【正文】 ents39。 寧波大學(xué)理學(xué)院本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） I 各專(zhuān)業(yè)完整優(yōu)秀畢業(yè)論文設(shè)計(jì)圖紙 編號(hào) ： 本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 題目： （中文） 初中“希望杯”代數(shù)試題的研究 （英文） a Study of junior high school “hope cup” algebra examination 學(xué) 院 理學(xué)院 專(zhuān) 業(yè) 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 班 級(jí) 10 數(shù)基 學(xué) 號(hào) 106160031 姓 名 指導(dǎo)教師 完成日期 20xx 年 4 月 15 日 初中“希望杯”代數(shù)試題的研究 II 誠(chéng) 信 承 諾 我謹(jǐn)在此承諾：本人所寫(xiě)的畢業(yè)論文《 初中“希望杯”代數(shù)試題的研究 》均系本人獨(dú)立完成，沒(méi)有抄襲行為，凡涉及其他作者的觀點(diǎn)和材料，均作了注釋?zhuān)粲胁粚?shí)，后果由本人承擔(dān)。 horizons, inspire students to link mathematics and other courses. It improve students’ scientific thinking, innovation ability and practical ability, this paper through the method of searching literature on the grade seven and grade eight of the Hope Cup algebraic questions in recent years give a systematic classification, finishing induction。初中 和 高一和高二。將知識(shí)、能力的考察和思維能力的培養(yǎng)結(jié)合起來(lái)。在丁柯丹，胡奕偉的《中學(xué) 數(shù)學(xué)競(jìng)賽中的初等數(shù)論問(wèn)題 — 以希望杯初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題為例》一文，就是以希望杯中的 1622屆試題中出現(xiàn)數(shù)論內(nèi)容的比例和具體實(shí)例的分析作為引證去述說(shuō)。 在景敏，彭坤等人發(fā)表的《 20xx年中考數(shù)學(xué)試題分類(lèi)解析— 數(shù)與代數(shù)》一文中，表述了數(shù)與代數(shù)的 重要數(shù)學(xué)價(jià)值：能提高學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，培養(yǎng)數(shù)感、符號(hào)意識(shí)、運(yùn)算能力、推理能力、模型思想的能力?？梢钥吹揭粋€(gè)數(shù)據(jù)：初一的“希望杯”競(jìng)賽， 1試中代數(shù)試題（涉及到代數(shù)運(yùn)算的運(yùn)算）的比例最低大概在 2/3左右。 觀察 2試的試題（從 21屆到 24屆），發(fā)現(xiàn)比例會(huì)有所下 降。初二的試題中， 21屆 1試有 15道關(guān)于代數(shù)的。除此之外 都是代數(shù)題 （也包括極少 的 概率等其他類(lèi)型的題目）。而且初中階段的“數(shù)與代數(shù)”是《義務(wù)教育全日制初級(jí)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱（適用修訂版）》中“代數(shù)”內(nèi)容的擴(kuò)展。 研究目的 熟悉希望杯 代數(shù)試題的結(jié)構(gòu)，對(duì)代數(shù)試題中的數(shù)與式問(wèn)題，方程問(wèn)題 以及希望杯 1試 中的最值問(wèn)題進(jìn)行 整理 ，分類(lèi)，歸納， 總結(jié)并 適當(dāng)?shù)臄U(kuò)展或推廣。 研究方法 上網(wǎng)查閱近幾年的希望杯試題，結(jié)合查考文獻(xiàn)和資料，并在老師同 伴 的幫助下 搜集各種需要代數(shù)信息，進(jìn)行分類(lèi)，整理，解決，歸納 。 代數(shù) 式可以看成有理式和無(wú)理式，有理式又包括整式，分式 。 數(shù)與式 問(wèn)題的分類(lèi) 數(shù)與式的運(yùn)算包含了有理數(shù)的運(yùn)算，還有有理式的運(yùn)算（包括，整式，分式的運(yùn)算），還有科學(xué)計(jì)數(shù)。 數(shù)的 運(yùn)算 例 1. 計(jì)算： )(1|2|3 3)1()1(3 ???? ???? 【 選自第 24 屆 初 一 希望杯試題 】 例 計(jì)算： ????????????? ])2()5()83(3[})2(])(163[1{ 342 ； 【 選自第 22 屆 初 一 希 望杯試題 】 例 3. If m=2， then )](31[)41(])1([|12|)1()(22243mmmm??????????????? = 【 選自第 21 屆 初 一 希望杯試題 】 例 4. 2 2 2 2 2 2 2 21 2 3 4 ... 97 98 99 1001 2 3 4 ... 97 98 99 100? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?= 【 選自第 25 屆 初 一 希望杯試題 】 初中“希望杯”代數(shù)試題的研究 4 例 ： ??????? 122222 220xx20xx20xx ? ． 【 選自第 24 屆 初 二 希望杯試題 】 結(jié)合 以上 試題 可看出， 幾乎每年 都要考關(guān)于 代數(shù) 運(yùn)算的題目。沒(méi)什么 難點(diǎn)可言 。 比如 初一 25 屆 1 試 題目1. 2 2 2 2 2 2 2 21 2 3 4 ... 97 98 99 1001 2 3 4 ... 97 98 99 100? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?。而且是跟平方搭干。不管 最大 的數(shù)是 1000， 還是 要 分子 中 的最大數(shù)跟分母中的最大數(shù)一樣。 所以 原式 可以直接得出為 1. 這類(lèi)試題 的推 廣很顯然：按冪的遞減方式做減法。所以 在 擴(kuò)展此種類(lèi)型的題目時(shí)可以抓住這兩點(diǎn)。 寧波大學(xué)理學(xué)院本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 5 . 式的 運(yùn)算 之前 講過(guò) 代數(shù) 式 包 括有理式和 無(wú)理式 ，有理式包括整式和 分式 ，整式有多項(xiàng)式和單項(xiàng)式之分。 這方面 的題目不多。 看 一道 有 代表性的題目 ： 例 a=20xx， b= 20xx? ，則 ??? ab3b2a 22 ； 【 選自第 22 屆 初 一 希望杯試題 】 能 化出 ??? ab3b2a 22 （ a+b） (a+b+b)。明顯把握兩點(diǎn)。 得到 x+2y=6， 2x3y=10， 3x+4y=14。 【 選自第 21 屆 初 一 希望杯試題 】 這道 題目很簡(jiǎn)單，只要把握 二次 多項(xiàng)式的定義就可以 了 。 化簡(jiǎn) ： 32 3 3 2 3 21 3 3 1( 2 1 ) 8 ( x 1 ) ( x ) 8 ( x 3 x 3 x 1 ) ( x x x )2 2 4 8xx ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?????。 先 觀察這個(gè)式子，看能不能分解成 2 個(gè) 式子的乘積。 且 abc= a==3,c=的答案為 1/8. 還有 例 a， b 是實(shí)數(shù)，且 abba ????? 11 11 1 ，則 baab ????? 1111 的值時(shí) 【 選自第 24 屆 初 二 希望杯試題 】 重點(diǎn) 是知道 ba=b+1(a+1)。 則 代數(shù)式 1 1 1abc?? 的 值是 【 選自第 22 屆 初 二 希望杯試題 】 ? ? ? ? ? ?2 2 22 2 2 4 2 4 4 1 2 2 2 6 4 4 3 6 4 2 = 2a b c a b c a b c? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?而 ? ? ? ?2 2 0 a 2 1 0 2a a a a? ? ? ? ? ? ? ?。例 ： 1. 已知 x+3y+5z=0,2x+4y+7z= 2 2 22 2 2352 4 7x y zx y z?? 只要 用一個(gè)未知數(shù)代替其他兩個(gè)未知數(shù)就可以了。 涉及到 的 有 ： 直接算 極值，也有跟 質(zhì)數(shù) ， 倍約數(shù) ，絕對(duì)值，不等式等等 知識(shí)點(diǎn) 相結(jié)合 。所以bac 是 11 的 倍數(shù)。 因?yàn)檫@ a個(gè) 數(shù)有 一個(gè) 中間值 為 [a/2]+1.所以 這樣以這個(gè)數(shù)為 x， 其余的數(shù) 為 x+1,x1,x+2,x2?x+[a/2],x [a/2].全部 加起來(lái)就等于 A=a 的 平方 。 18能 除 盡或說(shuō)能被除盡的話 ， 另一組必須要有 12 和 只有 12 和 6 能分解 出 2 個(gè) 3 的 質(zhì)因數(shù)。所以正好把 14 放在 前一組。無(wú)疑 最大 值就是當(dāng) x=20xx， y=1 的 時(shí)候?！?選自第 21 屆 初 一 希望杯試題 】 先 把這七個(gè)數(shù) x1， x2， x3， x4， x5， x6， x7都寫(xiě)出來(lái) 。而且 要是 1 2 3x x x??最大 ，即 12xx? 最大 。因?yàn)?1213 2 00 2 10xx?? 。 但是這樣 的話就少了 就可以 把 最大的 51 個(gè) 數(shù)都加 要是最小的數(shù)加 1 的話 ，整個(gè)式子要加 只能從最大的數(shù)開(kāi)始加，然后加次大的。例 例 2 當(dāng) | x?2 |?| x?3 |的值最小時(shí)， | x?2 |?| x?3 |?| x?1 |的值最大是 ，最小是 。明顯1 2 1 2 1 1x x x x x? ? ? ? ? ? ? ? ?是 一個(gè)單調(diào)遞增的。 方程 的求解 方程 的求解 占的比例 在 整個(gè)方程的研究 中 還是占有很大的比例的。 首先 我們 先看方程（ 方程組 ） 的 涉及到解的問(wèn)題 例 312 ??? xx 的解是 或 ． 【 選自第 24 屆 初 二 希望杯試題 】 這道題 的難度相對(duì)應(yīng) 大 了。就要把 x 分成初中“希望杯”代數(shù)試題的研究 12 x 12和 1x2??。由題意可得： x1? [x] ? ? ? ? ?6 3 7 6 3 7 6 3 1 7x x x x x x? ? ? ? ? ? ? ? ?。 帶入 4x+7y 中 得到 26 52 213k? ? 。 所以 就 可以找到還有一個(gè)答案就是 x1= 21a?? ， x= 31aa?? . 方程 的 判別 方程 的判別即在于 給定 條件判定 結(jié)論 的合理性。前提是三個(gè)方程組沒(méi)有相 類(lèi)同 的（ 即不存 在只是 在未知數(shù)的系數(shù)上差距 N 倍的 方程組） 。 關(guān)于 系數(shù) 的判別 例 3. 若以 x 為未知數(shù)的方程 x?2a?4=0 的根是負(fù)數(shù)，則 (A) (a?1)(a?2)0 (B) (a?1)(a?2)0 (C) (a?3)(a?4)0 (D) (a?3)(a?4)0 。但是 它 無(wú)解。 工程 問(wèn)題 涉及 工程的問(wèn)題不多。 【 選自第 21 屆 初 一 希望杯試題 】 ? ?6 35 8 30 ? 40 ? 60 ? 65A B C D例 2 、 個(gè) 人 用 天 完 成 了 某 項(xiàng) 工 程 的 ， 如 果 再 增 加 工 作 效 率 相 同 的 個(gè) 人那 么 完 成 這 項(xiàng) 工 程 ， 前 后 共 用 的 天 數(shù) 是、 、 、 、 【 選自第 22 屆 初 一 希望杯試題 】 這 兩道題目明顯是同一個(gè)類(lèi)型的。我們 選取 幾道典型的做研究 3 . 3 0 4( 0 ) ABB例 甲 乙 兩 人 沿 同 一 條 路 騎 自 行 車(chē) 勻 速 從 站 到 站 ， 甲 需 要 分 鐘 ， 乙 需 要 分 鐘如 果 乙 比 甲 早 出 發(fā) 5 分 鐘 去 站 ， 則 甲 出 發(fā) 后 經(jīng) 多 少 分 鐘 可 以 追 上 乙 。甲追上 乙 所用 的 時(shí)間為 t。一共要 40 分鐘 。則 該 農(nóng)民一共賣(mài)了 只 雞 【 選自第 23 屆 初 一 希望杯試題 】 很明顯 的，丙賣(mài)了剩下一半又半只后正好沒(méi)了。 那么乙買(mǎi)了1 1 10 .5 0 .5 0 .52 4 4xx??? ? ? ????? 。 最后 看一下 例 6． A 商品的單價(jià)是 50 元， B 商品的單價(jià)是 60 元，幾所學(xué)校各付款 1220 元購(gòu)買(mǎi)了這兩種商品，任意 2 所學(xué)校購(gòu)買(mǎi)的 A 商品的數(shù)量都不同．則參加這次采購(gòu)的學(xué)校最多有 所 【 選 自第 24 屆 初二希望杯試題 附加題 】 這道題 考察的 點(diǎn) 就在于 A 商品 的數(shù)量和 B 商品 的數(shù)量都是整數(shù)。當(dāng) x 取哪些整數(shù)時(shí)， y 也是 整數(shù)。 所以明顯的 5x除以 6 的余數(shù) 要為 的 x 為 偶數(shù)。 寧波大學(xué)理學(xué)院本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 17 2 試 代數(shù) 試題研究 數(shù)與式 問(wèn)題的分類(lèi) 數(shù) 的運(yùn)算 數(shù) 的運(yùn)算涉及的題目不多。 所以 是 10 位數(shù) 。所以 考察 55xy? 。可得? ?2222222 1 2 ( n 1 ) 1 2 ( 2 0 1 0 2 0 1 1 1 ) 12 [ 2 0 1 0 ( 2 0 1 0 1 ) ] 1 4 2 0 1 0 2 0 1 1 14 2 0 1 0 ( 2 0 1 0 1 ) 1 4 2 0 1 0 4 2 0 1 0 12 2