【正文】 正交矩陣的充分必要條件是：；（3）如果,是階正交矩陣，則也是正交矩陣；（4）階實(shí)矩陣是正交矩陣的充分必要條件是：的個(gè)列（或行）向量是兩兩正交的單位向量。 ②根據(jù)式①和②得，從而。解題技巧:要將實(shí)對(duì)稱矩陣化為對(duì)角矩陣，應(yīng)先通過來求的特征值。證：（這是要證明三個(gè)矩陣之積是正定的，可采用定義證之）充分性：因?yàn)?，所以為?shí)對(duì)稱矩陣。（法2）因?yàn)?，所以，即是?shí)對(duì)稱矩陣。證：因?yàn)?，所以是階實(shí)對(duì)稱矩陣。令，再令，則由式①有，令,則。解：（法1）由寫出二次型，并用配方法得，從而的秩為3，且正慣性指數(shù)為2，與中矩陣的秩和正慣性指數(shù)相同，故選。若相似于，則（1）；（2）；（3）。解：依題意，有及，即，解得。由于，所以的秩為3，且初等因子為。希望本論文對(duì)考生能有點(diǎn)實(shí)際的幫助，在這里也祝愿考生能在高等代數(shù)有關(guān)矩陣這一內(nèi)容中取得較高分?jǐn)?shù)，考出理想的成績(jī)。例1 判斷與是否等價(jià)，這里（1），；（2）。從而,彼此相似。例3 設(shè)矩陣合同于，矩陣合同于，試證既合同于，又合同于。（一）合同矩陣的性質(zhì)：（1）反身性：與合同；（2）對(duì)稱性：若與合同，則與合同；（3）傳遞性：若與合同，與合同，則與合同；（4）若與合同，則的秩與的秩相等；（5）若與合同，且對(duì)稱，則也對(duì)稱。從而，其中。令不妨設(shè)（因?yàn)槿?，則，結(jié)論已證）。解題技巧：本題主要利用為階實(shí)反對(duì)稱矩陣來解題的。（2）根據(jù)判定條件來判斷（一般通過檢驗(yàn)的各階順序主子式是否都大于零）。對(duì)應(yīng)的特征向量分別為，（它們應(yīng)是兩兩正交的）單位化得，故正交矩陣，使得。解：因?yàn)椋缘奶卣髦禐?。而，所以。故可逆矩陣，使得。設(shè)是的三個(gè)特征值，由已知可知。令,。顯然為可逆矩陣，且有例4 (華中科技大學(xué))設(shè)為階方陣，若存在唯一的階方陣，使得，證明：。（2）。設(shè),是階可逆矩陣，則（1）；（2）若，則可逆，且；（3）可逆，且；（4）可逆，且；（5）可逆，且；（6）；（7）如果是矩陣，是階可逆矩陣，是階可逆矩陣，則。同時(shí)，考研作為一種選拔性水平考試，試題規(guī)范，規(guī)律性很強(qiáng)，不少題型反復(fù)出現(xiàn)，把這些反復(fù)出現(xiàn)的試題整理歸類，以節(jié)省考生寶貴的復(fù)習(xí)時(shí)間，對(duì)考生迎考大有幫助。例1 （清華大學(xué)）設(shè)為主對(duì)角線元素為零的4階實(shí)對(duì)稱可逆矩陣，為4階單位陣。又由知，可見求得和后即可得到。解:由關(guān)系式, 可得。第三步：當(dāng)可對(duì)角化時(shí)，把個(gè)線性無關(guān)的特征向量按列構(gòu)成矩陣，則。若不是特征方程的二重根，則為完全平方，從而，解得。（2）顯然有，那么有對(duì)稱矩陣，使得成立。例2 （中國(guó)科學(xué)院）求證：不存在正交矩陣,，使。：第一步：求的特征值和對(duì)應(yīng)的線性無關(guān)特征向量。解題技巧:通過觀察可知其為實(shí)對(duì)稱矩陣，則存在正交矩陣，使得或，再將對(duì)角陣寫成，即可得答案。解題技巧：要證矩陣正定時(shí)，應(yīng)先證其為對(duì)稱矩陣，然后在利用正定矩陣的判定條件來進(jìn)行證明。證：（滿足多項(xiàng)式矩陣方程，只要證明的特征值全大于零即可）設(shè)，即是的特征值，是對(duì)應(yīng)的特征向量，則有。例7 設(shè)是階正定矩陣，證明。注意：對(duì)于與正定矩陣有關(guān)的題目，下面結(jié)論往往會(huì)有用。解：（法1）因?yàn)閷?shí)對(duì)稱矩陣，對(duì)應(yīng)的二次型分別為 與，直接做出可逆線性變換使前者變?yōu)楹笳撸瑒t此可逆線性變換的矩陣即為所求的可逆矩陣。 （充分性）設(shè)，則。以分別代人矩陣與，得，由知此時(shí)的與相似。例2（三峽大學(xué)）設(shè)，試問（1）取何值時(shí)，與等價(jià)？（2）取何值時(shí)，與合同？（3）取何值時(shí)，與相似？解：（1）由題意得，其中，因?yàn)橐c等價(jià)，即，得，所以。當(dāng)，的秩為3，正慣性指數(shù)為2，負(fù)慣性指數(shù)為1，且符號(hào)差為1，所以與合同。解題技巧：對(duì)利用相似矩陣的性質(zhì)來確定矩陣中的未知元素這樣的問題可用以下兩個(gè)方法來求解：（1）若兩個(gè)相似矩陣與可對(duì)角化，則可用“與有相同的特征多項(xiàng)式”來求解，無需“回代檢驗(yàn)”。例2 (北京師范大學(xué))設(shè)是實(shí)數(shù)。（法2）采用初等變換法。實(shí)際上，對(duì)于任何正整數(shù)，都有正定矩陣，使得。于是。因?yàn)閷?shí)對(duì)稱矩陣的特征值為實(shí)數(shù)，所以的特征值為1或3，即的特征值全大于零，故為正定矩陣。例2 設(shè)為階正定矩陣，為階實(shí)反對(duì)稱矩陣。因?yàn)楸绢}所求出的特征值互異，所以其對(duì)應(yīng)特征向量必正交，從而對(duì)特征向量直接單位化即可。又設(shè)對(duì)應(yīng)特征值的個(gè)線性無關(guān)的特征向量為。若存在階正交矩陣,使， ①式①右乘得 ，式①變形為，再左乘得 ，由于,是正交矩陣，從而是正交矩陣，此即是正交矩陣。（1）證明存在可逆矩陣使，為對(duì)角矩陣。例3 已知實(shí)對(duì)稱矩陣，求可逆矩陣,使為對(duì)角矩陣。例1 設(shè)矩陣，已知有三個(gè)線性無關(guān)的特征向量，是的