【正文】 分。 其次，從希望杯本身的命題來看。也就是說。但是最低在 50%。包括 21屆在內，基本上出題的題型規(guī)律上都是 （不管是一試還是二試）： 選擇題 10道 3道左右是關于幾何的。所以縱觀希望杯 在初一 和 初二 的出題 比例 可以看出代數試題在希望杯中的 地位 是很高的。所以本論文研究的代數試題就是現今 《義務教育數學課程標準 (20xx 年版 )》 中四大領域之一的“數與代數”的內容。 以加深 對希望杯試題的理解和認識 。 寧波大學理學院本科畢業(yè)設計（論文） 3 1 試 代數 試題研究 我們知道 ： 數與式包括 有理數、無理數、數軸、有理數的大小比較、 倒數、 相反數、絕對值、乘方、開方 （平方根、立方根） 、近似數、有效數字、冪、科學記數法、 有理式（ 整式、分式、二次根式 ）、無理 式 等 。當然。在整體大概 1 試 代數 試題中， 占的比例還是很大的。 題目 不難 。但是 到 了 24,25 屆 ，無疑的。 很明顯 的這試題當中隱藏著簡化運算。所以 會 引起我們想到關于平方差的聯系。那么 結果 就是 1. 初二 第 24 屆 的 12 題 更難，更靈活。不管 這個 冪多大。 可以 注重到數的拆分。 之前的實數 運算一般是無條件運算。但是跟 上面 的實數運算類似， 即 所給的條件是很直白的，沒有 多少 隱藏式的條件，直接給你需要的，并不需要再從條件當中挖很多隱藏的信息，因 此 跟上面實數的研究相比 只是多了一個多項式的外殼， 實質 上還是 只涉及到運算和運算方法。 就 可以找到答案 為 20xx 了 （ 2） 有條件求值 首先來看 在有條件運算中，條件本身就 已經告訴了 我們很多東 西，甚至只要讀懂條件，就可以 知道 答案了。兩個 括號 里面的多項式的和為 2 3 4 0 , 2 a 3 b 4 c 5 0a b c? ? ? ? ? ? ? ?明顯 2 個 方程解不出 3 個 解。得 x==2 所以 就算出來了 答案 為 這是充分利用 條件 ， 并 沒有對要求的多項式進行很多的處理。但 這也是 一種題型可以參考。答案 很明顯 了 。發(fā)現 可以 ：? ? ? ? ? ? ? ?6 9 1 0 1 6 6 9 = 1 0 1 6 3 a 2 3 5 2 3 1 2 3 3 5 1a b a b a b a b b b b a? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?一 ＋ ＋因為 a， b 是 整數， 所以 23b? 和 35a? 只能 為 a=2,b= a+b=4. 例 6 很簡單的 假設 這兩個是相鄰的平方數，那么兩個 相鄰數 的平方差為 89， 可得這兩個數為 44,45,因為 44 的 平 方 跟 45 的 平 方 差 明顯 的 x=45*4513=20xx. 關于 這一類根據 處理 條件 就 可以找到答案的類型，把握住條件本身的意義和它跟我們要求的 有 什么直接或間接 的 聯系 很重要 。 然后 abba ????? 11 11 1 兩邊 都乘以 【 b+1(a+1)】。 所以 a=== 為 1。 比如 用 聯立 兩個方程，用 z 把 x 和 y 表示 出來。 在 分類中也可以嘗試分為 離散型 和連續(xù)型的。要 讓 abc 最大 。 例 20 的正偶數分成兩組，使得第一組中數的乘積能被第二組中數的乘積整除，則商的最小值是 ． 【 選自第 24 屆 初 二 希望杯試題 】 明顯 的 14=2* 7 是 除不盡的。而 20 和 10 也 必須分開進入 2 組 。 寧波大學理學院本科畢業(yè)設計（論文） 9 那 相除 就剩下 7了 。答案 是 的話是 x=4,y=503(反過來 也可以 )。 1 2 3 4 5 6 7x x x x x x x? ? ? ? ? ?= 1 2 1 2132 0 1 0 1 0 0 . 5213 020x x x x? ? ???。而 1 2 1 2 213 ( ) 7 23 101 20 0x x x x x??? ? ?。 所以可得 1x =50， 因為小于 等于 60 除以 20 能 出來 的 最大的數就是 50， 那么 2x =68， 所以 1 2 3x x x??=236 例 ,x2,x3,? ,x100 是自然數，且 x1＜ x2＜ x3＜? x100,若 x1＋ x2＋?＋ x100=7001，那么x1＋ x2＋?＋ x50的最大值是 ( ) 【 選自第 23 屆 初 二 希望杯試題 】 初中“希望杯”代數試題的研究 10 假設 這 100 個 數是連續(xù)自然數。 依次 類推。【 選自第 21 屆 初 一 希望杯試題 】 例 倍 數為 20xx，這兩個數的最大公約數是最小的質數， 則這兩個數的和的最大值是 ，這兩個數的差的最小值是 【 選自第 21 屆 初 一 希望杯試題 】 這 兩道題目都不難 ， 第一道只要把握 x 的 范圍是在 23x??之間 然后取極值就可以了。所以 最小 值為 m 的最大值 為 3. 例 00 ?????? acbacba ， ，則 ac 的最大值是 ，最小值是 【 選自第 24 屆 初 二 希望杯試題 】 這道題 重點在運用 大小 關系 abc??。它 涉及 到 方程 （ 方程組 ） 的 求解 和與 解有關的運算 ， 方程根的相關運算和 函數求值 運算。 因為 要涉及分類討 論。對于 2 1 3xx? ? ? ， 將 x 分類 后可得：12 1 3212 1 32x x xx x x? ??? ? ? ? ????? ? ?? ??? ? ? ? ? ???? ??? 得 x 無解。 得到 方程組 ? ?6 3 7 06 3 1 7 0xxxx? ? ???? ? ? ? ??? 。 K 的 值也就出來了。一般 是 選擇題居多。 明顯 的 ：由 第三個 方程減去第一個方程得到 ： xz=30。 【 選自第 21 屆 初 一 希望杯試題 】 明顯 x=2a4 a 答案很直觀就是 D 初中“希望杯”代數試題的研究 14 例 關于 x,y 的 方程組 x+ay+1=020bx y a?? ? ? ??沒有 實數解， 求 ab 的 值 【 選自第 22 屆 初 二 希望杯試題 】 可以 看出要使方程無解。所以只要滿足 ab=2 就 可以。但是很 有 意思的是在 21 屆 初一的工程問題和 22 屆 1式的工程幾乎是一樣的。 以 前面一 題 為例：設每個人的每天的工作效率是 x，總工程完成的天數是 y， 還需要完成的天數的 z。 【 選自第 21 屆 初 一 希望杯試題 】 ? ?3 0 4 0 ( ) ABBA B C D例 4 、 甲 乙 兩 人 沿 同 一 路 線 騎 車 勻 速 從 到 ， 甲 需 要 分 鐘 ， 乙 需 要 分 鐘 ，如 果 乙 比 甲 早 出 發(fā) 6 分 鐘 ， 則 甲 追 上 乙 以 后 ， 乙 再 經 過 分 鐘 到 達 ；、 25 、 20 、 16 、 10 【 選自第 22 屆 初 一 希望杯試題 】 很 明顯的這兩道題目是 很 相似的。 可得 ： x x x 630 40 40tt? ? ?。那么還剩下 16 分鐘 。所以 丙 買的時候只剩下 1 只 雞。 剩下 1 1 1 30 .52 4 4 414xx x??? ? ? ????? ?。所以。那么就可以保證等式的成立。所以 5x 的 個位數都為 5x 除以 6 余數 要為 2.那么 只有可能是 6 乘以 一個數個位數為 6*8=48 還有 3*6=18。比如 例 ： ??????? 20 1120 1320 1120 1220 1320 1120 12 23 【 選 自第 23 屆 初 一 希望杯試題 】 ? ? ? ?? ? ? ?32222 0 1 2 2 0 1 1 2 0 1 3 2 0 1 2 2 0 1 1 2 0 1 3 2 0 1 1= 2 0 1 2 2 0 1 2 2 0 1 3 2 0 1 1 2 0 1 1 2 0 1 1 2 0 1 3= 2 0 1 2 2 0 1 2 2 0 1 2 + 1 2 0 1 2 1 2 0 1 1 2= 2 0 1 2 2 0 1 1 2 = 2 0 1 0? ? ? ? ? ???? ???? 例 2．計算 912 52 ? ，得數是 ( ) 【 選自第 21 屆 初二希望杯試題 】 (A)9 位數． (B) 10 位數． (C) 11 位數． (D) 12 位數． 化簡 12 925? 的 重點是在于合并。 化 簡 ： 4 7 4 7? ? ?= 【 選自第 23 屆 初二希望杯試題 】 明顯 將式子平方 得 ：? ? 24 7 4 7 4 7 4 7 2 4 7 4 7 8 2 3 2? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?所以 原式為 2 式 的運算 在 代數式的運算中， 2 試 試題沒有無條件求值，都是有條件求值，在有條件求值中，分成三類， 涉及 到整式的運算，涉及到根式的 運算，涉及到分式的運算。 可以聯想 ? ?? ?2 2 3 3x yxy??。 【 選自第 24 屆 初二希 望杯試題 】 要是 26a? 是 整數。 2 24x? 可以 為 x= 。 但 是 因為分母不能為 9 18xy?? 不能 為 y 不能 為 y=0 時， x= 是符合題意的。使之 求倒 得： 1 1 13abab a b? ? ? ?， 1 1 14cbcb c b? ? ? ?， 1 1 15caca c a? ? ? ?而 要求的式子abcab ac bc??的 倒數 1 1 1ab ac bcabc a b c?? ? ? ?= 1 1 1 12 3 4 5????????=47/abcab ac bc?? =120/47 在 2 試 的試題當中出現了 2 道 關于代數的證明題。 因為 999=37* 在 999+1 的 三次展開式? ? 3 329 9 9 1 9 9 9 3 9 9 9 3 9 9 9 1? ? ? ? ? ? ?中 ， 多 了一個 在 ? ?337 1? 的 展開式中同 樣是多了一 個 9310 38 2??正好 可以 整除 37 例 cba, 都是整數，如果對任意整數 x，代數式 cbxax ??2 的值都能被 3 整除。所以 c 能 被 3 整除 。因為 當 x=1 時 。 寧波大學理學院本科畢業(yè)設計（論文） 21 方程 問題的分類 方程 的 求 解 方程的 解 涉及 到方程的求解和 與 方程的解有關的運算。當然 ， 有能力可以做。因為 另一個 式子 是 已定的式子的倒數。解得 x 有 3 個 解710052xxx? ??? ???? ?? 例 y=ax與 函數 y=2x/3+b的 圖像入圖 5所示 ，則關于 x,y的 方程組 03 2 3ax yy x b???? ???的 解是 【 選自第 22 屆初二希望杯試題 】 只要 把 交點 （ 1,2） 帶入 兩個函數中可以得到 a=2,b=4/3,所以 方程組3 2 3ax y oy x b??? ?? ??? 203 2 4xyyx???? ???。 | 1| | 2 1|xx? ? ? =x+12x+1=x+2=1,x= 1x1/ 不符合條件。 方程 的應用 在 方程的應用中仍然是一個很 重要 的 點 。但是側重點在行程問題以及相關問題上 追及 問題 例 、 B、 C 三輛車在同一條直路上同向行駛，某一時刻， A 在前， C 在后， B 在 A、C 正中間 . 10 分鐘后， C 追上 B。 又過了 5 分鐘 ， C 追上 A， 可得 15z10x= 10 1015 15 2z y mz x m?????得 15（ yx） = B 追上 A 總共 的 時間為 t， 那么 （ yx） t= 15 x my x t m???? ??? （ ）（ ）得 t= 再過 15 分鐘， B 追上 A。 【 選自第 22 屆初一希望杯試題 】 寧波大學理學院本科畢業(yè)設計（論文） 23 由 條件 每隔 131分鐘 相遇一次。 所以假設 在過了 t 秒 后他們相遇。 所以聯立可得+*3t/4=2k*