新人教a版高中數(shù)學(xué)選修4-5用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式2篇-免費(fèi)閱讀
【正文】 (1+ 21 +…+ k1 )≥k2，則 n=k+1時(shí)， 左邊 =［ 1+2+…+k+(k+1) ］［ 1+21 +…+ 111 ??kk ］ =(1+2+…+k) 當(dāng) n=k+1時(shí)，左邊 13 13121 ?????? kkk ? ???????????? 2111)43 133 123 1( kkkkk 33 243 123 11)1143 133 123 1(13 1 ????????????????? kkkkkkkk )43)(33)(23( 21 ????? kkk1=右邊 . 所以對(duì)一切自然數(shù) n不等式均成立 . 溫馨提示 解此題的關(guān)鍵是湊出歸納假設(shè)的形式，這里要把握不等式左邊式子的結(jié) 構(gòu)特征，明確從 n=k到 n=k+1增減的項(xiàng) . 各個(gè)擊破 類題演練 1 對(duì)于 n∈ N，試比較 2n與 n2的大小 . 解析： 先驗(yàn)算 n=1時(shí)， 2nn2， n=2和 n=4時(shí)， 2n=n2,n=3時(shí) ,2nn2. 而當(dāng) n=5時(shí)，有 2nn2,猜測(cè)對(duì) n≥5有 2nn2. 用數(shù)學(xué)歸納法證明如下： （ 1）當(dāng) n=5時(shí)，已證 . （ 2）設(shè)當(dāng) n=k(k≥5)時(shí)， 2kk2且 k22k+1. 當(dāng) n=k+1時(shí)， 2k+1=2假設(shè)當(dāng) n=k時(shí)，有 ak k2? 成立 .（下證 ak+1 12??k 成立） 設(shè) f(x)= xx?22 ,易知 f(x)在 (2,2)內(nèi)是單調(diào)遞增的，又 ak+1f(ak),由歸納假設(shè) ,可知 ak k2? , ∴ ak+1f(ak)f( k2? )=1222)2(2??????kkk ,即當(dāng) n=k+1時(shí)， ak+112??k 成立 .故對(duì)任意 n∈ N，an n2? 成立 . 變式提升 2 設(shè) a,b∈ R*,n∈ N*,求證： 2 nn ba ? ≥( 2ba? )n. 證明： ① n=1時(shí)，左邊 =右邊 = 2ba? ,原不等式成立 . ② 設(shè) n=k時(shí) ,原不等式成立，即 2 kk ba ? ≥( 2ba? )k成立 . ∵ a,b∈ R+,∴ 2ba? 2k+1xk(1+xk+1)(1+x)k+12x(1+xk)(1+x)k =(1+x)k［ (1+x)(1+xk+1)2x(1+xk)］ =(1+x)k(1+x+xk+1+xk+22x2xk
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