3x. ∵ 函數(shù) t 的對稱軸為直線 x＝ 32， 故 t 在 ??? ???－ ∞ ， 32 上單調(diào)遞減，在 ??? ???32，＋ ∞ 上單調(diào)遞增． ∴ 函數(shù) y＝ log13(x2－ 3x)的單調(diào)遞增區(qū)間 是 ??? ???－ ∞ ， 32 ，單調(diào)遞減區(qū)間是 ??? ???32，＋ ∞ . 正解 設(shè) t＝ x2－ 3x，由 t＞ 0，得 x＜ 0 或 x＞ 3，即函數(shù)的定義域為 (－ ∞ ， 0)∪ (3，＋ ∞ )． 函數(shù) t 的對稱軸為直線 x＝ 32， 故 t 在 (－ ∞ ， 0)上單調(diào)遞 減，在 ( )3，＋ ∞ 上單調(diào)遞增． 而函數(shù) y＝ log13t 為單調(diào)遞減函數(shù)，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知，函數(shù) y＝ log13(x2－3x)的單調(diào)遞增區(qū)間是 (－ ∞ ， 0)，單調(diào)遞減區(qū)間是 (3，＋ ∞ )． 【試一試】 求函數(shù) f(x)＝ log2(x2－ 2x－ 3)的單調(diào)區(qū)間． [嘗試解答 ] 由 x2－ 2x－ 3＞ 0，得 x＜－ 1 或 x＞ 3， 即函數(shù)的定義域為 (－ ∞ ，－ 1)∪ (3，＋ ∞ )． 令 t＝ x2－ 2x－ 3，則其對稱軸為 x＝ 1，故 t 在 (－ ∞ ，－ 1)上是減函數(shù)，在 (3，＋∞ )上是增函數(shù)． 又 y＝ log2t 為單調(diào)增函數(shù)． 故函數(shù) y＝ log2(x2－ 2x－ 3)的單調(diào)增區(qū)間為 (3，＋ ∞ )，單調(diào)減區(qū)間為 (－ ∞ ，－ 1)． 第 2 講 函數(shù)的單調(diào)性與最值 【高考會這樣考】 1．考查求函數(shù)單調(diào)性和最值的基本方法． 2．利用函數(shù)的單調(diào)性求單調(diào)區(qū)間． 3．利用函數(shù)的單調(diào)性求最值和參數(shù)的取值范圍． 【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】 本講復(fù)習(xí)首先回扣課本，從 “ 數(shù) ” 與 “ 形 ” 兩個角度來把握函數(shù)的單調(diào)性和最值的概念，復(fù)習(xí)中重點掌握： (1)函數(shù)單調(diào)性的判斷及其應(yīng)用； (2)求函數(shù)最值的 各種基本方法；對常見題型的解法要熟練掌握． 基礎(chǔ)梳理 1．函數(shù)的單調(diào)性 (1)單調(diào)函數(shù)的定義 增函數(shù) 減函數(shù) 定義 一般地，設(shè)函數(shù) f(x)的定義域為 I 內(nèi)某個區(qū)間 D 上的 任意 兩個自變量的值 x1， x2 當(dāng) x1＜ x2時，都有 f(x1)＜ f(x2)，那么就說函數(shù) f(x)在區(qū)間 D 上是增函數(shù) 當(dāng) x1＜ x2時，都有 f(x1)＞f(x2)，那么就說函數(shù) f (x )在區(qū)間 D 上是減函數(shù) 圖象 描述 自左向右圖象是上升的 自左向右圖象是下降的 (2)單調(diào)區(qū)間的定義 若函數(shù) f(x)在區(qū)間 D 上是 增函數(shù) 或 減函數(shù) ，則稱函數(shù) f(x)在這一區(qū)間上具有 (嚴格的 )單調(diào)性，區(qū)間 D 叫做 f(x)的單調(diào)區(qū)間． 2． 函數(shù)的最值 前提 設(shè)函數(shù) y＝ f(x)的定義域為 I，如果存在實數(shù) M 滿足 條件 . ① 對于 任意 x∈ I，都有 f(x)≤ M； ① 對于任意 x∈ I，都有f(x)≥ M； ② 存在 x0∈ I，使得f(x0)＝ M ② 存在 x0∈ I，使得 f(x0)＝ M. 結(jié) 論 M 為最大值 M 為最小值 一個防范 函數(shù)的單調(diào)性是對某個區(qū)間而言的，所以要受到區(qū)間的限制．例如函數(shù) y＝ 1x分別在 (－ ∞ ， 0)， (0，＋ ∞ )內(nèi)都是單調(diào)遞減的，但不能說它在整個定義域即 (－ ∞ ，0)∪ (0，＋ ∞ )內(nèi)單調(diào)遞減，只能分開寫，即函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為 (－ ∞ ， 0)和 (0，＋ ∞ )，不能用 “ ∪ ” 連接． 兩種形式 設(shè)任意 x1， x2∈ [a， b]且 x1＜ x2，那么 ① f?x1?－ f?x2?x1－ x2＞ 0? f(x)在 [a， b]上是增函數(shù)； f?x1?－ f?x2?x1－ x2＜ 0? f(x)在 [a， b]上是減函數(shù)． ② (x1－ x2)[f(x1)－ f(x2)]＞ 0? f(x)在 [a， b]上是增函數(shù)； (x1－ x2)[f(x1)－ f(x2)]＜ 0? f(x)在 [a， b]上是減函數(shù)． 兩條結(jié)論 (1)閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)一定存在最大值和最小值．當(dāng)函數(shù)在閉區(qū)間上單調(diào)時最值一定在端點取到． (2)開區(qū)間上的 “ 單峰 ” 函數(shù)一定存在最大 (小 )值． 四種方法 函數(shù)單調(diào)性的判斷 (1)定義法：取值、作差、變形、定號、下結(jié)論． (2)復(fù)合法：同增異減，即內(nèi)外函數(shù)的單調(diào)性相同時，為增函數(shù)，不同時為減函數(shù)． (3)導(dǎo)數(shù)法：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性． (4)圖象法：利用圖象研究函數(shù)的單調(diào)性． 雙基自測 1．設(shè) f(x)為奇函數(shù)，且在 (－ ∞ ， 0)內(nèi)是減函數(shù)， f(－ 2)＝ 0，則 xf(x)＜ 0 的解集為 ( )． A． (－ 2,0)∪ (2，＋ ∞ ) B． (－ ∞ ，－ 2)∪ (0,2) C． (－ ∞ ，－ 2)∪ (2，＋ ∞ ) D． (－ 2,0)∪ (0,2) 答案 C 2． (2020廣東 )設(shè)函數(shù) f(x)和 g(x)分別是 R 上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，則下列結(jié)論恒成立的是 ( )． A． f(x)＋ |g(x)|是偶函數(shù) B． f(x)－ |g(x)|是奇函數(shù) C． |f(x)|＋ g(x)是偶函數(shù) D． |f(x)|－ g(x)是奇函數(shù) 解析 由題意知 f(x)與 |g(x)|均為偶函數(shù)， A 項：偶＋偶＝偶； B 項：偶－偶＝偶，B 錯； C 項與 D 項：分別為偶＋奇＝偶，偶－奇＝奇均不恒成立，故選 A. 答案 A 4． (2020n a(a＞ 0)． ③ ?? ??n a n＝ a. ④ 當(dāng) n 為奇數(shù)時， n an＝ a； 當(dāng) n 為偶數(shù)時， n an＝ |a|＝ ??? a ?a≥ 0?－ a ?a＜ 0? . ⑤ 負數(shù)沒有偶次方根． 2． 有理數(shù)指數(shù)冪 (1)冪的有關(guān)概念 ① 正整數(shù)指數(shù)冪： an＝ ab－ 1?－ 12a－ 12b13a16b56 ＝ a－ 13－ 12－ 164 32100 1. 當(dāng) a＝ 1 時， f(x)＝ e－ x＋ ex，以下討論其單調(diào)性， 任取 x1， x2∈ (0，＋ ∞ )且 x1＜ x2， 則 f(x1)－ f(x2)＝ ex1＋ e－ x1－ ex2－ e－ x2 ＝ ?ex1－ ex2??ex1＋ x2－ 1?ex1＋ x2， ∵ x1， x2∈ (0，＋ ∞ )且 x1＜ x2， ∴ ex1＋ x2＞ 1， ex1－ ex2＜ 0， ∴ ex1＋ x2－ 1＞ 0， ∴ f(x1)－ f(x2)＜ 0，即 f(x1)＜ f(x2)， ∴ 函數(shù) f(x)＝ e－ xa ＋ae－ x， 當(dāng) a＝ 1 時在 (0，＋ ∞ )為增函數(shù)， 同理，當(dāng) a＝－ 1 時， f(x)在 (0，＋ ∞ )為減函數(shù)． 考向三 指數(shù)函數(shù)圖象的應(yīng)用 【例 3】 ?(2020汕尾模擬 )下列區(qū)間 中，函數(shù) f(x)＝ |ln(2－ x)|在其上為增函數(shù)的是 ( )． A． (－ ∞ ， 1] B.??? ???－ 1， 43 C.??? ???0， 32 D． [1,2) 解析 法一 當(dāng) 2－ x≥ 1，即 x≤ 1 時， f(x)＝ |ln(2－ x)|＝ ln(2－ x)，此時函數(shù) f(x)在 (－ ∞ ， 1]上單調(diào)遞減．當(dāng) 0＜ 2－ x≤ 1，即 1≤ x＜ 2 時， f(x)＝ |ln(2－ x)|＝－ ln(2－ x)，此時 函數(shù) f(x)在 [1,2)上單調(diào)遞增，故選 D. 法二 f(x)＝ |ln(2－ x)|的圖象如圖所示． 由圖象可得，函數(shù) f(x)在區(qū)間 [1,2)上為增函數(shù)，故