【正文】 ?? ? ????（元 / 斤） 上述資料求出簡單平均數(shù)： ? ?1 .2 0 1 .0 0 1 .5 0 3 1 .2 3x ? ? ? ?（元 / 斤），說 的是各賣一斤的平均價格。 [例 411]某一班組為參加某項比賽，統(tǒng)一購買運動鞋，發(fā)現(xiàn)購買 40碼的人占 60%，則對應(yīng)的 40碼即為眾數(shù)。在數(shù)列各標(biāo)志值按大小順序排列的情況下，三個四分位數(shù)的位次分別為： 1Q的位次41??n 2Q的位次214)1(2 ????nn 3Q的位次4)1(3 ??n 27 [ 例 4 16] 對 [ 例 4 1 3] 中 7 位同學(xué)身高的數(shù)據(jù)求四分位數(shù)。離趨勢值越近的數(shù)據(jù)越多，其趨勢值的代表性 意義就越大。其計算公式： 式中：是 眾數(shù)組的次數(shù)， 為變量值的總次數(shù)。 50 第四節(jié) 分布的偏度和峰度 數(shù)據(jù)的集中趨勢和離散趨勢是數(shù)據(jù)分布的兩個重要特征， 但要了解數(shù)據(jù)分布的形態(tài)特征，則要計算偏度和峰度。 33??V?0??0?α0?α54 三、峰度 經(jīng)驗觀察表明，變量分布的峰度與偶數(shù)階中心矩的數(shù)值大小 有關(guān)，在一般情況下，其數(shù)值越大，分布的圖形越平坦；數(shù)值 越小，分布圖形越尖峭。由此可從考慮運用奇數(shù)階中心矩來判 斷變量分布是否對稱，以及不對稱的偏度如何。 ?1??2??48 七、變異系數(shù)（ ） 上面所介紹的多種變異指標(biāo)都有具體的計量單位（有量綱），都會受到現(xiàn)象所采用的計量單位不同或計量單位變化的影響。 用極差反映總體變量值的變異情況，計算簡單，涵義直 觀，但是它易受極端數(shù)值的影響，不能反映其它變量值的變異 情況。而位置平均數(shù)是由數(shù)據(jù)在數(shù)列 中的位置來決定的，極端數(shù)值的出現(xiàn)并不影響位置平均數(shù)總體 的代表性，可能更能夠說明該數(shù)列的一般水平和趨勢。 表 4 6 中，農(nóng)民累計共 500 戶，其中間位置在第 2 50 戶。由此可知上 述冪平均數(shù)在 k為不同數(shù)值時的數(shù)量關(guān)系： H≤G≤A≤S 當(dāng) 時， H=G=A=S。 21()niixx????min （ 4 6 ） 對上述算術(shù)平均數(shù)的證明，可舉例說明如下： 11 [ 例 4 6] 設(shè)有三個數(shù)分別為 4 、 5 、 6 ，其平均數(shù) x =5 ， n=3 ，另設(shè) a= 4 ≠ x ,b=6 ≠ x 。 3 二、算術(shù)平均數(shù)（ ） 算術(shù)平均數(shù)的計算公式： 算術(shù)平均數(shù) = 算術(shù)平均數(shù)有簡單的（不加權(quán)的）和加權(quán)的兩種表現(xiàn)形 式，簡單算術(shù)平均數(shù)是數(shù)列各個數(shù)值相加而成的；加權(quán)算術(shù) 平均數(shù)是由分組數(shù)列計算而成的。 ? 對于組距分組數(shù)列計算的算術(shù)平均數(shù)，要先求出各組的組中值，作為各組的標(biāo)志值，然后再計算加權(quán)算術(shù)平均數(shù)。 [ 例 4 8] 某企業(yè)員工的月工資數(shù)據(jù)如下表，求他們的平均工資。 0M0M20 ? ? 由組距變量數(shù)列確定眾數(shù)需要分兩步進行：首先從變量數(shù)列中找出頻數(shù)或頻率最大的組（眾數(shù)組），有該組的上下限確定眾數(shù)的取值范圍；然后根據(jù)與眾數(shù)組相鄰的兩個組的頻數(shù)，近似計算眾數(shù)值。 該數(shù)列共有 7 位同學(xué)，7?n，根據(jù)上述公式，1Q的位次為第2 位同學(xué)，相應(yīng)的下四分位的身高為 m ；2Q的位次即中位數(shù)為第 4 位同學(xué)，中位數(shù)的身高為 0m ；3Q的位次為第 6 位同學(xué)，相應(yīng)的上四分位的身高為 。最明顯地表明數(shù)據(jù)集中趨勢的分布是鐘型分布 （在大樣本情況下為正態(tài)分布）。 rV?????? ???? niimniimniirfffffV111 0010mf ??niif139 五、平均差（ ） 平均差亦稱平均絕對離差，它反映總體各單位變量值 與平均數(shù)的離差絕對數(shù)的算術(shù)平均，它可以綜合反映總體的 變異情況。分布 的偏度是指分布的對稱方向和程度，有正（右）偏，負 （左）偏和對稱分布。將變量分布的四階中心矩與標(biāo)準(zhǔn)差的 四次方對比，可以消除計量單位的影響，并且可以與峰度的高 低保持一致。 1 3 2 1 0kv v v ?? ? ??? ? ?? ? ? ?222 1 3 5 2 1 2 1 ! !kkkv k k??? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?22 ??v 44 3??v66 15??v53 二、偏度 根據(jù)中心矩的第一個性質(zhì)，當(dāng)變量對稱分布時，它的所有 奇數(shù)階中心矩都為零。根據(jù)這個思路開發(fā)出來的有關(guān)質(zhì)量管理方法就是六個西格瑪質(zhì)量管理。極差公式： 對于分組數(shù)據(jù)，極差公式： 式中 是分組數(shù)列中最大組的上限， 是最小組的下限。數(shù)值平均數(shù)由總體中全部變量值參與計算，反 映了所有數(shù)值的代表性水平，但它易受極端數(shù)值的影響，如果 其中有若干極大或極小數(shù)值，就把它的平均數(shù)拉高或拉低了， 與一般的趨勢產(chǎn)生了若干背離。 [4 1 5] 對表 4 6 所示的農(nóng)民年人均純收入計算中位數(shù)。當(dāng)時 ，有 。 1( ) 0niixx???? （ 4 5 ） C . 任何一個數(shù)減去算術(shù)平均數(shù)，它們的平方和為最小值。 由于社會經(jīng)濟現(xiàn)象某一標(biāo)志值在不同的時間、地點、條件下 的表現(xiàn)各不相同，通過計算平均數(shù)，可以使它們有一個共同 比較的基礎(chǔ)。 7 [例 43]車間工人月工資分組資料如下，計算工人月平均工資。 14 1164000128050niinii imHmx??? ? ???（元 / 人） 對上述資料計算加權(quán)平均數(shù)： x=1164000128050niiiniixff??????（元 / 人） 上述計算表明，在分組的情況下，由于應(yīng)用資料的不同，分別求出調(diào)和平均數(shù)和加權(quán)平均數(shù)，計算的結(jié)果是一樣的，即它們都要符合標(biāo)志值總量（工資總額）除以單位總量（員工總?cè)藬?shù)）求平均數(shù)的實質(zhì)要求 15 四、幾何平均數(shù)（ ） 幾何平均數(shù)通常不是由于計算靜態(tài)的單位標(biāo)志值的平均， 而是用于計算時間上相互銜接的比率的平均，它經(jīng)常用于計 算復(fù)利計算的平均利率、幾個生產(chǎn)環(huán)節(jié)銜接的產(chǎn)品平均質(zhì)量 合格率、平均發(fā)展速度等。計算公式為（公式證明可由圖41直觀說明）： 21 下限公式? ?000000000 )(