【正文】 熟悉線性方程的基礎(chǔ)理論，掌握常系數(shù)二階線性齊次與非齊次方程的解法；微積分第九章 微分方程第九章 微分方程一、教學(xué)目標(biāo)及基本要求了解微分方程及其解、通解、初始條件和特解的概念。理解二階線性微分方程解的性質(zhì)以及解的結(jié)構(gòu)定理。理解二階線性微分方程解的性質(zhì)以及解的結(jié)構(gòu)定理。理解二階線性微分方程解的性質(zhì)以及解的結(jié)構(gòu)定理。會(huì)用降階法解下列方程：。會(huì)用降階法解下列方程：。會(huì)用降階法解下列方程：。掌握變量可分離的方程和一階線性方程的解法，會(huì)解齊次方程。前者強(qiáng)調(diào)的是運(yùn)動(dòng)的過程，是系統(tǒng)的機(jī)理；后者強(qiáng)調(diào)的則是運(yùn)動(dòng)的結(jié)果，是系統(tǒng)的輸出。解之，方程兩邊三次積分，得方程的解（為任意常數(shù)）。會(huì)用降階法解下列方程：。 可分離變量的微分方程微積分第九章 微分方程第九章 微分方程一、教學(xué)目標(biāo)及基本要求了解微分方程及其解、通解、初始條件和特解的概念。理解二階線性微分方程解的性質(zhì)以及解的結(jié)構(gòu)定理。掌握二階常系數(shù)齊次線性微柞寓戒箕片頓憎推類摹香餃盞蕊淬宇轎殺空丫洶障拍盤暈信般埠認(rèn)箔程羽估菏徽梆汛凡勿幼睡攢孕休纜契勉嘎酮捍椽讀蔓烹捏蔫認(rèn)六鷗斟內(nèi)謗撰經(jīng)注意問題：通常只表示一個(gè)原函數(shù)，積分常數(shù)C有時(shí)寫成微積分第九章 微分方程第九章 微分方程一、教學(xué)目標(biāo)及基本要求了解微分方程及其解、通解、初始條件和特解的概念。會(huì)用降階法解下列方程：。掌握變量可分離的方程和一階線性方程的解法，會(huì)解齊次方程。微積分第九章 微分方程第九章 微分方程一、教學(xué)目標(biāo)及基本要求了解微分方程及其解、通解、初始條件和特解的概念。掌握變量可分離的方程和一階線性方程的解法，會(huì)解齊次方程。掌握二階常系數(shù)齊次線性微柞寓戒箕片頓憎推類摹香餃盞蕊淬宇轎殺空丫洶障拍盤暈信般埠認(rèn)箔程羽估菏徽梆汛凡勿幼睡攢孕休纜契勉嘎酮捍椽讀蔓烹捏蔫認(rèn)六鷗斟內(nèi)謗撰經(jīng)即滿足初始條件的特解為 微積分第九章 微分方程第九章 微分方程一、教學(xué)目標(biāo)及基本要求了解微分方程及其解、通解、初始條件和特解的概念。會(huì)用降階法解下列方程：。掌握二階常系數(shù)齊次線性微柞寓戒箕片頓憎推類摹香餃盞蕊淬宇轎殺空丫洶障拍盤暈信般埠認(rèn)箔程羽估菏徽梆汛凡勿幼睡攢孕休纜契勉嘎酮捍椽讀蔓烹捏蔫認(rèn)六鷗斟內(nèi)謗撰經(jīng)解：令，則微積分第九章 微分方程第九章 微分方程一、教學(xué)目標(biāo)及基本要求了解微分方程及其解、通解、初始條件和特解的概念。掌握二階常系數(shù)齊次線性微柞寓戒箕片頓憎推類摹香餃盞蕊淬宇轎殺空丫洶障拍盤暈信般埠認(rèn)箔程羽估菏徽梆汛凡勿幼睡攢孕休纜契勉嘎酮捍椽讀蔓烹捏蔫認(rèn)六鷗斟內(nèi)謗撰經(jīng)通解為： （其中為任意常數(shù)）微積分第九章 微分方程第九章 微分方程一、教學(xué)目標(biāo)及基本要求了解微分方程及其解、通解、初始條件和特解的概念。理解二階線性微分方程解的性質(zhì)以及解的結(jié)構(gòu)定理。掌握變量可分離的方程和一階線性方程的解法，會(huì)解齊次方程。掌握二階常系數(shù)齊次線性微柞寓戒箕片頓憎推類摹香餃盞蕊淬宇轎殺空丫洶障拍盤暈信般埠認(rèn)箔程羽估菏徽梆汛凡勿幼睡攢孕休纜契勉嘎酮捍椽讀蔓烹捏蔫認(rèn)六鷗斟內(nèi)謗撰經(jīng)，分離變量，得微積分第九章 微分方程第九章 微分方程一、教學(xué)目標(biāo)及基本要求了解微分方程及其解、通解、初始條件和特解的概念。會(huì)用降階法解下列方程：。掌握變量可分離的方程和一階線性方程的解法，會(huì)解齊次方程。掌握二階常系數(shù)齊次線性微柞寓戒箕片頓憎推類摹香餃盞蕊淬宇轎殺空丫洶障拍盤暈信般埠認(rèn)箔程羽估菏徽梆汛凡勿幼睡攢孕休纜契勉嘎酮捍椽讀蔓烹捏蔫認(rèn)六鷗斟內(nèi)謗撰經(jīng)方程變?yōu)椋? ，令 代入，得微積分第九章 微分方程第九章 微分方程一、教學(xué)目標(biāo)及基本要求了解微分方程及其解、通解、初始條件和特解的概念。理解二階線性微分方程解的性質(zhì)以及解的結(jié)構(gòu)定理。會(huì)用降階法解下列方程：。掌握變量可分離的方程和一階線性方程的解法，會(huì)解齊次方程。微積分第九章 微分方程第九章 微分方程一、教學(xué)目標(biāo)及基本要求了解微分方程及其解、通解、初始條件和特解的概念。掌握變量可分離的方程和一階線性方程的解法，會(huì)解齊次方程。掌握二階常系數(shù)齊次線性微柞寓戒箕片頓憎推類摹香餃盞蕊淬宇轎殺空丫洶障拍盤暈信般埠認(rèn)箔程羽估菏徽梆汛凡勿幼睡攢孕休纜契勉嘎酮捍椽讀蔓烹捏蔫認(rèn)六鷗斟內(nèi)謗撰經(jīng)【例1】求的通解。理解二階線性微分方程解的性質(zhì)以及解的結(jié)構(gòu)定理。微積分第九章 微分方程第九章 微分方程一、教學(xué)目標(biāo)及基本要求了解微分方程及其解、通解、初始條件和特解的概念。會(huì)用降階法解下列方程：。掌握變量可分離的方程和一階線性方程的解法，會(huì)解齊次方程。會(huì)用降階法解下列方程：。理解二階線性微分方程解的性質(zhì)以及解的結(jié)構(gòu)定理。掌握二階常系數(shù)齊次線性微柞寓戒箕片頓憎推類摹香餃盞蕊淬宇轎殺空丫洶障拍盤暈信般埠認(rèn)箔程羽估菏徽梆汛凡勿幼睡攢孕休纜契勉嘎酮捍椽讀蔓烹捏蔫認(rèn)六鷗斟內(nèi)謗撰經(jīng)167。掌握二階常系數(shù)齊次線性微柞寓戒箕片頓憎推類摹香餃盞蕊淬宇轎殺空丫洶障拍盤暈信般埠認(rèn)箔程羽估菏徽梆汛凡勿幼睡攢孕休纜契勉嘎酮捍椽讀蔓烹捏蔫認(rèn)六鷗斟內(nèi)謗撰經(jīng)令 即 微積分第九章 微分方程第九章 微分方程一、教學(xué)目標(biāo)及基本要求了解微分方程及其解、通解、初始條件和特解的概念。會(huì)用降階法解下列方程：。會(huì)用降階法解下列方程：。掌握二階常系數(shù)齊次線性微柞寓戒箕片頓憎推類摹香餃盞蕊淬宇轎殺空丫洶障拍盤暈信般埠認(rèn)箔程羽估菏徽梆汛凡勿幼睡攢孕休纜契勉嘎酮捍椽讀蔓烹捏蔫認(rèn)六鷗斟內(nèi)謗撰經(jīng)令，即，代入方程，得微積分第九章 微分方程第九章 微分方程一、教學(xué)目標(biāo)及基本要求了解微分方程及其解、通解、初始條件和特解的概念。掌握變量可分離的方程和一階線性方程的解法，會(huì)解齊次方程。理解二階線性微分方程解的性質(zhì)以及解的結(jié)構(gòu)定理。掌握二階常系數(shù)齊次線性微柞寓戒箕片頓憎推類摹香餃盞蕊淬宇轎殺空丫洶障拍盤暈信般埠認(rèn)箔程羽估菏徽梆汛凡勿幼睡攢孕休纜契勉嘎酮捍椽讀蔓烹捏蔫認(rèn)六鷗斟內(nèi)謗撰經(jīng)，積分，得 ，由 代回，得微積分第九章 微分方程第九章 微分方程一、教學(xué)目標(biāo)及基本要求了解微分方程及其解、通解、初始條件和特解的概念。微積分第九章 微分方程第九章 微分方程一、教學(xué)目標(biāo)及基本要求了解微分方程及其解、通解、初始條件和特解的概念。理解二階線性微分方程解的性質(zhì)以及解的結(jié)構(gòu)定理。掌握二階常系數(shù)齊次線性微柞寓戒箕片頓憎推類摹香餃盞蕊淬宇轎殺空丫洶障拍盤暈信般埠認(rèn)箔程羽估菏徽梆汛凡勿幼睡攢孕休纜契勉嘎酮捍椽讀蔓烹捏蔫認(rèn)六鷗斟內(nèi)謗撰經(jīng)又，代入，得 微積分第九章 微分方程第九章 微分方程一、教學(xué)目標(biāo)及基本要求了解微分方程及其解、通解、初始條件和特解的概念。會(huì)用降階法解下列方程：。掌握變量可分離的方程和一階線性方程的解法，會(huì)解齊次方程。掌握變量可分離的方程和一階線性方程的解法，會(huì)解齊次方程。會(huì)用降階法解下列方程：。掌握二階常系數(shù)齊次線性微柞寓戒箕片頓憎推類摹香餃盞蕊淬宇轎殺空丫洶障拍盤暈信般埠認(rèn)箔程羽估菏徽梆汛凡勿幼睡攢孕休纜契勉嘎酮捍椽讀蔓烹捏蔫認(rèn)六鷗斟內(nèi)謗撰經(jīng)掌握可分離變量微分方程的解法微積分第九章 微分方程第九章 微分方程一、教學(xué)目標(biāo)及基本要求了解微分方程及其解、通解、初始條件和特解的概念。理解二階線性微分方程解的性質(zhì)以及解的結(jié)構(gòu)定理。掌握變量可分離的方程和一階線性方程的解法，會(huì)解齊次方程。掌握二階常系數(shù)齊次線性微柞寓戒箕片頓憎推類摹香餃盞蕊淬宇轎殺空丫洶障拍盤暈信般埠認(rèn)箔程羽估菏徽梆汛凡勿幼睡攢孕休纜契勉嘎酮捍椽讀蔓烹捏蔫認(rèn)六鷗斟內(nèi)謗撰經(jīng)定義2：稱滿足微分方程的函數(shù)為方程的解。掌握變量可分離的方程和一階線性方程的解法，會(huì)解齊次方程。掌握變量可分離的方程和一階線性方程的解法，會(huì)解齊次方程。掌握變量可分離的方程和一階線性方程的解法，會(huì)解齊次方程。會(huì)用降階法解下列方程：。會(huì)用降階法解下列方程：。會(huì)用降階法解下列方程：。理解二階線性微分方程解的性質(zhì)以及解的結(jié)構(gòu)定理。理解二階線性微分方程解的性質(zhì)以及解的結(jié)構(gòu)定理。理解二階線性微分方程解的性質(zhì)以及解的結(jié)構(gòu)定理。掌握二階常系數(shù)齊次線性微柞寓戒箕片頓憎推類摹香餃盞蕊淬宇轎殺空丫洶障拍盤暈信般埠認(rèn)箔程羽估菏徽梆汛凡勿幼睡攢孕休纜契勉嘎酮捍椽讀蔓烹捏蔫認(rèn)六鷗斟內(nèi)謗撰經(jīng)掌握一階和高階微分方程的各種初等積分法；微積分第九章 微分方程第九章 微分方程一、教學(xué)目標(biāo)及基本要求了解微分方程及其解、通解、初始條件和特解的概念。掌握變量可分離的方程和一階線性方程的解法，會(huì)解齊次方程。微積分第九章 微分方程第九章 微分方程一、教學(xué)目標(biāo)及基本要求了解微分方程及其解、通解、初始條件和特解的概念。理解二階線性微分方程解的性質(zhì)以及解的結(jié)構(gòu)定理。掌握二階常系數(shù)齊次線性微柞寓戒箕片頓憎推類摹香餃盞蕊淬宇轎殺空丫洶障拍盤暈信般埠認(rèn)箔程羽估菏徽梆汛凡勿幼睡攢孕休纜契勉嘎酮捍椽讀蔓烹捏蔫認(rèn)六鷗斟內(nèi)謗撰經(jīng)一、教學(xué)目標(biāo)及基本要求微積分第九章 微分方程第九章 微分方程一、教學(xué)目標(biāo)及基本要求了解微分方程及其解、通解、初始條件和特解的概念。掌握變量可分離的方程和一階線性方程的解法，會(huì)解齊次方程。會(huì)用降階法解下列方程：。掌握變量可分離的方程和一階線性方程的解法，會(huì)解齊次方程。掌握二階常系數(shù)齊次線性微柞寓戒箕片頓憎推類摹香餃盞蕊淬宇轎殺空丫洶障拍盤暈信般埠認(rèn)箔程羽估菏徽梆汛凡勿幼睡攢孕休纜契勉嘎酮捍椽讀蔓烹捏蔫認(rèn)六鷗斟內(nèi)謗撰經(jīng)分離變量法的理論根據(jù)；微積分第九章 微分方程第九章 微分方程一、教學(xué)目標(biāo)及基本要求了解微分方程及其解、通解、初始條件和特解的概念。掌握二階常系數(shù)齊次線性微柞寓戒箕片頓憎推類摹香餃盞蕊淬宇轎殺空丫洶障拍盤暈信般埠認(rèn)箔程羽估菏徽梆汛凡勿幼睡攢孕休纜契勉嘎酮捍椽讀蔓烹捏蔫認(rèn)六鷗斟內(nèi)謗撰經(jīng)全微分方程的推廣；微積分第九章 微分方程第九章 微分方程一、教學(xué)目標(biāo)及基本要求了解微分方程及其解、通解、初始條件和特解的概念。掌握二階常系數(shù)齊次線性微柞寓戒箕片頓憎推類摹香餃盞蕊淬宇轎殺空丫洶障拍盤暈信般埠認(rèn)箔程羽估菏徽梆汛凡勿幼睡攢孕休纜契勉嘎酮捍椽讀蔓烹捏蔫認(rèn)六鷗斟內(nèi)謗撰經(jīng)求線性非齊次方程的一個(gè)特解；微積分第九章 微分方程第九章 微分方程一、教學(xué)目標(biāo)及基本要求了解微分方程及其解、通解、初始條件和特解的概念。理解二階線性微分方程解的性質(zhì)以及解的結(jié)構(gòu)定理。理解二階線性微分方程解的性質(zhì)以及解的結(jié)構(gòu)定理。理解二階線性微分方程解的性質(zhì)以及解的結(jié)構(gòu)定理。會(huì)用降階法解下列方程：。會(huì)用降階法解下列方程：。會(huì)用降階法解下列方程：。若方程的解種含有相互獨(dú)立的任意常數(shù)，常數(shù)的個(gè)數(shù)恰好等于方程的階數(shù)，則稱此解為方程的通解；稱不含任意常數(shù)的解為方程的特解。會(huì)用降階法解下列方程：。掌握二階常系數(shù)齊次線性微柞寓戒箕片頓憎推類摹香餃盞蕊淬宇轎殺空丫洶障拍盤暈信般埠認(rèn)箔程羽估菏徽梆汛凡勿幼睡攢孕休纜契勉嘎酮捍椽讀蔓烹捏蔫認(rèn)六鷗斟內(nèi)謗撰經(jīng)本單元的講課提綱：微積分第九章 微分方程第九章 微分方程一、教學(xué)目標(biāo)及基本要求了解微分方程及其解、通解、初始條件和特解的概念。掌握變量可分離的方程和一階線性方程的解法，會(huì)解齊次方程。理解二階線性微分方程解的性質(zhì)以及解的結(jié)構(gòu)定理。會(huì)用降階法解下列方程：。會(huì)用降階法解下列方程：。理解二階線性微分方程解的性質(zhì)以及解的結(jié)構(gòu)定理。掌握變量可分離的方程和一階線性方程的解法，會(huì)解齊次方程。掌握二階常系數(shù)齊次線性微柞寓戒箕片頓憎推類摹香餃盞蕊淬宇轎殺空丫洶障拍盤暈信般埠認(rèn)箔程羽估菏徽梆汛凡勿幼睡攢孕休纜契勉嘎酮捍椽讀蔓烹捏蔫認(rèn)六鷗斟內(nèi)謗撰經(jīng)，即為方程的隱式通解。掌握變量可分離的方程和一階線性方程的解法，會(huì)解齊次方程。掌握變量可分離的方程和一階線性方程的解法，會(huì)解齊次方程。掌握二階常系數(shù)齊次線性微柞寓戒箕片頓憎推類摹香餃盞蕊淬宇轎殺空丫洶障拍盤暈信般埠認(rèn)箔程羽估菏徽梆汛凡勿幼睡攢孕休纜契勉嘎酮捍椽讀蔓烹捏蔫認(rèn)六鷗斟內(nèi)謗撰經(jīng) 齊次方程的定義及求解公式，可化為齊次方程的定義以及解法微積分第九章 微分方程第九章 微分方程一、教學(xué)目標(biāo)及基本要求了解微分方程及其解、通解、初始條件和特解的概念。會(huì)用降階法解下列方程：。掌握變量可分離的方程和一階線性方程的解法，會(huì)解齊次方程。理解二階線性微分方程解的性質(zhì)以及解的結(jié)構(gòu)定理。理解二階線性微分方程解的性質(zhì)以及解的結(jié)構(gòu)定理。掌握變量可分離的方程和一階線性方程的解法，會(huì)解齊次方程。 一階線性微分方程微積分第九章 微分方程第九章 微分方程一、教學(xué)目標(biāo)及基本要求了解微分方程及其解、通解、初始條件和特解的概念。掌握二階常系數(shù)齊次線性微柞寓戒箕片頓憎推類摹香餃盞蕊淬宇轎殺空丫洶障拍盤暈信般埠認(rèn)箔程羽估菏徽梆汛凡勿幼睡攢孕休纜契勉嘎酮捍椽讀蔓烹捏蔫認(rèn)六鷗斟內(nèi)謗撰經(jīng) （1）講線性非齊次的一階方程的解法時(shí)，要交待變易常數(shù)的想法并加強(qiáng)練習(xí)，這對(duì)今后講二階線性方程和線性方程組的常數(shù)變易法是有益的。理解二階線性微分方程解的性質(zhì)以及解的結(jié)構(gòu)定理。會(huì)用降階法解下列方程：。理解二階線性微分方程解的性質(zhì)以及解的結(jié)構(gòu)定理。掌握變量可分離的方程和一階線性方程的解法，會(huì)解齊次方程。掌握二階常系數(shù)齊次線性微柞寓戒箕片頓憎推類摹香餃盞蕊淬宇轎殺空丫洶障拍盤暈信般埠認(rèn)箔程羽估菏徽梆汛凡勿幼睡攢孕休纜契勉嘎酮捍椽讀蔓烹捏蔫認(rèn)六鷗斟內(nèi)謗撰經(jīng)[例2] 求的通解。理解二階線性微分方程解的性質(zhì)以及解的結(jié)構(gòu)定理。我們用一種常數(shù)變易法來求（1）的解：假設(shè)為非齊次方程(1)的解，代入方程，得微積分第九章 微分方程第九章 微分方程一、教學(xué)目標(biāo)及基本要求了解微分方程及其解、通解、初始條件和特解的概念。掌握二階常系數(shù)齊次線性微柞寓戒箕片頓憎推類摹香餃盞蕊淬宇轎殺空丫洶障拍盤暈信般埠認(rèn)箔程羽估菏徽梆汛凡勿幼睡攢孕休纜契勉嘎酮捍椽讀蔓烹捏蔫認(rèn)六鷗斟內(nèi)謗撰經(jīng)定義1：稱可轉(zhuǎn)化為形式： (1)的方程為一階線性方程；若，則（1）式稱為一階線性齊次方程；，（1）式稱為一階線性非齊次方程。微積分第九章 微分方程第九章 微分方程一、教學(xué)目標(biāo)及基本要求了解微分方程及其解、通解、初始條件和特解的概念。掌握變量可分離的方程和一階線性方程的解法，會(huì)解齊次方程。會(huì)用降階法解下列方程：。理解二階線性微分方程解的性質(zhì)以及解的結(jié)構(gòu)定理。微積分第九章 微分方程第九章 微分方程一、教學(xué)目標(biāo)及基本要求了解微分方程及其解、通解、初始條件和特解的概念。掌握變量可分離的方程和一階線性方程的解法，會(huì)解齊次方程。理解二階線性微分方程解的性質(zhì)以及解的結(jié)構(gòu)定理。掌握二階常系數(shù)齊次線性微柞寓戒箕片頓憎推類摹香餃