【正文】 (d=r),所以 d=21|2| kk? =1,解得 k=177。r 21 k? ,求得切線方程是 y=kx177。 33 . 點(diǎn)評： 在涉及到直線被圓截得的弦長時 ,要巧妙利用圓的有關(guān)幾何性質(zhì) ,如本題中的Rt△BOC, 其中 |OB|為圓半徑 ,|BC|為弦長的一半 . 變式訓(xùn)練 已知 x,y滿足 x2+y22x+4y=0,求 x2y的最大值 . 活動 :學(xué)生審題 ,再思考討論 ,從表面上看 ,此問題是一個代數(shù) ,可用代數(shù)方法來解決 .但細(xì)想后會發(fā)現(xiàn)比較復(fù)雜 ,它需把二次降為一次 .教師提示學(xué)生利用數(shù)形結(jié)合或判別式法 . 解法一 :(幾何解法 )：設(shè) x2y=b,則點(diǎn) (x,y)既在直線 x2y=b 上 ,又在圓 x2+y22x+4y=0上 ,即直線 x2y=b和圓 x2+y22x+4y=0有交點(diǎn) ,故圓心 (1,2)到直線的距離小于或等于半徑 , 所以5|5| b?≤ 5 .所以 0≤b≤10, 即 b的最大值是 10. 解法二 :(代數(shù)解法 )：設(shè) x2y=b,代入方程 x2+y22x+4y=0,得 (2y+b)2+y22(2y+b)+4y=0,即 5y2+4by+b22b=0. 由于這個一元二次方程有解 , 所 以 其 判 別 式Δ=16b 220(b22b)=40b4b2≥0, 即 b210b≤0,0≤b≤10. 所以求出 b的最大值是 10. 點(diǎn)評 :比較兩個解法 ,我們可以看到 ,數(shù)形結(jié)合的方法難想但簡單 ,代數(shù)法易想但較繁 ,要多練習(xí)以抓住規(guī)律 . 例 3 已知圓 C： (x－ 1)2＋ (y－ 2)2=25,直線 l： (2m+1)x+(m+1)y－ 7m－ 4=0(m∈ R). (1)證明不論 m取什么實(shí)數(shù) ,直線 l與圓恒交于兩點(diǎn)； (2)求直線被圓 C截得的弦長最小時 l的方程 . 活動： 學(xué)生先思考 ,然后討論 ,教師引導(dǎo)學(xué)生考慮問題的方法 ,由于直線過定點(diǎn) ,如果該定點(diǎn)在圓內(nèi) ,此題便可解得 .最短的弦就是與過定點(diǎn)與此直徑垂直的弦 . 解 :(1)證明： 因?yàn)?l的方程為 (x+y－ 4)+m(2x+y－ 7)= m∈ R,所以??? ??? ??? .04 ,072 yx yx,解得??? ??,1,3yx即 l恒過定點(diǎn) A(3,1).因?yàn)閳A心 C(1,2),｜ AC｜ = 5 ＜ 5(半徑 ),所以點(diǎn) A在圓 C內(nèi) ,從而直線 l恒與圓 C相交于兩點(diǎn) . (2)弦長最小時 ,l⊥AC, 由 kAC=－21,所以 l的方程為 2x－ y－ 5=0. 點(diǎn)評： 證明直線與圓恒相交 ,一是可以將直線與圓的方程聯(lián)立方程組 ,進(jìn)而轉(zhuǎn)化為一元二次方程 ,根據(jù)判別式與 0的大小來判斷 ,這是通性通法 ,但過程繁瑣 ,計(jì)算量大；二是說明直線過圓內(nèi)一點(diǎn) ,由此直線與圓必相交 .對于圓中過 A點(diǎn)的弦 ,以直徑為最長 ,過 A點(diǎn)與此直徑垂直的弦為最短 . 變式訓(xùn)練 求圓 x2+y2+4x2y+4=0上的點(diǎn)到直線 y=x1的最近距離和最遠(yuǎn)距離 . 解 :圓方程化為 (x+2)2+(y1)2=1, 圓心 (2,1)到直線 y=x1的距離為 d=22 )1(1|112| ?? ??? =2 2 , 所以所求的最近距離為 2 2 1,最遠(yuǎn)距離為 2 2 +1. （四） 知能訓(xùn)練 l:y=2x－ 2,圓 C:x2＋ y2＋ 2x＋ 4y＋ 1=0,請判斷直線 l與圓 C的位置關(guān)系 ,若相交 ,則求直線 l被圓 C所截的線段長 . 活動 :請大家獨(dú)立思考 ,多想些辦法 .然后相互討論 ,比較解法的不同之處 .學(xué)生進(jìn)行解答 ,教師巡視 ,掌握學(xué)生的一般解題情況 . 解法一： 由方程組??? ????? ?? .0142,2222 xxyxxy 解得?????????????????,4,154,53yxyx或