【正文】 程為 y－ 5=k(x－ 4),即 kx－ y＋ 5－ 4k=(2,0),r= ,即 1 |4502| 2????k kk=2,k=2021 . 所以切線方程為 21x－ 20y＋ 16= x=4. 點(diǎn)評(píng) :過(guò)圓外已知點(diǎn) P(x,y)的圓的切線必有兩條 ,一般可設(shè)切線斜率為 k,寫(xiě)出點(diǎn)斜式方程 ,再利用圓心到切線的距離等于半徑 ,寫(xiě)出有 關(guān) k 的方程 .求出 k,因?yàn)橛袃蓷l ,所以應(yīng)有兩個(gè)不同的 k值 ,當(dāng)求得的 k值只有一個(gè)時(shí) ,說(shuō)明有一條切線斜率不存在 ,即為垂直于 x 軸的直線 ,所以補(bǔ)上一條切線 x=x1. 變式訓(xùn)練 求過(guò)點(diǎn) M(3,1),且與圓 (x1)2+y2=4相切的直線 l的方程 . 解 :設(shè)切線方程為 y1=k(x3),即 kxy3k+1=0, 因?yàn)閳A心 (1,0)到切線 l的距離等于半徑 2, 所以22 )1(|13| ?? ??k kk =2,解得 k=43 . 所以切線方程為 y1=43 (x3),即 3x+4y13=0. 當(dāng)過(guò)點(diǎn) M 的直線的斜率不存在時(shí) ,其方程為 x=3,圓心 (1,0)到此直線的距離等于半徑 2,故直線 x=3也符合題意 . 所以直線 l的方程是 3x+4y12=0或 x=3. 例 3 (1)已知直線 l： y=x+b與曲線 C： y= 21 x? 有兩個(gè)不同的公共點(diǎn) ,求實(shí)數(shù) b的取值范圍； (2)若關(guān)于 x的不等式 21 x? ＞ x+b解集為 R,求實(shí)數(shù) b的取值范圍 . 圖 1 解 :(1)如圖 1(數(shù)形結(jié)合 ),方程 y=x+b表示斜率為 1,在 y軸上截距為 b的直線 l； 方程 y= 21 x? 表示單位圓在 x軸上及其上方的半圓 , 當(dāng)直線過(guò) B點(diǎn)時(shí) ,它與半圓交于兩點(diǎn) ,此時(shí) b=1,直線記為 l1； 當(dāng)直線與半圓相切時(shí) ,b= 2 ,直線記為 l2. 直線 l要與半圓有兩個(gè)不同的公共點(diǎn) ,必須滿足 l在 l1與 l2之間 (包括 l1但不包括 l2), 所以 1≤b ＜ 2 ,即所求的 b的取值范圍是［ 1, 2 ). (2)不等式 21 x? ＞ x+b恒成立 ,即半圓 y= 21 x? 在直線 y=x+b上方 , 當(dāng)直線 l過(guò)點(diǎn) (1,0)時(shí) ,b=1,所以所求的 b的取值范圍是 (∞, 1). 點(diǎn)評(píng) :利用數(shù)形結(jié)合解題 ,有時(shí)非常方便直觀 . （四） 知能訓(xùn)練 本節(jié)練習(xí) 4. （五） 拓展提升 圓 x2+y2=8內(nèi)有一點(diǎn) P0(1,2),AB為過(guò)點(diǎn) P0且傾斜角為 α 的弦 . (1)當(dāng) α= 43? 時(shí) ,求 AB的長(zhǎng)； (2)當(dāng) AB的長(zhǎng)最短時(shí) ,求直線 AB的方程 . 解 :(1)當(dāng) α= 43? 時(shí) ,直線 AB的斜率為 k=tan43? =1,所以直線 AB的方程為 y2=(x+1),即 y=x+1. 解法一： (用弦長(zhǎng)公式 ) 由????? ?? ??? ,8,122 yxxy 消去 y,得 2x22x7=0, 設(shè) A(x1,y1),B(x2,y2),則 x1+x2=1,x1x2=27 , 所以|AB|= 2)1(1 ?? |x1x2|= 2 178。 作判斷：當(dāng) d＞ r時(shí) ,直線與圓相離；當(dāng) d=r 時(shí) ,直線與圓相切 。2=1 ＞ 0,所以直線 l 與圓相交 ,有兩個(gè)公共點(diǎn) .