20xx北師大版選修1-1高中數(shù)學(xué)第二章圓錐曲線與方程ppt章末歸納總結(jié)課件(完整版)
【正文】 k2? ? x 1 ＋ x 2 ?2－ 4 x 1 x 2 或 |P 1 P 2 |＝ ? 1 ＋1k2 ? ? y 1 ＋ y 2 ?2－ 4 y 1 y 2 . “中點(diǎn)弦 ” 問題 焦點(diǎn)分別為 ( 0 , 5 2 ) 和 (0 ，－ 5 2 ) 的橢圓截直線 y＝ 3 x － 2 所得弦的中點(diǎn)橫坐標(biāo)為12，求此橢圓的方程 ． [ 分析 ] 解法一：設(shè)出橢圓的方程，再與直線方程聯(lián)立消去 y ，由中點(diǎn)橫坐標(biāo)為12建立方程，再與 a2－ b2＝ c2解方程組即可得 a2， b2. 解法二：由 “ 點(diǎn)差法 ” 求解 ． [ 解析 ] 解法一：設(shè)橢圓的方程為x2b2 ＋y2a2 ＝ 1( a b 0) ，且 a2－ b2＝ (5 2 )2＝ 50. ① 由????? x2b2 ＋y2a2 ＝ 1y ＝ 3 x － 2， 消去 y 得 ( a2＋ 9 b2) x2－ 12 b2x ＋ 4 b2－ a2b2＝ 0. ∵x1＋ x22＝12， ∴6 b2a2＋ 9 b2＝12， 即 a2＝ 3 b2.② ， 此時(shí) Δ 0. 由 ①② 得 a2＝ 75 ， b2＝ 25 ， ∴ 橢圓的方程為x225＋y275＝ 1. 解法二：設(shè)橢圓方程為y2a2 ＋x2b2 ＝ 1( a b 0 ) ， 直線 y ＝ 3 x － 2 與橢圓交于 A 、 B 兩點(diǎn)，且 A ( x1， y1) ， B ( x2，y2) ，則????? y21a2 ＋x21b2 ＝ 1 ， ①y22a2 ＋x22b2 ＝ 1. ② ① － ② 得? y1＋ y2?? y1－ y2?a2 ＝－? x1＋ x2?? x1－ x2?b2 即y1－ y2x1－ x2＝a2? x1＋ x2?－ b2? y1＋ y2?. ∵ kAB＝ 3 ， AB 中點(diǎn)為 ( x0， y0) ， x0＝12， y0＝－12， ∴ 3 ＝－a2b2 2 122 ? －12?＝a2b2 ，即 a2＝ 3 b2. 又 a2－ b2＝ (5 2 )2＝ 5 0 ， ∴ a2＝ 75 ， b2＝ 2 5 . ∴ 橢圓方程為y275＋x225＝ 1. [ 方法規(guī)律總結(jié) ] 關(guān)于中點(diǎn)弦問題，一般采用兩種方法解決： ( 1 ) 聯(lián)立方程組，消元，利用根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行設(shè)而不求，從而簡化運(yùn)算 . ( 2 ) 利用 “ 點(diǎn)差法 ” 求解，即若橢圓方程為x2a2 ＋y2b2 ＝ 1 ，直線與橢圓交于點(diǎn) A ( x1， y1) 、 B ( x2， y2) ，且弦 AB 的中點(diǎn)為 M ( x0，y0) ，則????? x21a2 ＋y21b2 ＝ 1 ， ①x22a2 ＋y22b2 ＝ 1. ② 由 ① － ② 得 a2( y21 － y22 ) ＋ b2( x21 － x22 ) ＝ 0 ， ∴y 1 － y 2x 1 － x 2＝－b2a2 數(shù)學(xué) 路漫漫其修遠(yuǎn)兮 吾將上下而求索 北師大版 河北衡水中學(xué)模擬 ) 已知橢圓 C ：x2a2 ＋y2b2 ＝1( a b 0 ) 過點(diǎn) ( 2 , 0 ) ，且橢圓 C 的離心率為12. ( 1 ) 求橢圓 C 的方程； ( 2 ) 若動點(diǎn) P 在直線 x ＝－ 1 上，過 P 作直線交橢圓 C 于 M ，N 兩點(diǎn)，且 P 為線段 MN 中點(diǎn)，再過 P 作直線 l⊥ MN . 試問直線l 是否恒過定點(diǎn)，若是則求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)，若不是請說明理由 ． [ 解析 ] ( 1 ) 因?yàn)辄c(diǎn) ( 2 , 0 ) 在橢圓 C 上，所以4a2 ＋0b2 ＝ 1 ， 所以 a2＝ 4 ， 因?yàn)闄E圓 C 的離心率為12，所以ca＝12， 即a2－ b2a2 ＝14， 解得 b2＝ 3 , 所以橢圓 C 的方程為x24＋y23＝ 1. ( 2 ) 設(shè) P ( － 1 ， y0) ， y0∈ ( －32，32) ， ① 當(dāng)直線 MN 的斜率存在時(shí)，設(shè)直線 MN 的方程為 y － y0＝ k ( x ＋ 1) ， M ( x1， y1) ， N ( x2， y2) ， 由????? 3 x2＋ 4 y2＝ 12 ，y － y0＝ k ? x ＋ 1 ? ，得 (3 ＋ 4 k2) x2＋ (8 ky0＋ 8 k2) x ＋ (4 y20＋8 ky0＋ 4 k2－ 1 2 ) ＝ 0 ， 所以 x1＋ x2＝－8 ky0＋ 8 k23 ＋ 4 k2， 因?yàn)?P 為 MN 中點(diǎn)，所以x1＋ x22＝－ 1 ， 即－8 ky0＋ 8 k23 ＋ 4 k2＝－ 2. 所以 k ＝34 y
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