【正文】 決問題的能力，培養(yǎng)數(shù)感、符號(hào)意識(shí)、運(yùn)算能力、推理能力、模型思想的能力。 其次，從希望杯本身的命題來看。我們研究了從 20xx年到 20xx年的希望杯試題。有初試和復(fù)試（即 1試和 2試）?？梢钥吹揭粋€(gè)數(shù)據(jù)：初一的“希望杯”競賽， 1試中代數(shù)試題（涉及到代數(shù)運(yùn)算的運(yùn)算）的比例最低大概在 2/3左右。也就是說。 25道的競賽題（除了 24,25屆有附加題），最多關(guān)于幾何的就 8道左右。 而且 最后一道大題，除了 23屆是幾何的，其余都是代數(shù)的。 觀察 2試的試題（從 21屆到 24屆），發(fā)現(xiàn)比例會(huì)有所下 降。但是最低在 50%。雖然最后大題的趨勢(shì)有從單純是代數(shù)的題目轉(zhuǎn)變?yōu)閿?shù)形 結(jié)合類型的題目的情況（幾何的背景，代數(shù)的解題方式）。不管怎么說， 這樣的數(shù)據(jù)已經(jīng)充分說明了在初一這個(gè)階段代數(shù)試題在“希望初中“希望杯”代數(shù)試題的研究 2 杯”中的分量和價(jià)值。初二的試題中， 21屆 1試有 15道關(guān)于代數(shù)的。包括 21屆在內(nèi)，基本上出題的題型規(guī)律上都是 （不管是一試還是二試）： 選擇題 10道 3道左右是關(guān)于幾何的。填空題10道也是 3， 4道 關(guān)于幾何 。大題分布的比較均勻， 有一半左右（ 2， 3道）。除此之外 都是代數(shù)題 （也包括極少 的 概率等其他類型的題目）。所以縱觀希望杯 在初一 和 初二 的出題 比例 可以看出代數(shù)試題在希望杯中的 地位 是很高的。 本論文研究希望杯初一，初二 的 1 試和 2 試中代數(shù)的部分。根據(jù) 《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn) (20xx 年版 )》 對(duì)義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)課程分為“數(shù)與代數(shù)”，“空間與圖形”，“統(tǒng)計(jì)與概率”，“實(shí)踐與綜合應(yīng)用”四個(gè)領(lǐng)域的規(guī)定。而且初中階段的“數(shù)與代數(shù)”是《義務(wù)教育全日制初級(jí)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱（適用修訂版）》中“代數(shù)”內(nèi)容的擴(kuò)展。所以本論文研究的代數(shù)試題就是現(xiàn)今 《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn) (20xx 年版 )》 中四大領(lǐng)域之一的“數(shù)與代數(shù)”的內(nèi)容。 “數(shù)與代數(shù)”的主要內(nèi)容包括數(shù)與式、方程 與不等式、函數(shù)。 由于 本文研究初一，初二的代數(shù)試題 ， 所以 著重 研究數(shù)與式 問題 和 方程 問題 ， 也包括 初一 最值問題的分類 研究 。 研究目的 熟悉希望杯 代數(shù)試題的結(jié)構(gòu)，對(duì)代數(shù)試題中的數(shù)與式問題，方程問題 以及希望杯 1試 中的最值問題進(jìn)行 整理 ，分類，歸納， 總結(jié)并 適當(dāng)?shù)臄U(kuò)展或推廣。 以加深 對(duì)希望杯試題的理解和認(rèn)識(shí) 。 研究內(nèi)容 本文主要從以下方面展開研究： 初一 和 初二 1 試 代數(shù)試 題 的 分類 研究。 初一 和 初二 2 試 代數(shù)試 題 的分類研究 。 研究方法 上網(wǎng)查閱近幾年的希望杯試題，結(jié)合查考文獻(xiàn)和資料，并在老師同 伴 的幫助下 搜集各種需要代數(shù)信息，進(jìn)行分類，整理，解決，歸納 。 寧波大學(xué)理學(xué)院本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 3 1 試 代數(shù) 試題研究 我們知道 ： 數(shù)與式包括 有理數(shù)、無理數(shù)、數(shù)軸、有理數(shù)的大小比較、 倒數(shù)、 相反數(shù)、絕對(duì)值、乘方、開方 （平方根、立方根） 、近似數(shù)、有效數(shù)字、冪、科學(xué)記數(shù)法、 有理式（ 整式、分式、二次根式 ）、無理 式 等 。 對(duì)于數(shù)與式 我們 可以 從數(shù)，式兩方面去看。 明顯 數(shù)的話涉及到各種數(shù)（實(shí)數(shù)，有理數(shù)，無理數(shù)等等）及數(shù)之間的關(guān)系和運(yùn)算，也涉及到一些數(shù)的概 念和性質(zhì)。 代數(shù) 式可以看成有理式和無理式，有理式又包括整式，分式 。當(dāng)然。按照題目的性質(zhì) 數(shù)與式 也 可以 分為有條件式和無條件式。 所在在對(duì)數(shù)與式做研究時(shí)可以考慮從以下幾個(gè)方面去討論。 數(shù)與式 問題的分類 數(shù)與式的運(yùn)算包含了有理數(shù)的運(yùn)算，還有有理式的運(yùn)算（包括，整式，分式的運(yùn)算），還有科學(xué)計(jì)數(shù)。在整體大概 1 試 代數(shù) 試題中， 占的比例還是很大的。 關(guān)于數(shù)與式的運(yùn)算，包含很多?？梢园褦?shù)與式分開來看。 數(shù)的 運(yùn)算 例 1. 計(jì)算： )(1|2|3 3)1()1(3 ???? ???? 【 選自第 24 屆 初 一 希望杯試題 】 例 計(jì)算： ????????????? ])2()5()83(3[})2(])(163[1{ 342 ； 【 選自第 22 屆 初 一 希 望杯試題 】 例 3. If m=2， then )](31[)41(])1([|12|)1()(22243mmmm??????????????? = 【 選自第 21 屆 初 一 希望杯試題 】 例 4. 2 2 2 2 2 2 2 21 2 3 4 ... 97 98 99 1001 2 3 4 ... 97 98 99 100? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?= 【 選自第 25 屆 初 一 希望杯試題 】 初中“希望杯”代數(shù)試題的研究 4 例 ： ??????? 122222 220xx20xx20xx ? ． 【 選自第 24 屆 初 二 希望杯試題 】 結(jié)合 以上 試題 可看出， 幾乎每年 都要考關(guān)于 代數(shù) 運(yùn)算的題目。 題目 不難 。但是從 出題的靈活性 可以 看 出 ： 早年 是 純粹 算一下關(guān)于一些有理數(shù) 運(yùn)算 符號(hào) 的互相運(yùn)用，穿插。似乎 是 考驗(yàn)學(xué)生的仔細(xì) ， 敏銳度。沒什么 難點(diǎn)可言 。但是 到 了 24,25 屆 ，無疑的。運(yùn)算符號(hào)變得單一了。但是 題目 的靈活性增加了。 比如 初一 25 屆 1 試 題目1. 2 2 2 2 2 2 2 21 2 3 4 ... 97 98 99 1001 2 3 4 ... 97 98 99 100? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?。 很明顯 的這試題當(dāng)中隱藏著簡化運(yùn)算。 也 只能從分子著手。從 分子 式子來看，加減號(hào)交叉出現(xiàn)。而且是跟平方搭干。所以 會(huì) 引起我們想到關(guān)于平方差的聯(lián)系。那分子 部分 就可以化簡為? ?1 1 2 3 4 . . . 9 7 9 8 9 9 1 0 0? ? ? ? ? ? ? ? ? ?.答案 為 1 也 就馬上出來了。 對(duì)這類 試題做一個(gè)推廣， 我們 也很清楚。不管 最大 的數(shù)是 1000， 還是 要 分子 中 的最大數(shù)跟分母中的最大數(shù)一樣。那么 結(jié)果 就是 1. 初二 第 24 屆 的 12 題 更難，更靈活。 要是 學(xué)過等差數(shù)列的求和公式，那么答案很快就出來了 。 ??????? 122222 220xx20xx20xx ?20xx2 （ 20xx2 1） =1. 但是沒學(xué)過 等差數(shù)列也可以找出一般的規(guī)律：1 1 12 2 2 ( 2 1 ) 2n n n n? ? ?? ? ? ?。 所以 原式 可以直接得出為 1. 這類試題 的推 廣很顯然：按冪的遞減方式做減法。不管 這個(gè) 冪多大。底數(shù) 為 2，冪 按 公差為 1 的 方式遞減排列， 答案 就是 1. 根據(jù)上面的研究，可以發(fā)現(xiàn)， 題目 雖然不一定很難，但是有一種 越來越活的趨勢(shì)。而且 往往 數(shù)字是跟冪， 還有 今年 考試 的年份有關(guān)的。所以 在 擴(kuò)展此種類型的題目時(shí)可以抓住這兩點(diǎn)。 可以 注重到數(shù)的拆分。 例如 ： 1. 計(jì)算 ： 1 1 1 1 1 1 1 11 2 8 2 4 4 8 8 0 1 2 0 1 6 8 2 2 4? ? ? ? ? ? ? ?的 值。這種 涉及 到一個(gè)規(guī)律 ， 只要能利用 1 1 1 1(n 2 ) 2 2n n n??????????就 很容易了。 寧波大學(xué)理學(xué)院本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 5 . 式的 運(yùn)算 之前 講過 代數(shù) 式 包 括有理式和 無理式 ，有理式包括整式和 分式 ，整式有多項(xiàng)式和單項(xiàng)式之分。 之前的實(shí)數(shù) 運(yùn)算一般是無條件運(yùn)算。 而現(xiàn)在 式的運(yùn)算一般是 關(guān)于 有 條件 運(yùn)算 。 （ 1） 無條件 求值 我們先來 看 一種條件 本身沒有告訴我們什么，但是我們要把功夫 下 在 我們要求的式子上 ， 也就是這類題目的關(guān)鍵就在 于 能不能處理好要求的式子，條件一般不用太 在意 。 這方面 的題目不多。但是跟 上面 的實(shí)數(shù)運(yùn)算類似， 即 所給的條件是很直白的，沒有 多少 隱藏式的條件，直接給你需要的，并不需要再從條件當(dāng)中挖很多隱藏的信息，因 此 跟上面實(shí)數(shù)的研究相比 只是多了一個(gè)多項(xiàng)式的外殼， 實(shí)質(zhì) 上還是 只涉及到運(yùn)算和運(yùn)算方法。 具體 的題目可以參考 初一 1 式 有： 22 屆 12 題 ， 24 屆 13 題 。 初二 1 試 有 21 屆 16， 20 題， 23 屆 第3 題 。 看 一道 有 代表性的題目 ： 例 a=20xx， b= 20xx? ，則 ??? ab3b2a 22 ； 【 選自第 22 屆 初 一 希望杯試題 】 能 化出 ??? ab3b2a 22 （ a+b） (a+b+b)。 就 可以找到答案 為 20xx 了 （ 2） 有條件求值 首先來看 在有條件運(yùn)算中，條件本身就 已經(jīng)告訴了 我們很多東 西，甚至只要讀懂條件，就可以 知道 答案了。 例 32??x ，且 ? ?861 48 ??? yxx ，則 y 的值是（ ） 【 選自第 24 屆 初 二 希望杯試題 】 明顯 要化簡得 6y+8= 2424211 2 1 0 0 2 9 8xxxx??? ? ? ? ? ? ?????。 y 的 值 易得 15. 例 ? ? ? ?222 3 4 2 3 4 5 0a b c a b c? ? ? ? ? ? ? ?， 則 6a10b+14c3= 【 選自第 23 屆 初 一 希望杯試題 】 要 做這道題目。明顯把握兩點(diǎn)。兩個(gè) 括號(hào) 里面的多項(xiàng)式的和為 2 3 4 0 , 2 a 3 b 4 c 5 0a b c? ? ? ? ? ? ? ?明顯 2 個(gè) 方程解不出 3 個(gè) 解。所以 只能 根據(jù)這兩個(gè)初中“希望杯”代數(shù)試題的研究 6 等式 ，對(duì)他們進(jìn)行放縮，讓他們之和 正好 就是我們要的 6 10 14a b c??。所以 可以得到 一個(gè)2 元 一次方程組 ? ( 2 3 4 ) 0( 2 a 3 b 4 c 5) 0x a b cy ? ? ? ?? ? ? ? 。 得到 x+2y=6， 2x3y=10， 3x+4y=14。得 x==2 所以 就算出來了 答案 為 這是充分利用 條件 ， 并 沒有對(duì)要求的多項(xiàng)式進(jìn)行很多的處理。 另外初一 24 屆 19 題 也是類似的。 再看一類 關(guān)于多項(xiàng)式的題目： 例 式 4 3 2 4 3 4 32 5 1 3 2 0 2 1 2 1 3a x a x x x x b x b x x? ? ? ? ? ? ? ?是二次多項(xiàng)式，則 22ab? = 。 【 選自第 21 屆 初 一 希望杯試題 】 這道 題目很簡單，只要把握 二次 多項(xiàng)式的定義就可以 了 。但 這也是 一種題型可以參考。 類似 的還有 例 4. 若 66554433221032 xaxaxaxaxaxaa)1xx2( ????????? ，則??? 531 aaa ， ??? 642 aaa ； 【 選自第 22 屆 初 一 希望杯試題 】 這道題 很明顯的要展開多項(xiàng) 式。這是 最后 一道 ， 所以題目會(huì)較難。 化簡 ： 32 3 3 2 3 21 3 3 1( 2 1 ) 8 ( x 1 ) ( x ) 8 ( x 3 x 3 x 1 ) ( x x x )2 2 4 8xx ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?????。答案 很明顯 了 。 但是 像初二 23 屆 的 19,13 題。 雖然也是這個(gè) 類型， 但是 背景 就不一樣了 . 例 a， b 滿足 6 9 10 16ab a b? 一 ＋．則 a＋ b 的值是 ____________. 例 x 是自然數(shù) ,x＋ 13 和 x－ 76 都是完全平方數(shù)，那么 x=_____________． 例 5 要求 a+b，需要 聯(lián)結(jié) 前面 的條件跟 a+b 之間 的關(guān)系。 先 觀察這個(gè)式子，看能不能分解成 2 個(gè) 式子的乘積。發(fā)現(xiàn) 可以 ：? ? ? ? ? ? ? ?6 9 1 0 1 6 6 9 = 1 0 1 6 3 a 2 3 5 2 3 1 2 3 3 5 1a b a b a b a b b b b a? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?一 ＋ ＋因?yàn)?a， b 是 整數(shù)， 所以 23b? 和 35a? 只能 為 a=2,b= a+b=4. 例 6 很簡單的 假設(shè) 這兩個(gè)是相鄰的平方數(shù)，那么兩個(gè) 相鄰數(shù) 的平方差為 89， 可得這兩個(gè)數(shù)為 44,45,因?yàn)?44 的 平 方 跟 45 的 平 方 差 明顯 的 x=45*4513=20xx. 關(guān)于 這一類根據(jù) 處理 條件 就 可以找到答案的類型，把握住條件本身的意義和它跟我們要求的 有 什么直接或間接 的 聯(lián)系 很重要 。 寧波大學(xué)理學(xué)院本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 7 我們 看關(guān)于 有條件 運(yùn)算的另 一塊，即條件和 我們 所要求的式子都很重要， 即我們 既要對(duì)條件進(jìn)行分析也要對(duì)我們所 要 求的式子進(jìn)行分析。 例如