新人教a版高中數(shù)學(xué)選修4-5用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式2篇(留存版)
【正文】 歸納法的奠基應(yīng)是 n=2時命題正確的驗證， n=1時的驗證只是對命題的補充證明，并非為奠基 .該命題嚴(yán)格的證明過程應(yīng)該是： （ 1） n=1,2時命題正確， （ 2） n≥2時，用數(shù)學(xué)歸納法證明 假設(shè) n=k(k∈ N且 k≥2)時命題正確，證明 n=k+1時命題也正確 . 綜合（ 1）、（ 2） ,知 n為一切自然數(shù)時命題正確 . 溫馨提示 對于一個 n≥n0(n∈ N)的真命題，如果用數(shù)學(xué)歸納法證明，第一步總是 n=n0時命題正 確的驗 證 .這種想法是不對的，到底 “奠基 ”步中從哪個數(shù)字開始，要看問題的條件 . 類題演練 3 若 ai0(i=1,2,…,n), 且 a1+a2+…+a n=1, 求證： a12+a22+…+a n2≥n1(n∈ N且 n≥2). 證明： (1)n=2時， ∵ a1+a2=1,∴ a12+a22=a12+(1a1)2=2(a121)2+21≥21. ∴ n=2時命題 正確 . （ 2）假設(shè) n=k(k≥2)時命題正確，即如果 a1+a2+…+a k=1且 ai0(i=1,2,…,k), 那么 a12+a22+…+a k2≥k1,則 n=k+1時， ∵ a1+a2+…+a k+ak+1=1, ∴ a1+a2+…+a k=1ak+1. ∵ 0ak+11,∴ 01ak+11. ∴ k個正數(shù)的和11211 111??? ?????? kkkk aaaaaa ?=1,從而由歸納假設(shè)得 kaaaaaa kkkk 1)1()1()1( 21212211 ??????? ??? ?, 即 a12+a22+…+a k2≥k1 (1ak+1)2,從而有 a12+a22+…+a k2+ak+12≥k1 (1ak+1)2+ak+12. 下面只要證明 k1 (1ak+1)2+ak+12≥ 11?k , 即證 (k+1)2ak+122(k+1)ak+1+1≥0， 即證［ (k+1)ak+11］ 2≥0,∴ 上式成立 . 故 n=k+1時命題正確 . 變式提升 3 設(shè) x0， x≠1,求證： （ 1+xn） (1+x)n2n+1xn(n∈ N). 證明：（ 1） n=1時，左邊 =(1+x)2,右邊 =4x, ∵ (1+x)24
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