【正文】 y2a2 ＝ x1x2＋14( kx1＋ 3 )( kx2＋ 3 ) ＝ (1 ＋k24) x1x2＋3 k4( x1＋ x2) ＋34 ＝k2＋ 44( －1k2＋ 4) ＋3 k4OA→|，所以 ( x － 1) 2 ＋ y 2 ＝ x 2 ，整理得 y 2 ＝ 2 x － 1. 6 ． ( 2 0 1 4 x 1 ＋ x 2y 1 ＋ y 2＝－b2a2 x 0y 0. 這樣就建立了中點(diǎn)坐標(biāo)與直線的斜率之間的關(guān)系，從而使問(wèn)題能得以解決 . 軌跡問(wèn)題 已知橢圓方程為 x2＋y24＝ 1 ，過(guò)點(diǎn) M ( 0 ,1 ) 的直線交橢圓于點(diǎn) A 、 B ， O 是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn) P 滿足 OP→＝12( OA→＋ OB→) ，當(dāng)直線 l 繞點(diǎn) M 旋轉(zhuǎn)時(shí)，求動(dòng)點(diǎn) P 的軌跡 方程 ． [ 解析 ] 設(shè) P ( x ， y ) ， A ( x 1 ， y 1 ) ， B ( x 2 ， y 2 ) ． ∵ OP→＝12( OA→＋ OB→) ， ∴ x ＝x 1 ＋ x 22， y ＝y(tǒng) 1 ＋ y 22. ∵ 點(diǎn) A 、 B 在橢圓上， ∴ x21＋y214＝ 1 ① ， x22＋y224＝ 1 ② ， ① － ② 得 ( x1＋ x2)( x1－ x2) ＋14( y1＋ y2)( y1－ y2) ＝ 0 ③ ， 當(dāng) x1≠ x2時(shí)，y1－ y2x1－ x2＝y(tǒng) － 1x，又 x1＋ x2＝ 2 x ， y1＋ y2＝ 2 y ， 代入 ③ 式，得 4 x2＋ y2－ y ＝ 0. 當(dāng) x1＝ x2時(shí)，點(diǎn) P 與坐標(biāo)原點(diǎn) O 重合，滿足題意 ． 故動(dòng)點(diǎn) P 的軌跡方程為 4 x2＋ y2－ y ＝ 0. [ 方法規(guī)律總結(jié) ] 求軌跡方程常用的方法有直譯法、定義法、代入法、參數(shù)法、交軌跡等 . 定點(diǎn) 、 定值 、 最值問(wèn)題 ( 2 0 1 4 撫順市六校聯(lián)合體期中 ) 已知點(diǎn) F 1 、 F 2 分別是雙曲線x2a2 －y2b2 ＝ 1 的左、右焦點(diǎn)，過(guò) F 1 且垂直于 x 軸的直線與雙曲線交于 A 、 B 兩點(diǎn)，若 △ A BF 2 為銳角三角形，則該雙曲線的離心率 e 的取值范圍是 _ _ _ _ _ _ _ _ ． [ 答案 ] ( 1, 1 ＋ 2 ) [ 解析 ] ∵ 雙曲線關(guān)于 x 軸對(duì)稱(chēng)， ∴ A 、 B 兩點(diǎn)關(guān)于 x 軸對(duì)稱(chēng)， ∴ |F 2 A |＝ |F 2 B |， △ ABF 2 為銳角三角形 ? ∠ AF 2 B 為銳角 ?∠ AF 2 F 1 4 5 176。n ＝ 0 且橢圓的離心率 e ＝32，短 軸長(zhǎng)為 2 ， O 為坐標(biāo)原點(diǎn) ． ( 1 ) 求橢圓的方程； ( 2 ) 若直線 AB 過(guò)橢圓的焦點(diǎn) F (0 ， c )( c 為半焦距 ) ，求直線AB 的斜率 k 的值； ( 3 ) 試問(wèn)： △ AO B 的面積是否為定值？如果是，請(qǐng)給予證明；如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由 ． [ 解析 ] ( 1 ) 2 b ＝ 2 ， b ＝ 1 ， e ＝ca＝a2－ b2a＝32? a ＝ 2 ， c＝ 3 . 橢圓的方程為y24＋ x2＝ 1. ( 2 ) 由題意，設(shè) AB 的方程為 y ＝ kx ＋ 3 ， 由????? y ＝ kx ＋ 3 ，y24＋ x2＝ 1 ，消去 y 得 ( k2＋ 4) x2＋ 2 3 kx － 1 ＝ 0 ， ∴ x1＋ x2＝－ 2 3 kk2＋ 4， x1x2＝－ 1k2＋ 4， 由已知 a ＝ 2 ， b ＝ 1 ， ∴ m 陜西文， 2 0 ) 已知橢圓x2a2 ＋y2b2 ＝ 1( a b 0 ) 經(jīng)過(guò)點(diǎn) (0 ， 3 ) ，離心率為12，左右焦點(diǎn)分別為 F1( － c, 0) ， F2( c, 0) ． ( 1 ) 求橢圓的方程； ( 2 ) 若直線 l： y ＝－12x ＋ m 與橢圓交于 A 、 B 兩點(diǎn)，與以 F1F2為直徑的圓交于 C 、 D 兩點(diǎn)，且滿足|AB ||CD |＝5 34，求直線 l 的方程． [ 解析 ] ( 1 ) 由題設(shè)知??????? b ＝ 3 ，ca＝12，b2＝ a2－ c2， 解得 a ＝ 2 ， b ＝ 3 ， c ＝ 1 ， ∴ 橢圓的方程為x24＋y23＝ 1. ( 2 ) 由題設(shè)，以 F1F2為直徑的圓的方程為 x2＋ y2＝ 1 ， ∴ 圓 心到直線 l 的距離 d ＝2| m |5， 由 d 1 得 |m |52. ( *) ∴ |CD |＝ 2 1 － d2＝ 2 1 －45m2＝255 － 4 m2. 設(shè) A ( x1， y1) ， B ( x2， y2) ， 由????? y ＝－12x ＋ m ，x24＋y23＝ 1 ，得 x2－ mx ＋ m2－ 3 ＝ 0 ， 由求根公式可得 x1＋ x2＝ m ， x1x2＝ m2－ 3. ∴ |AB |＝ [1 ＋ ? －12?2][ m2－ 4 ? m