【正文】 ???。 可 得 120 2cac a? ? ? ? ?. 所 以答案是 4. 方程 問(wèn)題的分類 方程 在初中代數(shù)中的地位毋庸置疑，所以對(duì) 它 的研究是必然的。也就是 1x 最大 。 明顯 后一組是前一組的 2 倍 。它 涉及 各個(gè)方面，各個(gè)題型 ， 內(nèi)容 豐富 。 雖然也是這個(gè) 類型， 但是 背景 就不一樣了 . 例 a， b 滿足 6 9 10 16ab a b? 一 ＋．則 a＋ b 的值是 ____________. 例 x 是自然數(shù) ,x＋ 13 和 x－ 76 都是完全平方數(shù)，那么 x=_____________． 例 5 要求 a+b，需要 聯(lián)結(jié) 前面 的條件跟 a+b 之間 的關(guān)系。 y 的 值 易得 15. 例 ? ? ? ?222 3 4 2 3 4 5 0a b c a b c? ? ? ? ? ? ? ?， 則 6a10b+14c3= 【 選自第 23 屆 初 一 希望杯試題 】 要 做這道題目。而且 往往 數(shù)字是跟冪， 還有 今年 考試 的年份有關(guān)的。但是 題目 的靈活性增加了。 明顯 數(shù)的話涉及到各種數(shù)（實(shí)數(shù)，有理數(shù)，無(wú)理數(shù)等等）及數(shù)之間的關(guān)系和運(yùn)算，也涉及到一些數(shù)的概 念和性質(zhì)。大題分布的比較均勻， 有一半左右（ 2， 3道）。所以在中考當(dāng)中及 整個(gè)中學(xué)的學(xué)習(xí)當(dāng)中，對(duì)代數(shù)這一塊的把握是至關(guān)重要而且作用是持續(xù)不斷的。 【 關(guān)鍵詞 】 希望杯； 代數(shù)；初中 寧波大學(xué)理學(xué)院本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 1 A study of junior high school “hope cup” algebra examination Abstract 【 ABSTRACT】 Hope Cup is one of the important events of primary and secondary mathematics. It broaden students39。將知識(shí)、能力的考察和思維能力的培養(yǎng)結(jié)合起來(lái)。 觀察 2試的試題（從 21屆到 24屆），發(fā)現(xiàn)比例會(huì)有所下 降。 研究目的 熟悉希望杯 代數(shù)試題的結(jié)構(gòu)，對(duì)代數(shù)試題中的數(shù)與式問(wèn)題，方程問(wèn)題 以及希望杯 1試 中的最值問(wèn)題進(jìn)行 整理 ，分類，歸納， 總結(jié)并 適當(dāng)?shù)臄U(kuò)展或推廣。 數(shù)的 運(yùn)算 例 1. 計(jì)算： )(1|2|3 3)1()1(3 ???? ???? 【 選自第 24 屆 初 一 希望杯試題 】 例 計(jì)算： ????????????? ])2()5()83(3[})2(])(163[1{ 342 ； 【 選自第 22 屆 初 一 希 望杯試題 】 例 3. If m=2， then )](31[)41(])1([|12|)1()(22243mmmm??????????????? = 【 選自第 21 屆 初 一 希望杯試題 】 例 4. 2 2 2 2 2 2 2 21 2 3 4 ... 97 98 99 1001 2 3 4 ... 97 98 99 100? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?= 【 選自第 25 屆 初 一 希望杯試題 】 初中“希望杯”代數(shù)試題的研究 4 例 ： ??????? 122222 220xx20xx20xx ? ． 【 選自第 24 屆 初 二 希望杯試題 】 結(jié)合 以上 試題 可看出， 幾乎每年 都要考關(guān)于 代數(shù) 運(yùn)算的題目。不管 最大 的數(shù)是 1000， 還是 要 分子 中 的最大數(shù)跟分母中的最大數(shù)一樣。 這方面 的題目不多。 【 選自第 21 屆 初 一 希望杯試題 】 這道 題目很簡(jiǎn)單，只要把握 二次 多項(xiàng)式的定義就可以 了 。 則 代數(shù)式 1 1 1abc?? 的 值是 【 選自第 22 屆 初 二 希望杯試題 】 ? ? ? ? ? ?2 2 22 2 2 4 2 4 4 1 2 2 2 6 4 4 3 6 4 2 = 2a b c a b c a b c? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?而 ? ? ? ?2 2 0 a 2 1 0 2a a a a? ? ? ? ? ? ? ?。 因?yàn)檫@ a個(gè) 數(shù)有 一個(gè) 中間值 為 [a/2]+1.所以 這樣以這個(gè)數(shù)為 x， 其余的數(shù) 為 x+1,x1,x+2,x2?x+[a/2],x [a/2].全部 加起來(lái)就等于 A=a 的 平方 ?！?選自第 21 屆 初 一 希望杯試題 】 先 把這七個(gè)數(shù) x1， x2， x3， x4， x5， x6， x7都寫(xiě)出來(lái) 。例 例 2 當(dāng) | x?2 |?| x?3 |的值最小時(shí)， | x?2 |?| x?3 |?| x?1 |的值最大是 ，最小是 。就要把 x 分成初中“希望杯”代數(shù)試題的研究 12 x 12和 1x2??。前提是三個(gè)方程組沒(méi)有相 類同 的（ 即不存 在只是 在未知數(shù)的系數(shù)上差距 N 倍的 方程組） 。 【 選自第 21 屆 初 一 希望杯試題 】 ? ?6 35 8 30 ? 40 ? 60 ? 65A B C D例 2 、 個(gè) 人 用 天 完 成 了 某 項(xiàng) 工 程 的 ， 如 果 再 增 加 工 作 效 率 相 同 的 個(gè) 人那 么 完 成 這 項(xiàng) 工 程 ， 前 后 共 用 的 天 數(shù) 是、 、 、 、 【 選自第 22 屆 初 一 希望杯試題 】 這 兩道題目明顯是同一個(gè)類型的。則 該 農(nóng)民一共賣了 只 雞 【 選自第 23 屆 初 一 希望杯試題 】 很明顯 的，丙賣了剩下一半又半只后正好沒(méi)了。 所以明顯的 5x除以 6 的余數(shù) 要為 的 x 為 偶數(shù)。可得? ?2222222 1 2 ( n 1 ) 1 2 ( 2 0 1 0 2 0 1 1 1 ) 12 [ 2 0 1 0 ( 2 0 1 0 1 ) ] 1 4 2 0 1 0 2 0 1 1 14 2 0 1 0 ( 2 0 1 0 1 ) 1 4 2 0 1 0 4 2 0 1 0 12 2 0 1 0 1 4 0 2 0 1 4 0 2 1n ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? 根式 運(yùn)算 寧波大學(xué)理學(xué)院本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 19 例 ? ?116 0 1 ,x x xx x? ? ? ? ?則 的 值 是 【 選自第 23 屆 初二希望杯試題 】 211( ) 2xxxx? ? ? ?= 答案為 2 例 已知 a 為實(shí)數(shù)，且 26a? 與 1 26a? 都是整數(shù)，則 a 的值是＿＿。 數(shù)與式的 證明 例 a= ，證明： a 是 37 的倍 數(shù) 【 選自第 21 屆 初一希望杯試題 】 ? ? ? ?33931 0 3 8 2 9 9 9 1 3 7 1 2? ? ? ? ? ? ?。因?yàn)槌醵?還沒(méi)有 學(xué)到關(guān)于三次求解的問(wèn)題。所以無(wú)解。乙行駛了 4 圈 ，那么甲應(yīng)該是 5 圈 ，所以可得 444 3y5 3x y x yx?? ? ? ?（ ） （ ）可得 54xy?所以 相遇的時(shí)間為 4y43 xy??（ ） =16 5 163 4 3?? =12. 相遇 問(wèn)題 例 3．軌道 AB長(zhǎng) 米，從起點(diǎn)站 A 到終點(diǎn)站 B，每 米設(shè)一站點(diǎn)．甲、乙兩個(gè)機(jī)器人同時(shí)從 A 站點(diǎn)出發(fā)，到達(dá) B 站點(diǎn)后，再返回，在 A 和 B 兩站點(diǎn)之間反復(fù)運(yùn)動(dòng)．甲、乙運(yùn)動(dòng)的速度都是 米／秒，甲每到達(dá)一個(gè)站點(diǎn)就休息 1 秒鐘，而乙從不休息，若甲、乙從 A站點(diǎn)出發(fā)后 2 分鐘結(jié)束運(yùn)動(dòng)，問(wèn)：它們出發(fā)后，曾幾次同時(shí)到達(dá)同一站點(diǎn)（包括起點(diǎn)站和終點(diǎn)站） ? 【 選自第 21 屆 初一 希 望杯試題 】 這道題 要抓 住一個(gè)等式，也是關(guān)鍵，那就是在每次 他們 相遇的時(shí)候，甲走的路加上乙走的路等于軌道 AB 長(zhǎng) 的偶數(shù)倍。當(dāng)然 也 發(fā)現(xiàn)題目是叫我們求他們?cè)谡军c(diǎn)相遇的情況， 不包括 在站點(diǎn)以外相遇的情況。即 聯(lián)系 實(shí)際，考察的靈動(dòng)性很強(qiáng)。但是觀察題目本身可以看出：左右兩邊都有由兩個(gè)互相為倒數(shù)的分式構(gòu)成。 證明： abc可被 27 整除?？梢栽O(shè) 26ax?? 。 抓住 這個(gè) 就可以 知道3,8,13,18,是 可以 的 。假設(shè) 一共 有 x 只 雞。 那么8x 35 32143yyxz? ?????? ???得 y=40. 寧波大學(xué)理學(xué)院本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 15 追及 問(wèn)題 追及 問(wèn)題可以說(shuō)是 在 代數(shù)應(yīng)用題中最喜歡，最常見(jiàn)也最靈活的題型之一。第二個(gè) 方程 減去第一 個(gè) 方程得到： 2x2z=40。 所以對(duì) 于 2 1 3xx? ? ? 按上述 進(jìn)行分類后可得 x=2 或 x=4/3. 再看 另一 中 整數(shù)求解的題目。 第二道 的話最大公約數(shù) 是 2， 和的最大值的話明顯 當(dāng) 兩個(gè)數(shù)為 20xx 和 2 時(shí) ，和是最大的 ， 為 最小的話 ， 我們最大最小公倍數(shù)除以最大公約數(shù)就是就是這兩個(gè) 互質(zhì) 的數(shù) 的乘積 ， 為 1005=5*201=5*3* 一個(gè)數(shù)為 30， 一個(gè)數(shù) 為 為 104 再看 例 4 當(dāng) 1x? 時(shí) ，不等式 1 1 2x x m x? ? ? ? ? ?恒成立 ，那么實(shí)數(shù) m 的 最大值是 【初二 22 屆】 寧波大學(xué)理學(xué)院本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 11 1 1 2x x m x? ? ? ? ? ?1 2 1x x x m? ? ? ? ? ? ?。 假設(shè) 12xx? ， 得 1 60x? 。所以商的最小值只能是 7 或 比 7 大 。 對(duì)于該種 提醒的研究和擴(kuò)展，發(fā)現(xiàn)雖然該種題型表面上看應(yīng)該是最難的。 類似 的還有 例 4. 若 66554433221032 xaxaxaxaxaxaa)1xx2( ????????? ，則??? 531 aaa ， ??? 642 aaa ； 【 選自第 22 屆 初 一 希望杯試題 】 這道題 很明顯的要展開(kāi)多項(xiàng) 式。 具體 的題目可以參考 初一 1 式 有： 22 屆 12 題 ， 24 屆 13 題 。 要是 學(xué)過(guò)等差數(shù)列的求和公式，那么答案很快就出來(lái)了 。但是從 出題的靈活性 可以 看 出 ： 早年 是 純粹 算一下關(guān)于一些有理數(shù) 運(yùn)算 符號(hào) 的互相運(yùn)用，穿插。 研究?jī)?nèi)容 本文主要從以下方面展開(kāi)研究： 初一 和 初二 1 試 代數(shù)試 題 的 分類 研究。雖然最后大題的趨勢(shì)有從單純是代數(shù)的題目轉(zhuǎn)變?yōu)閿?shù)形 結(jié)合類型的題目的情況（幾何的背景，代數(shù)的解題方式）。其中每年的中考試題中都有不少直接選自賽題或與賽題類似的試題 , 在白軍強(qiáng)的《“希望杯” — 中考數(shù)學(xué)的前兆》一文中，結(jié)合實(shí)際的中考題和希望杯試題的出入，分析了一些把握整體思想的題目和表格題等重要類型的題目在中考和希望杯中的相似性從而講述希望杯在初中數(shù)學(xué)的借鑒意義。 承諾人（簽名）： 年 月 日 寧波大學(xué)理學(xué)院本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） III 目錄 摘 要 ............................................................................................................................... 1 ............................................................................................................................. 1 問(wèn)題的提出 ........................................................................................................ 1 研究目的 ............................................................................................................ 2 研究?jī)?nèi)容 ...........